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Quasar444
Gast





Beitrag Quasar444 Verfasst am: 01. März 2012 21:57    Titel: Orbitalmodell Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Könnte mir jemand erklären, warum nur zwei Elektronen in ein Orbital "passen". Meines Wissens nach hat das etwas mit dem Pauli-Prinzip zu tun. Aber es muss ja eine quantenmechanische Erklärung dafür geben.

Meine Ideen:
Ich meine gelesen zu haben, dass das Pauli-Prinzip etwas mit antisymmetrischen und symmetrischen Wellenfunktionen und deren Vertauschung zu tun hat. Hat jemand dazu nochmal ne verständliche Erklärung?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17897

Beitrag TomS Verfasst am: 02. März 2012 00:39    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, es handelt sich dabei um das Pauli-Prinzip und dies ist die quantenmechanische Erklärung.

Eine noch tiefere Ursache ist das sogenannte Spin-Statistik-Theorem, das zur Konsequenz hat, dass Fermionen mittels sogenannter antikommutierender Operatoren zu quantisieren sind; daraus folgt dann das Pauli-Prinzip algebraisch als Konstruktionsprinzip der zugrundeliegenden mathematischen Struktur, nicht als dynamisches Prinzip im Sinne von Wechselwirkung, Abstoßung o.ä. Es ist nicht so, dass die beiden identischen Elektronen den selben Zustand irgendwie vermeiden; es ist im Rahmen des mathematischen Formalismus gar nicht mehr möglich, dies überhaupt zu formulieren.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Quasar444
Gast





Beitrag Quasar444 Verfasst am: 02. März 2012 08:22    Titel: Antworten mit Zitat

Das verstehe ich nich ganz. Das Pauli-Prinzip verbietet Fermionen doch, den gleichen (Quanten)Zustand zu haben. Daher wollen die Fermionen diesen Zustand doch vermeiden.

Das Pauli-Prinzip hat doch irgendetwas mit Wellenfunktionen zu tun, welche bei ihrer Vetauschung antisymmetrisch werden. Simmt das?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17897

Beitrag TomS Verfasst am: 02. März 2012 10:39    Titel: Antworten mit Zitat

Quasar444 hat Folgendes geschrieben:
Das verstehe ich nich ganz. Das Pauli-Prinzip verbietet Fermionen doch, den gleichen (Quanten)Zustand zu haben. Daher wollen die Fermionen diesen Zustand doch vermeiden.

Ja, es verbietet ihnen das; aber daher "wollen die Fermionen ihn nicht vermeiden", sondern ist prinzipbedingt ausgeschlossen.

Es ist so wie wenn du jemandem einen Bleistift gibst und er ein farbiges Bild malen soll. Dann kann er prinzipbedingt kein farbiges Bild malen und es ist nicht so, dass sich die Blume auf dem Bild dagegen wehrt, farbig zu werden.

Quasar444 hat Folgendes geschrieben:
Das Pauli-Prinzip hat doch irgendetwas mit Wellenfunktionen zu tun, welche bei ihrer Vetauschung antisymmetrisch werden. Simmt das?

Genau das meine ich damit, dass Fermionen mittels antikommutierender Operatoren zu quantisieren sind.

Kennst du Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren?

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Quasar444
Gast





Beitrag Quasar444 Verfasst am: 02. März 2012 11:48    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, ich kenne keine Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Könntest du mir das erklären? LOL Hammer
Quasar444
Gast





Beitrag Quasar444 Verfasst am: 02. März 2012 11:49    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, ich wollte diesen komischen Smilie nicht erzeugen!!!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17897

Beitrag TomS Verfasst am: 02. März 2012 12:35    Titel: Antworten mit Zitat

In der modernen Formulierung der Quantenmechanik verwendet man die Dirac-Notation für Zustände (Kets) in einem abstrakten Hilbertraum; das wäre sowas wie ein Zustand \psi



Nun betrachten wir einen Vakuumzustand ohne Teilchen



sowie Teilchen mit bestimmten Eigenschaften S, wobei S z.B. Teilchensorte (Elektron o. Positron), Spinorientierung (+1/2 o. -1/2), Impuls p oder Drehimpuls L subsummiert.

Dann schreibt man z.B.



für einen Zustand, wobei genau n Teilchen die Eigenschaft S haben, alle anderen Eigenschaften S', S'', ... habe ich durch ... angedeutet.

Einen derartigen Zustand erzeugt man durch Anwendung von Erzeugungsoperatoren auf das Vakuum (wobei ich hier der Einfachheit halber die Normierungskonstante weglasse, da sie im Falle von Fermionen sowieso immer gleich Eins sein wird). D.h. man schreibt



Erzeugungsoperatoren beschreiben dabei das 'formale Erzeugen' von Teilchen; die 'physikalische Erzeugung' wird durch etliche Bedingungen eingeschränkt, so dass z.B. immer nur bestimmte Kombinationen von Erzeugern und Vernichtern in einer Theorie auftreten, da die physikalsiche Erzeugung z.B. die Ladungserhaltung garantieren muss, d.h. also dass Erzeuger von Elektronen udn Positronen immer paarweise auftreten müssen. Aber das brauchen wir im folgenden nicht.

Bisher haben wir den allgemeinen betrachtet und habe noch keine konkrete Eigenschaft von fermionischen Erzeugungsoperatoren betrachtet. Diese lauten







Konkret benötigen wir die zweite Gleichung für S=S', also für identische Eigenschaften; damit vereinfacht sich das zu



D.h. dass das Quadrat des Erzeugungsoperators algebraisch gleich Null wird und dass dieser Operator niemals die Chance hat, zwei Teilchen zu erzeugen, denn



0 ist aber nicht der Vakuumzustand sondern "kein Zustand", d.h. diesen Zustand gibt es sozusagen gar nicht!

Damit ist das Pauli-Prinzip automatisch garantiert, ohne dass sich zwei Teilchen abstoßen müssten oder soetwas. Und dass nun diese spezielle Art von Operatoren für Spin-1/2 Teilchen (Fermionen) zu verwenden ist folgt zwingend aus dem Spin-Statistik-Theorem.

Diese seltsamen Operatoren kann man aus sogenannten Grassmann-Zahlen ableiten http://en.wikipedia.org/wiki/Grassmann_number wobei diese wiederum als Matrizen dargestellt werden können.

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