Dipolfeld herleiten

zickzack · Anmeldungsdatum: 02.08.2007 Beiträge: 1

Hallo zusammen!

Ich würde gerne das E-Feld eines Dipols herleiten - habe dabei aber Probleme. In unserem Skript steht für das Potential:

Dabei ist

das Diplomoment,

der Winkel zwischen

und

eben der Radius zum zu berechnenden Punkt von der Mitte des Dipols aus. Außerdem soll

sein. (Hoffe es ist halbwegs verständlich, sonst zeichne ich es mal auf).

Wenn man das Potential erstmal hat muss man ja nur noch den Gradienten berechnen und ist fertig. Aber wie kommt man auf dieses Potential?
Ich dachte mir folgendes:

Beim Potential hat man ja das Superpositionsprinzip. Ich fange mal ganz einfach an und betrachte das Potential entlang des Dipolmomentes. Dann ist für die "vordere" positive Ladung:

Und das Potential:

Ich vermute mal, wegen

kann man

vernachlässigen und erhält für das Potential also:

Ich kapiere jetzt erstens nicht, wie man (wenn man l/2 vernachlässigt) das Superpositionsprinzip anwenden soll. Dann würden sich die Potentiale doch gegenseitig aufheben. Und zweitens ist mir schleierhaft, wie man bei der angegebenen Formel auf das

im Nenner kommt.

Kann mir jemand dabei helfen?

isi1 · Anmeldungsdatum: 03.09.2006 Beiträge: 2902 Wohnort: München

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Allgemein ist

Das Wort Dipolfeld deutet nun auf eine Näherung hin. Die Näherung besteht darin, dass der Ausdruck

in eine Reihe um x entwickelt und beim linearen Anteil (= 1 Ordnung in xi) abbricht ! Ich gehe von der Art deiner Fragestellung davon aus, dass du nicht nach Kugelflächenfunktionen entwickeln sollst, sondern in normalen Koordinaten.

Die Reihenentwicklung einer eindimensionalen Funktion ist

Die Reihenentwicklung einer dreidimensionalen Funktion im Raum ist genauso, nur eben dreidimensional:

Du musst also die Reihe bis zum ersten Glied ermitteln und dann in die Summe hineinnehmen. Daraus erhältst du deine gewünschte Formel und das Dipolmoment p. Ich hoffe, Du weisst was der Nabla Operator ist. Er ist der Gradient, d.h. gibt die Steigung der Kontur von f in jedem Raumpunkt an.

Hilft dir das weiter ?