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kommando_pimperlepim
Anmeldungsdatum: 15.11.2004
Beiträge: 133
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 kommando_pimperlepim Verfasst am: 08. März 2007 20:41 Titel: harmonischer gedämpfter Oszillator mit Erregung |
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Die Lösung der DGL
ist
})
Ich wollte gerne ausrechnen, welche Energie die erregende Kraft dem Schwinger in einer Periode zuführt.
Mein Ansatz
scheint irgendwo falsch zu sein, da er Null liefert.
Habe ich falsch gerechnet, oder liegt der Knackpunkt darin, dass die Reibung "irgendwie" schon mit drin steckt? Da die Schwingung mit konstanter Amplitude erfolgt, müsste ja durch die Reibung genausoviel Energie abgegeben werden, wie durch den Erreger zugeführt wird.
Und wie könnte man wohl noch den Energiebetrag ausrechnen?
EDIT: kleinen Fehler in der DGL behoben ( statt )
Zuletzt bearbeitet von kommando_pimperlepim am 08. März 2007 22:07, insgesamt einmal bearbeitet |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 08. März 2007 20:56 Titel: |
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Magst du mal genauer sagen, wie du das ) und das ) berechnet und eingesetzt hast? Diese beiden periodischen Funktionen haben ja eine Phasenverschiebung zueinander, die bestimmt, zu welchen Zeiten t das Produkt aus beiden positiv bzw. negativ ist. (Der Wert dieser Phasenverschiebung hängt von den anderen Größen des Systems ab.) Diese Phasenverschiebung muss man also sicherlich innerhalb des Integrals berücksichtigen. |
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kommando_pimperlepim
Anmeldungsdatum: 15.11.2004
Beiträge: 133
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| kommando_pimperlepim Verfasst am: 08. März 2007 22:03 Titel: |
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Die externe Kraft ist die Störfunktion der DGL:
Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der genannten Ortsfunktion:
})
Die Phasenverschiebung  ist abhängig von den gegebenen Parametern in der DGL. Sie ist aber zeitlich konstant, deswegen habe ich sie in der Integration nicht berücksichtigt.
Ich glaube mein Problem ist, dass ich etwas zu leichtfertig mit komplexen Funktionen umgehe.
Beim Integrieren scheint die komplexe Schreibweise nicht mehr so schön zu sein,
\neq \Re\int_a ^b dx z(x))
siehe z. B.:
^2\neq 0)
^2=\int_0 ^{2\pi}dx e^{2ix}=0)
Muss ich bei solchen Integralen grundsätzlich auf die Hilfe komplexer Zahlen verzichten, oder gibt es da irgendwelche Techniken? Ich benutze ungern Additionstheoreme oder partielle Integration wenn es sich vermeiden lässt. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 08. März 2007 23:14 Titel: |
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Dein Ansatz ist völlig richtig, nur musst du eben den Realteil der komplexen Schwingung nehmen; es ist völlig analog zum elektrischen Problem der Wirkleistung: Auch hier hat sich ja kürzlich herausgestellt, dass man die Leistung nicht mittels Multiplikation der komplexen Amplituden von U und I erhält sondern über die Multiplikation mit dem konjugiert Komplexen Ausdruck. Statt U und I hast Du hier eben F und v, ansonsten ist es formal gleich.
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kommando_pimperlepim
Anmeldungsdatum: 15.11.2004
Beiträge: 133
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| kommando_pimperlepim Verfasst am: 09. März 2007 09:57 Titel: ... |
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Die Faustregel eine der beiden Funktionen komplexkonjugieren funktioniert in meinem Beispiel auch nicht so richtig:
Versteh mich nicht falsch, ich kann problemlos den Realteil vor dem Integrieren bilden, aber dann ist es eben mühsamer, daher würde ich gerne verstehen, wie ich das in  machen kann. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 09. März 2007 18:00 Titel: |
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Der Faktor 2 kommt wiederum von den Effektivwerten.
Ganz allgemein ist das Resultat
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kommando_pimperlepim
Anmeldungsdatum: 15.11.2004
Beiträge: 133
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| kommando_pimperlepim Verfasst am: 10. März 2007 10:10 Titel: |
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Wenn ich dich richtig verstehe ist
Dann wäre
}=\frac{\pi}{2}x_0 F_0\cos\varphi)
Wenn du gemeint hast
Dann wäre
Wenn man das Integral zu Fuß löst, erhält man aber
F_0 \cos \omega t=-x_0 \omega F_0 \int_0 ^T dt (\sin \omega t \cos \varphi - \cos \omega t \sin \varphi)\cos \omega t)
 Weil  auf der Periode verschwindet.
Und mit Substitution 
=\pi x_0 F_0 \sin \varphi)
Wahrscheinlich habe ich mich entweder mal wieder verrechnet, oder du hast nur ausversehen cos statt sin geschrieben, aber kannst du mir eine allgemeine herangehensweise empfehlen, wie ich mir das mit den Maximal- und Effektivwerten beim Integrieren erklären kann? Ich verstehe nicht ganz das Prinzip hinter deinen Formeln, aber es gefällt mir, da sich Integration dabei sogar umgangen wird. Trotzdem würde ich es gerne verstehen. Ich sehe auch nicht, was die Effektiv- bzw. Maximalwerte mit der Integration über ein Produkt mit einer komplexkonjugierten zu tun haben.
Und wenn man über ein anderes Zeitintervall integriert dürfte das ja dann nicht mehr klappen, oder?
EDIT:
Das Problem liegt ja prinzipiell darin, dass der Realteil beim Summieren (und damit auch beim Integrieren, was ja nur eine kontinuierliche Summe darstellt) an beliebiger Stelle gezogen werden kann:
=\int dx \Re z(x))
Aber bei der Produktbildung gilt das nicht mehr
\neq \Re z_1 \cdot \Re z_2)
Und genau diese Produktbildung zweier komplexwertiger Funktionen tritt ja im Integral auf. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 10. März 2007 13:37 Titel: |
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Sorry: Bei mir ist der Winkel zwischen F und V.
Da Du mit dem Winkel zwischen F und X gerechnet hast, kommen wegen der Ableitung 90° dazu, und deine Überlegung stimmt natürlich.
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