Das Photon in der Kiste

HaraldK · Anmeldungsdatum: 02.10.2012 Beiträge: 54

Ich habe eine würfelförmige Kiste mit ideal parallelen Seiten, die innen voll verspiegelt ist, während ich von außen Licht hinein senden kann (halbdurchlässiger Spiegel).

Nun schicke ich 1 m oberhalb des Kistenbodens ein einzelnes Photon in die Kiste und zwar mit Eintrittswinkel von exakt 90 Grad. (Siehe Grafik). Der Winkel soll so genau 90 Grad sein, dass das Photon bis in alle Ewigkeit zwischen den beiden Seitenwänden hin und her gespiegelt wird --- würde man die Gravitation vernachlässigen.

Die Gravitation führt dazu, dass der Weg des Photons ein klein wenig nach unten gebogen ist.

Frage: wie lange dauert es, bis das Photon auf dem Boden der Kiste ankommt?

Vermutung: man kann nun rumrechnen, wie lange das Photon jeweils quer durch die Kiste benötigt und wie weit es dabei nach unten abgelenkt wird. Ich aber denke, die Antwort lautet: es dauert 0,32s, genau so lange, wie es dauert, dass ein Ei (oder welcher Gegenstand auch immer) benötigt um auf der Erde 1m tief zu fallen, wenn er keinen Luftwiderstand spürt.

Andere Meinungen, Rechnungen, Überlegungen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

m.E. kannst du das Problem mittels Newtonscher Mechanik nicht lösen, da diese die Gravitation nur für Körper mit Ruhemasse ungleich Null formulieren kann.

HaraldK · Anmeldungsdatum: 02.10.2012 Beiträge: 54

Ich habe nicht gesagt, dass ich das per Newtonscher Mechanik lösen will. Und das Gravitationsgesetz in der ART ist numerisch in diesem Problem wohl weitgehend identisch mit Newonscher Mechanik.

Mit ART gilt die Erdbeschleunigung dann für jede Art von Energie, auch für das Photon.

Dementsprechend gehe ich davon aus, dass das Photon wie alle Masse oder Energie mit 9,81m/s^2 Richtung Erdmittelpunkt beschleunigt wird. Das bedeutet es legt die 1 m Strecke bis zum Kistenboden in 0,32 Sekunden zurück.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Nimmt man das Aequivalenzprinzip ernst, "faellt" das Photon wohl genauso wie jeder andere Gegenstand (siehe zB Fahrstuhlbeispiel). Ich hab allerdings gerade keine Zeit das mal korrekt durchzurechnen, aber denke im Falle schwacher Gravitation sollte das rauskommen.

Davon abgesehen benoetigt ein Gegenstand auf der Erde im Vakuum keine 0.32s um 1m zu fallen.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Nimmt man das Aequivalenzprinzip ernst, "faellt" das Photon wohl genauso wie jeder andere Gegenstand (siehe zB Fahrstuhlbeispiel). Ich hab allerdings gerade keine Zeit das mal korrekt durchzurechnen, aber denke im Falle schwacher Gravitation sollte das rauskommen.

Davon abgesehen benoetigt ein Gegenstand auf der Erde im Vakuum keine 0.32s um 1m zu fallen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie erhält man für den Winkel der Ablenkung (berechnet für die Lichtablenkung im Gravitationsfeld eines Sternes) den doppelten Wert wie aus der Newtonschen Theorie; letztere macht hier also explizit falsche Vorhersagen.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Ich weiss... aber erstens hat man es hier ja mit einem konstanten Feld zu tun und keinem kugelsymmetrischen und keine Ablenkung im Unendlichen... und zweitens bin ich mit nem Ergebnis mit Faktor 2 Fehler ganz zufrieden smile

PS: Was ist denn Dein Argument gegen die Aequivalenz mit einem konstant beschleunigten Fahrstuhl? Mir faellt da spontan kein gutes Gegenargument ein .. aber ART ist auch nicht direkt mein Fachgebiet...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

hhkk · Gast

D2 · Anmeldungsdatum: 10.01.2012 Beiträge: 1723

Wenn ich auch etwas sagen darf.
Die Aufgabe errinert mich an diese Scherzfrage:
http://www.physikerboard.de/htopic,30464,hund.html

Man kann nur spekulieren wie lange es in einer h= 1 m Vakuumkiste dauern wird bis das Photon auf den Boden ankommt, aber wenn es 2 Photonen sein sollen, dann kann man diese mit einem Elektronen- Positronen Paar ersetzen
http://de.wikipedia.org/wiki/Annihilation
Die Idee ist einfach. Schwerpunkt Kiste/Teilchenpaar wird durch die Gravitation beeinflusst, unabhängig davon ob die Teilchen annihilieren oder nicht.
Wie lange wird es daueren bis die Teilchen mit dem Vertikalimpuls Null brauchen werden um auf dem Boden anzukommen?
Unabhängig von der Masse oder Teilchen/Antiteilchenenart
t = Wurzel(2 * h / g)

HaraldK · Anmeldungsdatum: 02.10.2012 Beiträge: 54

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Ich betrachte mal den allgemeineren Fall eines inhomogenen Gravitationsfeldes, speziell die (stationäre) Schwarzschildlösung im Außenraum einer kugelsymmetrischen Massenverteilung. Die gewählten Koordinaten sind (t,r); die Winkelkoordinaten (θ,φ) sind im Folgenden irrelevant; eine Näherung für ein (näherungsweise) homogenen Gravitationsfeld erhält man durch r = R+x mit R = const. und x/R << 1.

Zunächst führe ich die zwei Funktionen

Dabei gilt κ=1 für massebehaftete Teilchen m>0 und κ=0 für masselose Teilchen m=0.

Der Zusammenhang zwischen Eigenzeit τ (bzw. affinem Parameter s für masselose Teilchen) und Koordinatenzeit t lautet

Die Energiegleichung lautet

Da wir einen Vergleich zwischen massebehafteten und masselosen Teilchen durchführen wollen können wir nicht die Eigenzeit benutzen (da diese für masselose Teilchen nicht definiert ist) sondern formulieren das Problem stattdessen in Koordinatenzeit, d.h.

Daraus folgt

Auflösen nach dt liefert

und damit für die Zeitdifferenz für das Zurücklegen der Differenz im Radius von r nach r – Δr

Da nun aber die beiden Integranden für m=0 mit κ=0 sowie m>0 und κ=1 strukturell unterschiedlich sind, wird auch (bei gleicher Energie E) die Zeitdifferenz (in Koordinatenzeit) Δt i.A. unterschiedlich sein.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Die Newtonsche Näherung für m>0 erhält man, wenn man in h den Grenzübergang

durchführt.

Der Fall m=0 kann allerdings aus der Newtonschen Mechanik nicht hergeleitet werden

HaraldK · Anmeldungsdatum: 02.10.2012 Beiträge: 54

Vielen Dank für die ausführliche Herleitung. Da ich nicht Physik studiert habe, sondern mich der Materie nur mit mathematischen Vorkenntnissen aber Unwissen über Formelzeichenkonventionen annähere, kann ich mit etwa der Hälfte der Variablen leider nichts anfangen.

Ich weiß, dass das saulästig ist, aber wenn Du die Variablen R, L,

, M,

und h (ohne Parameter) erklären würdest, könnte man Deine Herleitung sicher verstehen. So ist das ganze leider nur für Eingeweihte zu verstehen. Aber die würden nicht fragen.

Wie lange braucht den nun das Photon, bis es auf dem Boden der Kiste angelangt ist?

(P.S. Die Verwendung vieler Variablen ohne Erklärung der Bedeutung und Signatur ist leider auch in teuren Physiklehrbüchern weit verbreitet und führt gerade für jemand der sich einlesen will nicht gerade zur Erhellung.)

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

OK; ich werde das nochmal einfacher darstellen, insbs. werde ich das für ein konstantes Gravitationsfeld mit der potentiellen Energie U = mgz (m = Masse, g = "Erdbeschleunigung", z = z-.Koordinate = Höhe) herleiten. Außerdem kann man gleichermaßen annehmen, dass man es mit einer beschleunigten Bewegung der Kiste mit Beschleunigung g zu tun hat. Damit sollte die Äquivalenz von Beschleunigung g und (homogenem) Gravitationsfeld mit "Erdbeschleunigung" g klar werden.

HaraldK · Anmeldungsdatum: 02.10.2012 Beiträge: 54

Hoffe mein Einwand zu den Variablen ist nicht zu heftig rüber gekommen. Ich kann verstehen, dass man nicht gleich eine Veröffentlichung schreiben will. Aber ich habe wirklich schon so oft über Physikbücher geflucht, dass ich da wohl auch etwas sensibel bin grübelnd

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Nun, mir ging es auch gar nicht um die Einzelheiten, sondern um den strukturellen Unterschied zwischen lichtartigen Teilchen und massebehafteten Teilchen.

Zu den Bedeutungen:
M: Masse des Zentralkörpers (z.B. Erde)
L: Drehimpuls (erhalten entlang einer Bahnkurve
E: eine Konstante der Bewegung, verwandt mit der rel. Gesamtenergie (genauer Bezug spielt keine Rolle)
κ=1,0: wiord verwendet, um in der selben Formel die verschiedenen Fälle m>0 und m=0 behandeln zu können.
f,h: zwei Funktionen

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

push - hab's nicht vergessen

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Hallo nochmal, hoffe, das Thema ist noch von Interesse: es geht um den Vergleich eines im Schwerfeld fallenden (massiven) Teilchens und um ein (masseloses) Photon.

Wir betrachten drei verschiedene Situationen, nämlich A) einen gravitationsfreien Raum (Minkowski-Raum) mit einem konstant beschleunigten Kasten sowie B) einen kugelsymmetrischen Himmelskörper mit Schwarzschildmetrik. Ich werde die wesentlichen Unterschiede aufzeigen. Zuletzt komme ich noch auf einige exotische Beispiele C) zurück, die bzgl. des Gravitationsfeldes dem Fall A) ähneln, jedoch bzgl. des Falls von Probekörpern eher Effekte wie bei B) aufweisen

A) entspricht dem ursprünglichen Gedankenexperiment Einsteins. Interessanterweise ist die exakte mathematische Behandlung bereits ziemlich kompliziert. Man benötigt dazu die sogenannten Rindler-Koordinaten

http://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_coordinates

Man startet für mit einer Bahnkurve in flachen Minkowski-Koordinaten

Diese Bahnkurve sieht der nicht-beschleunigte Beobachter, d.h. er misst seine Zeit T, der Wert X sei konstant gleich A, der Wert Y konstant gleich 0, und in Z-Richtung bewegt sich das Teilchen mit einer Geschwindigkeit v ≤ 1 (ich setze c=1).

Der in x-Richtung beschleunigte Beobachter benutzt sogenannte Rindler-Koordinaten. Diese haben die interessante Eigenschaft, dass sie einen Ereignishorizont für T = ±X enthalten und somit nur in einem Teilbereich des Minkowski-Raumes gültig sind. In diese Koordinaten lautet die Bahnkurve

noch ausgedrückt durch die Minkowski-Zeit T. Uns interessiert aber nur, dass die neue x-Koordinate unabhängig von der Geschwindigkeit v gewählt wird. Das bedeutet nun folgendes:

Teilchen beliebiger Geschwindigkeit v ≤ 1 legen in der selben Zeit t die selbe Strecke x (jeweils gemessen in Rindler-Koordinaten) zurück. D.h. ein massebehaftete Teilchen m > 0 „fällt“ aus der Ruhelage genauso schnell wie ein ursprünglich in Z-Richtung bewegtes Photon mit Z=vT (das Photon bewegt sich am Start rein in z-Richtung, wird aber natürlich für t>0 durch die Beschleunigung auch eine Bewegung in x-Richtung aufweisen)

Aufgrund des Ereignishorizontes können wir nicht berechnen, wie lange es (in Rindler-Koordinaten) dauert, bis das Teilchen von der Anfangsposition x=A zu x=0 gefallen ist (da hier das Koordinatensystem singulär wird). Wir können aber natürlich berechnen, wie lange es dauert, bis das Teilchen von x = A bis x = A - h für sehr kleines h fällt.

B) Nun zur Schwarzschildmetrik:

http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_coordinates

Hier betrachten wir zunächst den radialen Fall eines Testteilchens, das sich ursprünglich in Ruhe befindet. Die Dauer des Falls (mit Fallhöhe h) von einem Radius r zu r-h berechnet sich zu

Die Gleichung gilt für die Koordinatenzeit t außerhalb des Schwarzschildhorizontes. Die Falldauer zum Schwarzschildhorizont selbst ist Unendlich, da in diesem Fall der Nenner Null wird und der Logarithmus divergiert!

Im Falle eines massiven Teilchens kann man auch die in dessen Eigenzeit gemessene Falldauer berechnen; man findet auch für den Fall bis zum Schwarzschildradius die endliche Zeit

D.h. dass für einen außenstehenden Beobachter der Fall bis zum Ereignishorizont unendlich lange zu dauern scheint, dass der Fall für das Teilchen selbst jedoch in endlicher Zeit stattfindet (für normale Himmelskörper befindet sich der Schwarzschildradius im Inneren und die Rechnungen sind nur gültig für den Fall bis zu dessen Oberfläche).

Nun vergleichen wir das mit dem Fall eines zunächst rein tangential bewegten Lichtstrahls. Tangential bedeutet, dass der Lichtstrahl (zunächst) keine radiale Geschwindigkeitskomponente besitzt. Er kann aber im Gegensatz zu dem massiven Teilchen natürlich nicht vollständig in Ruhe sein (für das Teilchen habe ich angenommen, dass es am Radius r zunächst ruht).

Ich hatte das oben bereits skizziert, möchte hier aber auf die eher komplizierte Rechnung verzichten und statt dessen ein ganz einfache Überlegung anstellen: Wir wissen, dass Lichtstrahlen an Sternen leicht abgelenkt werden, d.h. wir vermuten, dass rein tangentiale Lichtstrahlen sozusagen in Richtung des Sternes „fallen“. Wir überlegen uns, wie das in der Nähe eines schwarzen Lochs aussehen könnte. Dort stellt man nämlich fest, dass bei

ein (instabiler) kreisförmiger Orbit für Photonen möglich ist. D.h. hier gilt gemessen in Koordinatenzeit t

Für unser Photon in der Kiste bedeutet dies nun folgendes: Stellen wir uns vor, der Beobachter befindet sich innerhalb einer stationären Kiste auf Höhe des Photonorbits (recht nahe am Schwarzschildradius). Er lässt zum einen ein massives Teilchen aus der Ruhelage senkrecht fallen und misst die Zeitdauer, die es zum Zurücklegen einer Strecke h benötigt. Zum anderen beobachtet er einen Lichtstrahl senkrecht zur Wirkung des Gravitationsfeldes; für letzteren stellt er fest, dass dieser rein tangential verläuft, d.h. es findet (bei nicht zu großer Kiste) keinerlei Ablenkung statt!

Dies ist nun nicht weiter verwunderlich, denn der Beobachter befindet sich ja eben nicht in einem konstanten Gravitationsfeld sondern in einem Gravitationsfeld eines extrem kompakten Sternes oder sogar eines schwarzen Lochs. Und zudem führt der Beobachter ein nicht-lokales Experiment durch: für eine genügend große Kiste würde er feststellen, dass die Photonen einer Kreisbahn folgen und dass die Bahnen frei fallende Testteilchen in Richtung des Kistenbodens aufeinander zulaufen.

C) Nun kann man versuchen, andere Gravitationsfelder zu konstruieren, die (im Gegensatz zur Schwarzschildmetrik) eine reine x-abhängige „Kraftkomponente“ haben. Beispiele dafür sind die Gravitationsfelder unendlich ausgedehnter sowie infinitesimal dünner Platten in der yz-Ebene (wodurch eine Anziehungskraft in x-Richtung zustande kommen sollte)

http://arxiv.org/pdf/0708.2906.pdf

Es stellt sich dabei heraus, dass diese Gravitationsfelder eine Besonderheit aufweisen, die zu ähnlichen Effekten wie in der Schwarzschildmetrik führt. Betrachten wir zunächst das Gravitationsfeld in x-Richtung sowie die daraus resultierende Bewegungsgleichung in der Newtonschen Mechanik; wir lassen wiederum ein Testteilchen aus der Ruhelage in x-Richtung fallen, geben ihm jedoch zusätzlich eine nicht-verschwindende Geschwindigkeit in der yz-Ebene. Die Bewegungsgleichungen lauten (bei geeigneter Koordinatenwahl)

d.h. die Anziehungskraft in x-Richtung ist unabhängig von der zur x-Richtung senkrechten Geschwindigkeit.

Im Falle des linearen Feldes (als Näherung sehr nahe an der Erdoberfläche) ist a(x) = g, g ist der Ortsfaktor.

Nun betrachten wir das Analogon in der ART; man findet eine modifizierte Bewegungsgleichung

Der Korrekturterm b bedeutet, dass die „Anziehungskraft“ bzw. die Beschleunigung in x-Richtung abhängig wird von einer dazu senkrechten Geschwindigkeit!! Und dies bedeutet wiederum, dass in einer derartigen Raumzeit Körper nur dann gleich schnell in x-Richtung fallen, wenn sie identische zu x senkrechte Geschwindigkeit haben. Dies kann man für massebehaftete Probekörper und deren Fall aus der Ruhelage immer erreichen. Aber für Photonen funktioniert das nicht, da für diese bei verschwindender Anfangsgeschwindigkeit in x-Richtung für die dazu senkrechte Geschwindigkeit immer (!)

gelten muss.

Zusammenfassend kann man feststellen, dass Photonen mit einer Anfangsgeschwindigkeit senkrecht zum Gravitationsfeld sowie massebehaftete Probekörper in Ruhe nicht gleich schnell in Richtung des Gravitationsfeldes fallen!! Der zu Beginn diskutierte Fall A) stellt eine triviale Ausnahme dar.

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

Einsteins Arbeit

Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichts

aus dem Jahre 1911 beruht noch auf der SRT. Später hat er die Rechnung im Rahmen der ART wiederholt. Dabei ergab sich für die Lichtablenkung durch die Sonne dasselbe Ergebnis. Nun hat mich interessiert, was sich nach obiger Arbeit für das Photon im Kasten ergäbe. Für die Krümmung

eines Lichtstrahls im Gravitationsfeld mit dem Potential

hat Einstein hergeleitet:

Dabei ist

die Richtungsableitung des Potentials in Richtung der Normalen zur Ausbreitungsrichtung des Lichtstrahls am jeweiligen Ort. Die Winkelablenkung des Lichtstrahls ergibt sich dann durch Integration der Krümmung über die Bahnkurve.

Betrachtet man ein homogenes Gravitationsfeld der Feldstärke g, das entgegengesetzt der y-Richtung orientiert ist und einen Lichtstrahl, der sich aktuell im Winkel

zur x-Achse bewegt, dann ist

Für einen in Richtung der x-Achse startenden Lichtstrahl ist zunächst

in guter Näherung konstant und der Lichtstrahl bewegt sich näherungsweise auf einem Kreis mit Radius

. Man rechnet leicht aus, dass in der Zeit, in der ein Körper nach klassischer Mechanik um einen Meter nach unten fällt, sich der Lichtstrahl in sehr guter Näherung auch um einen Meter nach unten bewegt hat.

Für größere Zeiten/Entfernungen ergeben sich aber deutliche Unterschiede zwischen der Bahnkurve des Körpers nach klassischer Mechanik und der Bahnkurve des Lichtstrahls. Es sei y(x) die Bahnkurve. Dann hat man:

Die Integration ergibt:

Die Bahnkurve des Körpers nach klassischer Mechanik wäre dagegen

Die Bahnkurve des Lichtstrahls verläuft also steiler als die Bahnkurve des Körpers nach klassischer Mechanik. Man beachte aber, dass sich, außer zu Anfang, auch die Geschwindigkeiten unterscheiden. Interessanterweise kann der Lichtstrahl in horizontaler Richtung die Entfernung

nicht überschreiten.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

@ TomS

Mein Beitrag war nicht als Kontrast und schon gar nicht als Widerspruch zu deinem Beitrag davor gedacht.

Ich habe lediglich aus Interesse versucht, die Einsteinsche Rechnung aus 1911 für ein homogenes Gravitationsfeld durchzuführen. Und er hat dort die Bewegung des Lichtstrahls nach der SRT unter gewissen zusätzlichen Annahmen für die Wirkung der Gravitation mit der Bewegung eines massebehafteten Teilchens verglichen, das sich nach klassischer Mechanik bewegt und mit Anfangsgeschwindigkeit c aus dem Unendlichen kommend an der Sonne vorbeifliegt. Er hat bei diesem Vergleich die doppelte Winkelablenkung des Lichts herausbekommen im Vergleich zu dem Teilchen nach klassischer Mechanik. Weshalb sollte ich nicht denselben Vergleich für ein homogenes Gravitationsfeld versuchen?

Die Anfangsbedingungen habe ich gleich gewählt. Ich lasse auch das klassische Teilchen mit c losfliegen, auch wenn es dass nach der SRT nicht kann. Zur Frage nach der Zeit habe ich für den ein Meter Kasten auch eine Aussage gemacht.

Dass mein Beitrag genau die Frage von HaraldK trifft, habe ich nicht behauptet. Ich hoffe einfach, er findet ihn nicht uninteressant. Insgesamt verstehe ich nicht, weshalb du so harsch reagierst!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

D2 · Anmeldungsdatum: 10.01.2012 Beiträge: 1723

HaraldK · Anmeldungsdatum: 02.10.2012 Beiträge: 54

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062