Massenträgheitsmoment eines Blockes mit Spindelantrieb

fishman · Anmeldungsdatum: 04.09.2008 Beiträge: 12

Hallo,

ich muss für eine Berechnung die Dynamik eines Blockes (Tisch) ermitteln. Dieser wird von einem Motor angetrieben. An dem Motor sitzt ein Getriebe mit einer bestimmten Übersetzung. An dem Getriebe befindet sich eine Spindel mit bestimmter Steigung. Daran wiederum ein Metallblock mit definierter Masse. Die Spindel geht mittig durch diesen Block hindurch und bewegt ihn abhängig von der Drehzahl.

Wie kann ich aus der Masse des Blockes und den Anstieg der Spindel auf das Massenträgheitsmoment des Blocks schließen?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

eine Rückfrage:

Soll der Block wirklich gedreht werden, oder meinst du eine Art effektives Massenträgheitsmoment, das der sich drehende Motor vom Block als "Widerstand" entgegengesetzt bekommt?

Hast du schon angefangen, für ein paar der hier beteiligten Elemente die Kraft- bzw. Drehmoment- Ubersetzungsverhältnisse aufzustellen, und magst du mal hier zeigen, wie weit du damit bisher schon gekommen bist?

fishman · Anmeldungsdatum: 04.09.2008 Beiträge: 12

Der Block soll sich in einer Führung bewegen, also nicht gedreht werden.

Ich hab mit folgendes überlegt:

Jetzt kommt ein Teil, wo ich mir nicht sicher bin:

Damit ergibt sich:

wobei der Radius der Spindel gleich

ist. s steht dabei für die Steigung des Gewindes...

Ich bin mir aber nicht sicher, ob diese Überlegungen richtig sind...

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Einverstanden, ich finde, einen sehr großen Teil der Aufgabe hast du damit bereits geschafft. smile

Du hast die Drehgrößen in deinen Gleichungen bisher noch alle auf die Spindel bezogen.

Ich würde aber vermuten, dass das Trägheitsmoment des Blockes, das hier letztendlich interessiert und wohl gesucht ist, das in Bezug auf die Motorwelle sein dürfte.

Kennst du das Übersetzungsverhältnis von der Spindel bis zum Motor, und magst du gleich mal versuchen, es zu verwenden, um auch diesen Schritt noch zu machen?

fishman · Anmeldungsdatum: 04.09.2008 Beiträge: 12

naja, die Auswirkungen auf das Massenträgheitsmoment der Welle sind eher gering, da die Übersetzung mit 1/ü^2 eingeht.
Beispiel:

Block mit einem Gewicht von 50g ergibt mit einer Spindelsteigung von 0,4mm/umdr. ein Massenträgheitsmoment von ca.

.

Mit einer Übersetzung von 24:1 ergibt sich somit zusätzliches zum Trägheitsmonent der Welle ein Wert von ca.

.

Und somit bei einer Welle mit

vernachlässigbar...

Oder?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Einverstanden smile

Schlägt man also die Massenträgheit des Blockes auf das Trägheitsmoment der Spindel drauf, bekommt man dadurch eine Zunahme deren Trägheitsmomentes um

, schlägt man die Massenträgheit des Blockes auf die Motorwelle drauf, bekommt man mit dem Übersetzungsverhältnis

dadurch eine Zunahme des Trägheitsmomentes der Welle um

Einen 50 g-Block wie in deinem Beispiel wird dein Beispielmotor also ziemlich leicht hin- und herbewegen können, die Beschleunigung des Blockes wird dabei im wesentlichen durch die Trägheit des Motors selbst bestimmt.

//edit:

Haben wir bei der ganzen Betrachtung nun nicht noch das "Kräfteübertragungsverhältnis" der Spindel vergessen? Wie ist das Verhältnis von tangential an der Spindel wirkender Kraft und Vortriebskraft bei bekannter Ganghöhe der Spindelwindung?

fishman · Anmeldungsdatum: 04.09.2008 Beiträge: 12

naja, ich bin mir da nicht sicher. Damit alles schön zusammenpasst, habe ich den Radius der Spindel als Spindelsteigung (mm/Umdrehung) durch 2*Pi bestimmt. Kann ich das so machen?

somit ergibt sich für das Massenträgheitsmoment des Tisches:

mit

als Spindelsteigung

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Das wäre die Rechnung, wenn die Spindel eine Rolle wäre und der Block an einem Seil befestigt wäre, das auf dieser Rolle aufgerollt wäre, also tangential an dieser Rolle zieht.

Wir wollen hier aber herausfinden, wie stark sich die Spindel in Spindelachsenrichtung bewegt, während sie sich dreht.

Kannst du also, wenn du die Steigung und den Radius der Spindel kennst, und vielleicht mit Hilfe einer passenden Skizze, herausfinde, wie weit sich die Spindel entlang ihrer Achse verschiebt, während sie sich einmal dreht? Und damit Beziehungen aufstellen zwischen

* Geschwindigkeit des Blockes und Winkelgeschwindigkeit der Spindel

* Beschleunigung des Blockes und Winkelbeschleunigung der Spindel

* Masse des Blockes und dementsprechendes, auf die Spindel aufgeschlagenes Trägheitsmoment ?

fishman · Anmeldungsdatum: 04.09.2008 Beiträge: 12

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ach so, wenn du die Information "Verschiebeweg pro Umdrehung" bereits kennst, dann brauchst du den Radius der Spindel natürlich nicht zu wissen.

Den Anfang der Überlegung hast du damit bereits. Schaffst du auch die weiteren Schritte, die ich vorgeschlagen habe? Magst du dazu am besten die gefundenen Zusammenhänge zwischen Verschiebeweg und zurückgelegtem Drehwinkel, etc., in Formelform schreiben, damit es überischtlicher wird und du leichter umformen kannst?

Also Formeln für die Beziehungen zwischen

und

hinschreiben?

Und die zum Beispiel mit den Formeln für Translations-Bewegungen und Drehbewegungen, die du kennst, weiter umformen? Was hat die Beschleunigung mit der Kraft zu tun, was die Winkelbeschleunigung

mit dem Drehmoment? Wie lautet die Formel für die Verschiebearbeit um einen Weg d mit der Kraft F, wie die für die Drehung um einen Winkel phi mit dem Drehmoment M ? ...

fishman · Anmeldungsdatum: 04.09.2008 Beiträge: 12

Geschwindigkeit:

Beschleunigung:

Kraft und Moment:

soweit erstmal richtig?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Soweit bin ich einverstanden smile

In der letzten Zeile, also der Formel für das Drehmoment, kannst du dir die Sache einfacher machen, indem du ein Trägheitsmoment in die Formel schreibst.

Magst du dann mit den Verschiebearbeiten weitermachen?

fishman · Anmeldungsdatum: 04.09.2008 Beiträge: 12

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Für die Translationsbewegung: Arbeit ist gleich Kraft mal Weg. (als Formel: ...)

Für die Rotationsbewegung analog: Arbeit ist gleich ???

------------

Und die Zeile mit dem M wolltest du noch als M= ... schreiben, wobei in dem ... ein Trägheitsmoment mit drin stehen soll.

fishman · Anmeldungsdatum: 04.09.2008 Beiträge: 12

nagut, dann versuch ich das mal:

aber ich bin mir nicht sicher, wie das weiter geht...

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich hatte das ein bisschen einfacher gemeint:

Hast du schon mal von den Formeln für die Drehbewegung

Drehmoment gleich Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung

und

Arbeit gleich Drehmoment mal zurückgelegter Winkel

gehört?

fishman · Anmeldungsdatum: 04.09.2008 Beiträge: 12

Ja, die Formeln habe ich schon einmalgesehen.

wenn die Bedingung

also

gilt.

Und

.

Aber bringt uns das weiter?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich würde nicht empfehlen, hier

fishman · Anmeldungsdatum: 04.09.2008 Beiträge: 12

Gut, wenn ich diese Formel her nehme dann ergibt sich:

Das Verhältnis von

und

kann man als:

darstellen.

Wenn man dieses Ergebnis wieder oben einsetzt kürzt sich

weg und es bleibt stehen:

oder

.

Was mache ich mit

?

Gilt

???

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

fishman · Anmeldungsdatum: 04.09.2008 Beiträge: 12

Also steht somit als Ergebnis

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Einverstanden smile

Damit sind wir uns nun sicher, dass wir den Faktor

zwischen Masse und dementsprechendem Trägheitsmoment auf der Spindel richtig hergeleitet haben.

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Nun müssen wir uns nur noch klarmachen, dass das

nicht einfach gleich dem Radius der Spindel ist:

In der Skizze unten gilt für den Winkel

, der die "Schrägheit" der Spindelwindungen kennzeichnet:

Damit ist der Radius der Spindel gleich

und nicht etwa, wie oben vermutet,

.

(Deine erste Herleitung von oben enthielt also zwei Fehler, einmal die Annahme, der Faktor sei einfach gleich r^2 und zum anderen eine falsche Beziehung zwischen s und r. Obwohl trotz dieser zwei Fehler bei dieser Herleitung zufällig das richtige Ergebnis herauskam, war ich deshalb mit dem Ergebnis dieser Herleitung nicht einverstanden gewesen (weil ich da irgendwie aufgrund der zwei Fehler noch dachte, du meintest mit dem s etwas anderes).)

Bobb3105 · Anmeldungsdatum: 11.12.2012 Beiträge: 5

Ist dieser Block mit der Spindel eine Anwendung, die vertikal oder horizontal geführt ist ?