Schwingungssystem

Philipp Imhof · Gast

Meine Frage:
Gegeben ist das folgende System:
* Ein Teilchen der Masse m_1 gleitet reibungsfrei auf der Geraden y=x und ein zweites Teilchen der Masse m_2 auf der Geraden y=-x.

* Die beiden Teilchen sind durch eine massenlose Feder der Stärke k (ungespannte Länge=0) verbunden.

Gesucht sind die Gleichgewichtslage, die Schwingungsbewegung um dieses Gleichgewicht und die Eigenfrequenzen.

Meine Ideen:
Das erste Teilchen befinde sich an der Stelle (x_1,x_1), das zweite an der Stelle (x_2,-x_2). Ich kann folgende Kräfte ausmachen:

Das erste Teilchen
- wird von der Feder mit der Kraft k(x_2-x_1) nach rechts gezogen, also positives Vorzeichen
- wird von der Feder mit der Kraft k(-x_2-x_1) nach oben oder unten gezogen, je nachdem ob das zweite Teilchen höher oder tiefer (Vorzeichen ergibt sich passend)
- wird von der Gravitation mit der Kraft -m_1*g nach unten gezogen

Analog für das zweite Teilchen.

Nun fehlt irgendwie der Aspekt, dass die Kräfte ja noch von der jeweiligen Gleitscheine "abgelenkt" werden. Wie kann man das schlau umsetzen?

Danke!

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8584

Am einfachsten ist es wohl, wenn Du die auftretenden Kräfte in Komponenten entlang der erlaubten Bewegungsrichtung und senkrecht dazu zerlegst.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ich glaube, Lagrange ist hier wirklich einfacher, unkomplizierter. Bis auf die Gravitation ist die Lagrange-Funktion wunderbar symmetrisch, so leider nicht mehr ganz, aber trotzdem irgendwie schön:

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8584

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ja, aber hier wird es, finde ich, besonders deutlich. Ehe ich die Formel für die Kraft gefunden habe und die Komponente entlang der Führungsschiene gefunden habe, bin ich so zehnmal fertig. Big Laugh

Eine Sache finde ich doch bemerkenswert, die man an der Lagrangefunktion sieht: die beiden Massenpunkte schwingen unabhängig voneinander. Das hätte ich nicht gedacht...

Philipp Imhof · Gast

Danke für eure Antworten.

@jh8979: Das verstehe ich leider nicht ganz...

@Jayk: Mit der Lagrange-Methode bestimme ich doch nur stationäre Punkte, d.h. ich finde letztlich das Gleichgewicht. Das war allerdings eh nicht das Problem.

Wenn ich aber nun die Schwingungen via 2. Gesetz von Newton berechnen muss, brauche ich doch letztlich die Kräfte trotzdem. Oder verstehe ich etwas falsch?

Namenloser324 · Gast

Durch die Lagrangegleichung kommst du zur Bewegungsgleichung welche dir die Lösung all deiner Fragen offenbart.

Philipp Imhof · Gast

Danke. Mein Fehler. Bei Lagrange dachte ich automatisch an die Lagrange-Multiplikatoren (weil das auch ein Thema im Kurs ist -- ich studiere offensichtlich nicht Physik, sondern Mathe...) und nicht an den Lagrange-Formalismus.

Werde jetzt mal in Wikipedia nachlesen....

Philipp Imhof · Gast

Wow, das hat geholfen: Mit

und

sowie

komme ich erfreulicherweise auf dieselbe Gleichung wie Jayk.

Danach

für i=1,2, so erhalte ich die beiden DGL

und

Vielen Dank für eure Hilfe! Da habe ich echt was tolles gelernt heute....

Bruce · Anmeldungsdatum: 20.07.2004 Beiträge: 537

Die Berechnung der Bewegungsgleichungen aus dem Newton'schen Kraftgesetz
ist hier nicht weiter schwierig, erfordert allerdings ein klitzekleines bißchen
mehr Nachdenken als die Lagrange- oder Hamillton Maschinerie.

Der Vorteil ist: Man sieht direkt, warum die beiden Teilchen hier entkoppelt sind.

Repräsentieren wir die Richtungen der beiden Gleitschienen durch die
Einheitsvektoren

und

und die Richtung der Schwerkraft durch
den Einheitsvektor

. Dann gilt für die Masse

, die entlang
der Schiene mit der Richtung

gleitet:

Hier sieht man auf der rechten Seite im Term, der von der Federkraft herrührt,
daß der Anteil mit

verschwindet, wenn die beiden Richtungen

und

aufeiander senkrecht stehen.

Mit

und

ergibt sich

Beachte: Hier ist

nicht entlang der x-Achse gewählt sondern entlang
der Richtung der entsprechenden Schiene. Analog geht es für

entlang
der anderen Schiene.

In einfachen Fälle, wie dem hier betrachteten, ist der Newton'sche Ansatz noch machbar.
Meistens ist der Lagrange- oder Hamilton Formalismus für konkrete Rechnungen
haushoch überlegen.

Gruß von Bruce

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Nachdenken: Genommen wird die Komponente parallel zu einer erlaubten Bahn (Zwangsbedingung). Achja, das Prinzip von d'Alembert. Da hat sich aber schon jemand die Arbeit gemacht und die Lagrange-Gleichung zweiter Art hergeleitet. Mal im Ernst: Genau da liegt doch die Stärke des Lagrange-Formalismus.
Bruce, da hast du wohl irgendetwas falsch gemacht. Zumindest bin ich auch auf die Gleichung von Philipp Imhof gekommen. Ich rechne mal kurz nach: Die Federkraft auf m1 ist ja eigentlich

. Komponente entlang der Schiene = Skalarprodukt mit

und mit demselben Vektor multiplizieren:

ist die Kraft, die von der Feder herrührt. Dazu kommt die Gravitation:

. Damit bekommt man die Gleichung ohne die Wurzel von 2 im Nenner:

EDIT: Sorry, du hast ja geschrieben, dass x1 die Komponente entlang der Schiene ist. Nun wissen wir aber wenigstens, dass die Gleichung korrekt ist. Big Laugh

Bruce · Anmeldungsdatum: 20.07.2004 Beiträge: 537

Philipp Imhof · Gast

Vielen Dank, Bruce (und Jayk fürs Nachrechnen).

Ja, daran bestand in der Tat ein Interesse. So bin ich für künftige Aufgaben in dieser Art deutlich besser gerüstet. Ich hatte sogar einen ähnlichen Ansatz versucht, aber dann dabei etwas falsch gemacht, weil ich die Wurzel-2 nicht mehr los wurde.

Beste Grüsse

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ja, ich hatte auch implizit angenommen, dass er Physikstudent ist (dass Zwangsbedingungen gerade das Thema sind). Als ich dann gelesen hatte, dass er bei Lagrange an Lagrangemultiplikatoren dachte, hatte ich auch so eine Vorahnung. Big Laugh

Gegen Mitternacht ist bei mir eine sehr produktive Zeit. Ich möchte aber allen raten, um diese Zeit nichts mehr zu tun, was mit Vektoranalysis zu tun hat: Davon kann man nicht schlafen. Hammer

Also generell wirken bei sowas zusätzlich Zwangskräfte. Und das Resultat ist praktisch immer, dass man von der Kraft nur die Komponente nimmt, die parallel zur erlaubten Bahn ist, weil der senkrechte Anteil durch die Zwangskraft kompensiert wird. Wenn es nur eine verallgemeinerte Koordinate gibt, ist manchmal Energieerhaltung einfacher zu handhaben als die Lagrangegleichung 2. Art. Die Zwangskräfte kann man übrigens mit den Lagrangegleichungen 1. Art berechnen.

Für einen Mathestudenten vielleicht interessant: Anstelle der newtonschen Axiome kann man die Mechanik auch auf dem Prinzip der kleinsten Wirkung aufbauen, was zu der Lagrangegleichung 2. Art äquivalent ist. Wie man die Form der Lagrangefunktion herleitet, wird zum Beispiel im Landau/Lifschitz oder auch hier gezeigt: http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=1118&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D3%26ved%3D0CEsQFjAC