Aufgabe zur schiefen Ebene

shadow07 · Anmeldungsdatum: 08.04.2007 Beiträge: 371

Hallo,

ich bräuchte mal Hilfe zu folgender Aufgabe.

Ein quaderförmiger Körper gleite infolge einer horizontal einwirkenden Kraft F eine geneigte Ebene (Neigungswinkel alpha) hinauf. Die Bewegung sei reibungsbehaftet (Gleitreibungskoeffizient u_R) und geradlinig gleichförmig.

Geben Sie einen Ausdruck für den Betrag der Kraft F an. Legen Sie dabei ein geeignetes Koordinatensystem in den Schwerpunkt des Körpers und betrachten Sie die Komponenten der Kräfte entlang der Koordinatenachsen.

Ich habe mal eine Skizze mit allen Kräften angefertigt.

Wirken hier zwei Normalkräfte senkrecht zur schiefen Ebene?

Horst H. · Anmeldungsdatum: 07.03.2007 Beiträge: 37

shadow07 · Anmeldungsdatum: 08.04.2007 Beiträge: 371

Das die Vektoren nicht die ideale Länge haben war mir schon bewusst, aber spielt ja letztendlich keine Rolle.

shadow07 · Anmeldungsdatum: 08.04.2007 Beiträge: 371

Ich habe eine bessere Skizze angefertigt.

Was ich bisher habe ist folgendes:

F_N = F_g*cos(alpha) [Normalkraft]
F_H = F_g*sin(alpha) [Haftreibungskraft]
F_T = F*cos(alpha) [Hangauftriebskraft]
F_g = m*g [Gravitationskraft]

Ist die resultierende Kraft F nicht die Addition aller 4 Kräfte? Der Vektor für F war der einzige der vorgegeben wurde.

Wobei, wenn man F_T = F*cos(alpha) nach F auflöst, erhält man F = F_T/cos(alpha)

Jetzt muss man irgendwie F_T zerlegen und ersetzen grübelnd

Nur wie, da dreht man sich nur im Kreis Hilfe

Horst H. · Anmeldungsdatum: 07.03.2007 Beiträge: 37

shadow07 · Anmeldungsdatum: 08.04.2007 Beiträge: 371

Die Skizze ist doch egal, es geht um die Berechnung, den Betrag von F auszurechnen.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich würde die Aufgabe so angehen:
Auf den Körper wirken vier reale Kräfte:

1. Die Gewichtskraft: Richtung und Betrag sind bekannt
2. Die schiefe Ebene übt eine Kraft schräg nach oben aus (Normalkraft). Ich würde die wirklich so betrachten, wie sie die Ebene auf den Körper ausübt, also nach links-oben. Hier ist die Richtung bekannt, aber noch nicht der Betrag. Der setzt sich aber aus mehreren Anteilen zusammen. Ein Teil der Kraft F kommt noch dazu.
3. Die Reibung wirkt entgegen der Bewegungsrichtung, die nach rechts oben gerichtet ist. Deshalb ist die Kraft nach links unten gerichtet. Hier kennen wir die Richtung, allerdings wissen wir auch etwas über den Betrag: Der ist

Dumm nur, dass wir FN noch nicht kennen.
4. Dann wirkt noch die Kraft F auf den Körper. Auch hier ist die Richtung bekannt und der Betrag noch nicht so ganz.

Wenn Du Dich wundern solltest, wo die Hangabtriebskraft geblieben ist: Eigentlich ist das keine wirklich zusätzliche Kraft, die auf den Körper wirkt. Sie ergibt sich erst, wenn man von der real wirkenden Gewichtskraft die real wirkende Normalkraft abzieht. Deshalb lasse ich das hier mal weg.

Diese Kräfte müssen in ihrer Summe den Nullvektor ergeben, weil sonst der Körper sich nicht "geradlinig gleichförmig" bewegen würde. Ich würde jetzt tatsächlich eine entsprechende Vektorgleichung ansetzen. Dabei muss man sich aber erst für eine Koordinatensystem entscheiden. Ich habe es gerade eben so gemacht, dass meine x-Achse waagerecht ist und meine y-Achse senkrecht und bin auch zu einem Ergebnis gekommen, das anscheinend stimmt. So wie ich die Aufgabe interpretiere, sollte man aber ein gedrehtes Koordinatensystem verwenden, bei dem die x-Achse parallel zur schiefen Ebene ist und die y-Achse senkrecht dazu, also in Richtung der Normalkraft. Ich bezweifle zwar, dass die Aufgabe dadurch so viel einfacher wird, aber was solls... smile

Ich würde zuerst mal die einzelnen Kräfte als Vektoren hinschreiben. Dazu erstmal die Gewichtskraft. In unserem gedrehten Koordinatensystem geht die in negative x- und negative y-Richtung. Man hat dann:

Weiter gehts mit der Normalkraft. Da wissen wir bis jetzt nur die Richtung und die zeigt in positive y-Richtung (die Ebene drückt den Quader nach oben, vielleicht etwas ungewohnt...):

Für die Reibungskraft ergibt sich nach dem selben Schema:

Und für die horizontal wirkende Kraft F, deren Betrag wir ja suchen gilt:

Jetzt können wir alles zusammen setzen und die Gleichung der Kräftefreiheit hinschreiben:

Da es eine Vektorgleichung ist, bekommt man damit ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen. Schau mal, ob es nicht schon genügt, um den Betrag der Kraft F damit aus zu rechnen.

Gruß
Marco

Horst H. · Anmeldungsdatum: 07.03.2007 Beiträge: 37

shadow07 · Anmeldungsdatum: 08.04.2007 Beiträge: 371

Hallo,

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Erstmal die gute Nachricht zuerst: Ich habe auch dieses Ergebnis. Ich würde es noch etwas anders schreiben:

Das ist natürlich genau das selbe, wie Du auch hast, nur noch das mg ausgeklammert und eine -1 gekürzt. Ich schreibe das nur, weil ich erstens die

ziemlich schön finde Augenzwinkern

und zweitens, weil man so sehr schnell sieht, dass zumindest die Einheiten passen und dass bei festem Winkel und festem mu eine Proportionalität zwischen der Gewichtskraft und der Zugkraft besteht. Eine solche Proportionalität hätte ich auch intuitiv erwartet. Außerdem sieht man schnell, dass wenn mu null wird (also der Fall ohne Reibung), dass dann der Faktor zu

wird und nach kurzem Überlegen kann man diesen Spezialfall sich auch recht schnell herleiten.
Nach diesen Überprüfungen habe ich zumindest ein wenig mehr Vertrauen, dass die Lösung tatsächlich stimmen könnte! smile

Aber jetzt zu Deiner Frage: Das ist eigentlich eine Art Standardmethode, wenn man einen Winkel z. B. zur x-Achse gegeben hat und den Betrag eines Vektors, dann ist die x-Komponente immer

und die y-Komponente immer

. Um das zu verstehen kannst Du Dir einfach mal auf ein Blatt ein Koordinatensystem zeichnen und dann eine Strecke vom Ursprung heraus unter einem Winkel von z. B. 30° zur x-Achse und mit der Länge 1LE (Du kannst die Länge 1LE aber frei definieren, als z. B. 1LE = 5cm oder so). Jetzt kannst Du wieder zwei gestrichelte Linien vom Ende dieser Strecke jeweils parallel zu den Koordinaten-Achsen machen. Bei mir darfst Du übrigens so viele gestrichelte Linien zeichnen, wie Du möchtest! smile

Naja, auf jeden Fall ergibt jeweils eine Koordinaten-Achse, eine der gestrichelten Linien und die Strecke zusammen ein rechtwinkliges Dreieck. Wenn Du die Koordinaten des Endpunktes der Strecke ausrechnen möchtest und nur deren Länge und den Winkel zwischen x-Achse und Strecke kennst, wie würdest Du diese ausrechnen?

Gruß
Marco

//Edit: Zu Latex: Du kannst sehen, wie ich das geschrieben habe, wenn Du auf "Zitat" gehst bei meinem Post. Außerdem haben wir eine sehr gute Bedienungsanleitung. Wenn Du möchtest kann ich auch Deine Formeln etwas anpassen, aber ich finde die noch recht brauchbar, muss also nicht unbedingt sein.

shadow07 · Anmeldungsdatum: 08.04.2007 Beiträge: 371

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ja, genau! Thumbs up!

Noch ein paar Bemerkungen dazu: Du kannst das auch ganz "stur" machen: Der Winkel zu unserer x-Achse ist ja eigentlich (180°+90°-alpha). Also wäre die x-Komponente:

und nach diesem Schema auch die y-Komponente (hattest Du jetzt Sinus und Kosinus umgekehrt?).
Eigentlich macht man das mit der schiefen Ebene in der Schule so ausführlich, um genau diese Zerlegung der Gewichtskraft in Komponenten eines gedrehten Bezugssystems plausibel zu machen. Wenn Du nämlich mal die Komponenten anschaust, erkennst Du (bis aufs Vorzeichen vielleicht, aber man geht ja dann so wie so von Beträgen aus) wieder die Hangabtriebs-Kraft und die Normal-Kraft einer schiefen Ebene. Wenn Du nicht so formal sein möchtest, könntest Du also direkt ansetzen, dass die x-Komponente

ist und entsprechend für die y-Komponente. Nur Vorsicht: Unsere Normalkraft ist eine ganz andere, als die, die man bei der schiefen Ebene lernt. Ich würde die dann nicht Normalkraft nennen. Aber Namen sind ja so wie so Schall und Rauch... Augenzwinkern

Nein, |F| ist da nicht ma. Sonst würde ja auch die Gleichung nicht stimmen, die Du danach geschrieben hast. Die stimmt aber, außer dass die Beschleunigung a natürlich ein Vektor sein muss, schon alleine, weil es eine Vektorgleichung ist und deshalb auf beiden Seiten ein Vektor stehen muss. Allgemein gilt:

Rechts steht die effektive Kraft, wenn man alle auf den Körper wirkenden Kräfte vektoriell zusammen addiert. Daraus resultiert dann eben die Beschleunigung auf der linken Seite. Das ist einfach das Newtonsche Grundgesetz in einer etwas anderen Form.

Gruß
Marco

shadow07 · Anmeldungsdatum: 08.04.2007 Beiträge: 371

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Nochmal zu den Winkeln eine kleine Zeichnung:
//Edit: Achso: 90°+alpha wäre nicht die mathematische Winkelrichtung, oder wie man das nennt. Immer entgegen des Uhrzeigersinns. Du müsstest also -(90°+alpha) nehmen und kämst dann letztendlich wieder auf das selbe raus.

Gruß
Marco