Abkühlvorgang im Luftstrom

Sven Schulz · Gast

Hallo

Ich habe eine Frage bei der ich nicht weiterkomme, ein Teil habe ich schon aber komme einfach nicht weiter

gegeben: eine "heiße" (800 Kelvin) Aluminiumkugel (50 mm im Radius) wird von einem Luftstrom mit 3 m/s umströmt und hat eine Temperatur von 293 Kelvin.

Frage:
Wie lange dauert es bis die Aluminiumkugel auf 293 Kelvin abgekühlt ist?

mein Ansatz:
das Newtonsche Abkühlungsgesetz

nur dort ist keine Geschwindigkeit mit angegeben.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Schau dir mal den Einleitungstext zur IPhO-Aufgabe "Schrotturm" aus der 2. Runde der 44. IPhO an: http://www.ipn.uni-kiel.de/projekte/ipho/data/44_IPhO_2013_2Rd_Aufgaben.pdf

Sven Schulz · Gast

ich habe es mal ausgerecht mit:

c*m*T_1 = α_m*A*(T_1-T_2)*t

und nach t umgestellt und es stellte sich heraus das umso mehr T_1 = T_2 ist um so länger dauert es bis T_1 = T_2 ist, muss es nicht anderrum sein um so größer T_2 gegenüber T_1 ist um so länger müsste es dauern bis T_1 = T_2 ist.

da Stimmt was nicht!

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ja, allerdings, da stimmt etwas nicht. Bist du vertraut mit Differentialgleichungen? Ich bin davon ausgegangen, aber bei deiner Antwort kommt mir das Gefühl, dass dem nicht so ist...

Wenn ich mal die Gleichungen zusammentue (T0 ist die Umgebungstemperatur):

Nun ist

(thermische Energie), also

Da hast du eine Differentialgleichung, die du lösen musst. Deine Überlegungen sind nicht gänzlich falsch. Hättest du sich richtig geführt, wärst du zu dem Ergebnis gekommen, dass, je kleiner der MOMENTANE Temperaturunterschied ist, das Abkühlen umso langsamer vonstatten geht. Das stimmt ja auch. Trotzdem wird es immer länger dauern, einen großen Temperaturunterschied auszugleichen. Aber die erste Hälfte geht nur eben immer schneller.

Im Gegensatz zur IPhO-Aufgabe ist ja deine Geschwindigkeit hier konstant. Damit ist die Aufgabe auch exakt lösbar. Schläfer

EDIT: Du musst aber vermutlich noch Wärmeabstrahlung mit einbeziehen, sonst dauert es unendlich lange.

Sven Schulz · Gast

mit der Wärmeabstrahlung komme ich so nicht klar aber ich habe mal α_m in:
sim01.cti.ac.at/html/abkuehlung/abkuehlvorgang_einer_fluessigkeit.html

als α eingesetzt und dann geht es auf

nur bei α_m nicht wenn v = 0 ist, wenn v = 0 ist müsste die Formel in die Form ohne v übergehen. (ich hoffe verstendlich)

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Das ist auch das, was die Lösung der DGL ohne Wärmeabstrahlung ist:

Das Problem ist, dass T gleich T0 gerade für

wird. Deswegen muss es noch einen anderen Abstrahlvorgang geben, weshalb ich auf Wärmestrahlung tippe. Diese wird durch das Stefan-Boltzmann-Gesetz beschrieben:

. Was heraus kommt, ist eine DGL, die prinzipiell so ähnlich wie eine Bernoulli-DGL aussieht, aber eben doch eben nicht ganz, da das T0 stört. Die DGL bekommst du so nicht gelöst. Erster Gedanke war, dass Partialbruchzerlegung helfen könnte. Aber dazu bräuchtest du die Nullstellen eines Polynoms 4. Grades. Und selbst, wenn du die numerisch finden könntest, müsstest du eine Gleichung der Art

lösen, was wohl auch schwierig werden könnte. Du wirst dich also mit einer iterativen Lösung begnügen müssen.

EDIT: Die Abkühlrate durch Wärmestrahlung beträgt am Anfang ungefähr ein halbes Kelvin pro Sekunde. Das solltest du nicht vernachlässigen.

Sven Schulz · Gast

mit

... Nullstellen eines Polynoms 4. Grades

komme ich nicht klar, da reicht dann eher

... was die Lösung der DGL ohne Wärmeabstrahlung ist

das aus.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Sven Schulz · Gast

Das Problem ist, dass T gleich T0 gerade für t -> infinity wird.

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz beschreibt aber nur einen idealen Schwarzen Körper.
wikipedia.org/wiki/Stefan-Boltzmann-Gesetz

bessere wäre ja ein "nicht Schwarzer Strahler"

aber wie man da dann die "Strahungszeit" bestimmt ????

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Wenn überhaupt, dann nur numerisch. Es stimmt schon, "schwarzer Strahler" ist für Metalle nicht so das ideale Modell. Ich weiß ja auch nicht, wer die Aufgabe in welchem Zusammenhang gestellt hat. Irgendwas muss er sich ja dabei gedacht haben. Ohne Wärmestrahlung würde die Kugel die Umgebungstemperatur allmählich annehmen, sie aber nie ganz erreichen. Der Effekt der Wärmestrahlung ist nicht wirklich wichtig, aber er führt eben dazu, dass die Umgebungstemperatur nach endlicher Zeit angenommen wird.

Ich weiß ja auch nicht, in welchem Zusammenhang die Aufgabe gestellt wurde. Falls du nur privat an der Frage interessiert sein solltest, ändere einfach das Ziel ab, also mache die Umgebung etwas kälter oder warte halt, bis die Temperatur der Kugel 1K über Umgebungstemperatur ist, und kühle den Rest irgendwie anders. Allein durch Luftzug kannst du nichts auf Umgebungstemperatur abkühlen. Deswegen wurde auch in der IPhO-Aufgabe gefragt, wie hoch der Turm sein muss, damit die Kugel bis unter die Siedetemperatur von Wasser kommen, nicht auf Umgebungstemperatur.

Physikgast · Gast