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Ineedhelp
Gast
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 Ineedhelp Verfasst am: 20. Nov 2013 15:57 Titel: Wirkungsintegral |
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Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe hier so eine Aufgabe, und irgendwie habe ich das Gefühl, dass ich etwas übersehe. Es geht um das Wirkungsintegral:
Ein Teilchen fällt aus 19,62 Metern Höhe und erreicht nach 2s den Erdboden. Der Zusammenhang zwischen y(t) und t könnte gegeben sein durch:
=gt)
=\frac{g}{2} t^2)
= \frac{g}{4} t^3)
g soll dabei immer denselben Zahlenwert haben.
Ich soll nun zeigen, dass das Wirkungsintegral  nur für das tatsächliche y(t) minimal wird. Bitte nicht von meinem länglichen Ansatz abschrecken lassen, ich habe versucht, meine Gedanken möglichst genau darzustellen, damit Fehler offensichtlicher werden. :)
Meine Ideen:
Also, ich bin dann wie folgt vorgegangen:
Erstmal habe ich die Lagrangefunktionen aufgestellt. Es gilt:
und:
weil die Bewegung nur in y- Richtung abläuft:
Für die potentielle Energie gilt auf der Erde:
wobei ja auch h durch y ausdrückbar ist:
Und damit dann:
So, und jetzt stehe ich vor einem Problem. Reicht es, wenn ich einfach alle drei Möglichkeiten durchgehe, jedes der verschiedenen y einmal einsetze und gucken, bei welchem das kleine Ergebnis rauskommt? Oder wie weise ich nach, dass das Wirkungsintegral minimal wird? ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann  |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402
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| stereo Verfasst am: 20. Nov 2013 16:19 Titel: |
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Nein, das reicht nicht.
Mache dir klar, warum die Wirkung nur minimal wird, wenn der Integrand Null wird, das heißt die Lagrange-Funktion muss Null werden.
Diese Differentialgleichung gilt es zu lösen. (Trennung der Variablen) |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 20. Nov 2013 16:35 Titel: |
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So wie es klingt, geht es gerade nicht darum die Bewegungsgleichungen aufzustellen und zu lösen, sondern zu zeigen, dass das "richtige" y(t) eine kleinere Wirkung hat als die anderen beiden Vorschläge. Aber das können wir ohne die Originalaufgabe nur schwer beurteilen.
(In diesem Fall würde die Idee von Ineedhelp wohl ausreichen. Allerdings klingt die Aufgabe insgesamt etwas merkwürdig, da g ja auch Einheiten hat ...) |
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Ineedhelp
Gast
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| Ineedhelp Verfasst am: 20. Nov 2013 16:43 Titel: |
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Oh, entschuldigung, da war noch eine Angabe zu g: g soll immer denselben Zahlenwert, jedoch jenachdem verschiedene Dimensionen haben. Ich schreibe den Aufgabentext einfach mal ab, damit darüber Klarheit herrscht: Zeigen Sie, dass das Wirkungsintegral nur für das tatsächliche y(t) minimal wird.
Den Ansatz von stereo verstehe ich jetzt auch ehrlich gesagt nicht so ganz. Wenn ich tatsächlich die bewegungsgleichung finden soll, dann könnte ich doch auch die Euler-Lagrange-Gleichung bilden, und die gleich Null setzen. Ist das dasselbe? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 20. Nov 2013 17:29 Titel: |
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| Ineedhelp hat Folgendes geschrieben: |
Den Ansatz von stereo verstehe ich jetzt auch ehrlich gesagt nicht so ganz. Wenn ich tatsächlich die bewegungsgleichung finden soll, dann könnte ich doch auch die Euler-Lagrange-Gleichung bilden, und die gleich Null setzen. Ist das dasselbe? |
Ja, das ist dasselbe. Da Du allerdings explizit drei verschiedene Funktionen y(t) gegeben hast, denke ich nicht dass das gemeint ist, sondern dass Deine ursprüngliche Idee richtig ist. |
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Ineedhelp
Gast
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| Ineedhelp Verfasst am: 20. Nov 2013 17:34 Titel: |
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Hi,
also dann vielen lieben Dank
Nur eine Frage noch: Richtig müsste doch eigentlich Nummer 2 sein, oder? wenn ich die Integrale ausrechne, kommt aber das kleinste Ergebnis bei Nummer 1 raus. Spontane Idee, woran das liegen könnte? oder soll ich meinen Rechenweg hier mal einschreiben. |
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AE
Gast
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| AE Verfasst am: 20. Nov 2013 18:05 Titel: |
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| stereo hat Folgendes geschrieben: |
Mache dir klar, warum die Wirkung nur minimal wird, wenn der Integrand Null wird, das heißt die Lagrange-Funktion muss Null werden.
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Das ist völlig falsch |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402
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| stereo Verfasst am: 20. Nov 2013 19:14 Titel: |
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| AE hat Folgendes geschrieben: | | stereo hat Folgendes geschrieben: |
Mache dir klar, warum die Wirkung nur minimal wird, wenn der Integrand Null wird, das heißt die Lagrange-Funktion muss Null werden.
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Das ist völlig falsch |
Dann belehre uns eines besseren.
| Ineedhelp hat Folgendes geschrieben: | | Zeigen Sie, dass das Wirkungsintegral nur für das tatsächliche y(t) minimal wird. |
Also durch Einsetzten zeigt man, dass es für das "richtige" y(t) minimal wird. Zeigt man aber auch, dass nur dieses die Lösung ist?
Ein Rechenweg ist immer gut, denn das macht es einfacher zu helfen. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 21. Nov 2013 11:12 Titel: |
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| stereo hat Folgendes geschrieben: | | AE hat Folgendes geschrieben: | | stereo hat Folgendes geschrieben: |
Mache dir klar, warum die Wirkung nur minimal wird, wenn der Integrand Null wird, das heißt die Lagrange-Funktion muss Null werden.
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Das ist völlig falsch |
Dann belehre uns eines besseren. |
Wenn die Forderung  richtig wäre, dann hätte man auch
ganz unabhängig von ) . Das ist also grober Unfug. Die Forderung ist, dass das Wirkungsintegral S minimal (zumindest aber extremal) werden soll. Und daraus folgt nicht , sondern die bekannten Euler-Lagrange-Gleichungen.
| Ineedhelp hat Folgendes geschrieben: | | Nur eine Frage noch: Richtig müsste doch eigentlich Nummer 2 sein, oder? wenn ich die Integrale ausrechne, kommt aber das kleinste Ergebnis bei Nummer 1 raus. Spontane Idee, woran das liegen könnte? |
Hast du beachtet, dass bei den gegebenen die y-Achse nach unten gerichtet ist? Dadurch ergibt sich  und nicht  . Wenn man das beachtet, wird das Wirkungsintegral tatsächlich für (2) minimal. |
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Ineedhelp
Gast
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| Ineedhelp Verfasst am: 21. Nov 2013 11:20 Titel: |
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| Huggy hat Folgendes geschrieben: | | stereo hat Folgendes geschrieben: | | AE hat Folgendes geschrieben: | | stereo hat Folgendes geschrieben: |
Mache dir klar, warum die Wirkung nur minimal wird, wenn der Integrand Null wird, das heißt die Lagrange-Funktion muss Null werden.
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Das ist völlig falsch |
Dann belehre uns eines besseren. |
Wenn die Forderung richtig wäre, dann hätte man auch
ganz unabhängig von . Das ist also grober Unfug. Die Forderung ist, dass das Wirkungsintegral S minimal (zumindest aber extremal) werden soll. Und daraus folgt nicht , sondern die bekannten Euler-Lagrange-Gleichungen.
| Ineedhelp hat Folgendes geschrieben: | | Nur eine Frage noch: Richtig müsste doch eigentlich Nummer 2 sein, oder? wenn ich die Integrale ausrechne, kommt aber das kleinste Ergebnis bei Nummer 1 raus. Spontane Idee, woran das liegen könnte? |
Hast du beachtet, dass bei den gegebenen die y-Achse nach unten gerichtet ist? Dadurch ergibt sich und nicht . Wenn man das beachtet, wird das Wirkungsintegral tatsächlich für (2) minimal. |
Vielen lieben Dank, ich glaube das war es, was ich verpennt habe. Klar, dann kommen auch keine negativen Zahlen raus. Denn dann wird aus S=T-V ja S=T+V. Vielen Dank, das hat mir geholfen |
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gast 3
Gast
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| gast 3 Verfasst am: 21. Nov 2013 11:31 Titel: |
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| Huggy hat Folgendes geschrieben: |
Die Forderung ist, dass das Wirkungsintegral S minimal (zumindest aber extremal) werden soll |
Extremal oder minimal?
Extremal könnten alle 3 sein  |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 21. Nov 2013 11:43 Titel: |
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In der Aufgabe soll nur gezeigt werden, dass das Wirkungsintegral für (2) das kleinste aus den 3 Möglichkeiten ist. Dass beweist natürlich nicht, dass es das absolute Minimum ist.
Im allgemeinen ist das Wirkungsintegral ein Minimum. Es soll aber Fälle geben, bei denen es ein Maximum ist. Das hat aber nichts mit der konkreten Frage in der Aufgabe zu tun.
Das Maximum der 3 Fälle ist (1). Also kann (3) jedenfalls nicht extremal sein. |
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Ineedhelp
Gast
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| Ineedhelp Verfasst am: 21. Nov 2013 13:42 Titel: |
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Hallo nochmal
ich habe das Ganze jetzt nochmal so ausgerechnet. und komme dann auch auf das richtige Ergebnis. Nur eine Sache frage ich mich noch. Wie kann ich gut begründen, dass die y-Achse nach unten zeigt? Reicht es da zu sagen, dass die Bewegung ja in eine negative Richtung geht? (Von 19.62 auf 0) Das g also in jedem Fall einen negativen Zahlenwert annehmen muss, sodass die potentielle Energie dann negativ wird? |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402
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| stereo Verfasst am: 21. Nov 2013 14:52 Titel: |
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| Huggy hat Folgendes geschrieben: | | stereo hat Folgendes geschrieben: | | AE hat Folgendes geschrieben: | | stereo hat Folgendes geschrieben: |
Mache dir klar, warum die Wirkung nur minimal wird, wenn der Integrand Null wird, das heißt die Lagrange-Funktion muss Null werden.
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Das ist völlig falsch |
Dann belehre uns eines besseren. |
Wenn die Forderung richtig wäre, dann hätte man auch
ganz unabhängig von . Das ist also grober Unfug. Die Forderung ist, dass das Wirkungsintegral S minimal (zumindest aber extremal) werden soll. Und daraus folgt nicht , sondern die bekannten Euler-Lagrange-Gleichungen.
| Ineedhelp hat Folgendes geschrieben: | | Nur eine Frage noch: Richtig müsste doch eigentlich Nummer 2 sein, oder? wenn ich die Integrale ausrechne, kommt aber das kleinste Ergebnis bei Nummer 1 raus. Spontane Idee, woran das liegen könnte? |
Hast du beachtet, dass bei den gegebenen die y-Achse nach unten gerichtet ist? Dadurch ergibt sich und nicht . Wenn man das beachtet, wird das Wirkungsintegral tatsächlich für (2) minimal. |
Im betrachteten Beispiel ist die Kurve durch den Raum immer gleich. Die Euler-Lagrange-Gleichung folgt doch auch daraus, dass verschieden Wege durch den Raum betrachtet werden. Deswegen sollte doch mein Ansatz korrekt sein. Jedoch lasse ich mich auch gern eines Besseren belehren.
Deswegen schrieb ich, dass er sich klar machen soll, warum der Weg zur Lösung führt. Vielleicht war das von mir nicht klug, weil ich dadurch Verwirrung gestiftet habe. Das tut mir Leid. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 22. Nov 2013 10:13 Titel: |
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Es müsste dir doch inzwischen selbat klar geworden sein, dass du mit gewaltig auf dem Holzweg bist. Da du aber darauf beharrst, mache ich noch ein paar Anmerkungen dazu:
| stereo hat Folgendes geschrieben: | | Im betrachteten Beispiel ist die Kurve durch den Raum immer gleich. Die Euler-Lagrange-Gleichung folgt doch auch daraus, dass verschieden Wege durch den Raum betrachtet werden. Deswegen sollte doch mein Ansatz korrekt sein. Jedoch lasse ich mich auch gern eines Besseren belehren. |
Die Variation der Bahnkurve im Wirkungsintegral erfolgt in der Parameterdarstellung der Bahnkurve mit der Zeit als Parameter. Bei einem räumlich mehrdimensionalen Problem schließt das automatisch echte Variationen der Bahnkurve ein. Bei einem räumlich eindimensionalen Problem wird die Bahn, die dann aus einer festen Strecke besteht, bei der Variation nur in zeitlich unterschiedlicher Weise durchlaufen.
Es sollte dir doch zu denken geben, dass man nirgends in der Literatur aus der Forderung
zu dem Schluss kommt. Du hast das auch nicht begründet, sondern einfach behauptet. Man kann es auch nicht begründen.
Wenn man annimmt, kommt man auch nicht zu der üblichen Bewegungsgleichung, die eine DGL 2. Ordnung ist, sondern zu einer DGL 1. Ordnung. Für eine DGL 1. Ordnung lassen sich aber nicht Ort und Geschwindigkeit als Anfangsbedingung vorgeben, sondern nur der Ort.
Wenn man deine Annahme  mit dem Energiesatz  = const. kombiniert, kann man daraus ableiten  . Die Gesamtenergie hinge dann gar nicht von der potentiellen Energie ab. Umgekehrt könnte man auch schließen  .
| stereo hat Folgendes geschrieben: |
Diese Differentialgleichung gilt es zu lösen. |
In diesem speziellen Fall von  scheint trotzdem die richtige Lösung zu ergeben. Man erhält
=-\frac {g}{2}t^2)
Das ist aber nur scheinbar richtig, denn das Vorzeichen ist falsch. Der Körper fällt in die falsche Richung. Bei der nach unten gerichteten y-Achse hat deine DGL in Fallrichtung, also für positive y-Werte, gar keine Lösung, denn dort sind beide Terme von  positiv. |
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Ineedhelp
Gast
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| Ineedhelp Verfasst am: 22. Nov 2013 10:17 Titel: |
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Hey Huggy,
aber warum ist die y-Achse denn nach unten gerichtet? y(t) steigt doch mit steigendem t, oder nicht? Reicht die begründung, dass g negativ sein muss, um eine negative Bewegung zu kriegen? |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 22. Nov 2013 10:44 Titel: |
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Bei den in der Aufgabe gegebenen y(t) wird y mit wachsendem t größer. Da der Körper nach unten fällt, muss also die positive y-Achse nach unten gerichtet sein. g ist wie üblich positiv angenommen.
Es ändert sich auch gar nichts, wenn man die Orientierung der y-Achse ändert. Dann müssen die y(t) lediglich mit einem Minusvorzeichen versehen werden. Auch V bekommt dann ein anderes Vorzeichen. Der numerische Wert von V bleibt unverändert, da ja auch das y in V das Vorzeichen ändert. Deshalb ändert sich auch das Wirkungsintegral nicht.
Der Ansatz von stereo führt bei einer Änderung der Orientierung der y-Achse unverändert dazu, dass der Körper nach oben fällt. |
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Ineedhelp
Gast
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| Ineedhelp Verfasst am: 22. Nov 2013 11:03 Titel: |
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Ah, okay. ja, den Gedanken hatte ich auch. ich konnte ihn nur nicht so wunderbar ausformulieren Vielen Dank |
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stereo
Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402
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| stereo Verfasst am: 22. Nov 2013 15:23 Titel: |
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Vielen Dank Huggy 
Am besten schauen ich mir nochmal genau die Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichung an, denn ich betrachtete fälschlicherweise
, weil ich gedachte hatte, da die Kurve nicht variiert wird, ist dieser Ansatz legitim. |
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