induktionsaufgabe

jayx · Gast

ich belege zurzeit ein einführungkurs für informatik darunter kommt ich mit der aufgabe 2-1 nicht klar
dbs.ifi.lmu.de/Lehre/EIP/WS1213/uebungen/u02/u02.pdf
meiner meinung liegt der fehler dass (x2.....x_n+1) zwar element von R^n ist aber man nicht die induktionanahme benutzen kann

Namenloser324 · Gast

Die Induktionsbasis bzw. der Induktionsanfang entspricht lediglich dem Spezialfall x1 = ... = xn.
Das heisst also, dass der Schluss auch nur für derartige Folgen gilt. Was widerum eine trivale Aussage ist.

jayx · Gast

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Irgendwas stimmt mit dem Link nicht. Kannst du die Aufgabe nicht abtippen oder einen Screenshot als Anhang hochladen?

Namenloser324 · Gast

Es fehlt nur das www davor. Einfach manuell hinzufügen, fertig.

Induktionsbeweise gelten nur für die entsprechenden Induktionsanfänge. Wenn man jetzt Aussage xyz beim Induktionsschluss ableitet, diese aber für gar keinen Induktionsanfang gilt, so mag die Ableitung zwar richtig sein, es existiert trotzdem kein "Objekt" (recht abstrakt, sorry) für die die Aussage gilt.

So ähnlich hier:
In der Induktionsannahme steht, dass es ein n existieren möge, für welches für JEDE Folge alle n Folgenglieder identisch seien. Die Induktionsbasis ist aber nur ein Beispiel EINER speziellen Folge.
Daher gilt der Schluss auch nur für Folgen dieser Art. Und für diese ist die Aussage ohnehin trivial.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Nein, die Beweisführung ist schon korrekt, so wie sie formuliert ist (man kann eine Induktionsannahme auch mit einem Allquantor mischen; in der linearen Algebra ist das recht häufig so, dass man Induktion über die Dimension von Teilräumen macht: habe ich heute erst gesehen beim Beweis des Satzes von der Hauptachsentransformation). Das Problem ist aber: Versuch mal, den Induktionsschritt für

zu machen, also von 1 auf 2 zu schließen. Dann ist nämlich

, also folgt nicht

.

Lerneffekt: Manchmal ist es notwendig, mehrere Fälle mit Induktionsanfang zu beweisen.

Noch eine Anmerkung: Induktionsbeweise beruhen auf dem Induktionsprinzip, welches sich zum Beispiel aus den Peano-Axiomen folgern lässt. Man kann auch (wie es in Anfängervorlesungen häufiger gemacht wird) die natürlichen Zahlen so formulieren: eine Menge M heißt induktiv, falls

und

(oder anders

) gilt. Definiere N als Schnittmenge aller induktiven Mengen. In jedem Fall folgt, dass aus

und der Gültigkeit der Implikation

bereits

folgt. Wenn man nun definiert:

, ist das sehr wohl eine Menge, für die man mit Induktion zeigen könnte, dass

(wenn man es denn zeigen könnte).

jayx · Gast

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danke euch beiden Prost

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ergänzung: mit "mehrere Fälle" meine ich nicht, was Namenloser angesprochen hat, sondern mehrere n zu beweisen. Manchmal braucht man nämlich für die Induktionsannahme eben bestimmte Voraussetzungen. In solchen Fällen ist es manchmal sehr aufwendig, das ganze so zu formulieren, dass das Induktionsprinzip zum Vorschein tritt. Nicht, dass das im echten Leben jemanden interessieren würde, aber es gibt Tutoren, die darauf Wert legen ("eine Induktion fängt bei 0 an").^^