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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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 skywalker Verfasst am: 21. Dez 2006 09:13 Titel: Mittlere Leistung bestimmen |
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Guten morgen alle zusammen :-)
ich kann folgende rechnung nicht 100% nachvollziehen. Dabei soll hier die Mittlere Leistung bestimmt werden:
 = \frac {U_o^2 }{RT} \, \int_{0}^{T}\sin^2 \omega t \, \dd t = \frac {U_o ^2 }{RT} \left[\frac {1}{2} T \right] = \frac {U_o^2} {R2} = \frac {1}{2} I_0^2 R)
und da kann ich folgende schritte nicht nachvollziehen:
1. Wie kommt man bloß nach der integration auf
wenn ich das durchrechne, und keinen fehler gemacht habe, komme ich auf [ für  
2. Wieso kann man ganz zum schluss sagen, das  zum quadrat genommen werden kann?  ist ja klar. aber nicht so richtig wieso  gilt.
[Ich habe das Thema mal vom Sonstigen in die Elektrik verschoben, ich finde, da passt es noch ein bisschen besser hin. Schönen Gruß, dermarkus] |
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Meromorpher
Anmeldungsdatum: 09.03.2004
Beiträge: 388
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| Meromorpher Verfasst am: 21. Dez 2006 11:41 Titel: |
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Im Bronstein steht  . Wenn du da die Grenzen und dein T einsetzt kommt genau der gesuchte Ausdruck raus.
Edit: 2. R=U/I, U = R*I? |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 21. Dez 2006 12:37 Titel: |
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hmmmmm,
also, wenn ich das nach deiner Formel mache erhalte ich als endergebniss folgendes:
 = \frac {U_0^2} {RT} \frac {1}{2} T - \frac {1}{4 \omega} \sin 2 \omega T)
damit ich mein gewünschtes ergebniss erhalte, müsste  sein
wenn das der fall sein sollte, wieso ist das so?
und wie kommen die auf diese Ableitung?
und wieso man aus  gleich schließen kann, verstehe ich immer noch nicht. denn ich hätte gedacht, dass der widerstand R auch zum quadrat sein müsste. was jedoch nicht der fall ist.
puh, fragen über fragen  |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 27. Dez 2006 15:58 Titel: |
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also, das mit dem und  ist mir jetzt klar geworden. ist ja simpel.
aber wie man nun das integral hier lösen konnte, habe ich leider immer nich nicht nachvollziehen können:
 = \frac {U_o^2 }{RT} \int_{0}^{T}~sin^2 \omega t \, \dd t = \frac {U_o ^2 }{RT} \left[\frac {1}{2} T \right] = \frac {U_o^2} {R2} = \frac {1}{2} I_0^2 R)
trotz der hilfe von Meromorpher
denn wie ich schon gesagt habe, müsste gelten. aber das kommt irgendwie nicht raus. ich bekomme es nicht null. |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 27. Dez 2006 17:12 Titel: |
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Auf das Integral kommt man durch partielle Integration und Anwendung des trigonometrischen Pythagoras:
 \, \dd x &=& - \frac{1}{a} \cdot \sin (ax) \cos (ax) - \int (- \cos^2 (ax)) \, \dd x \\ &=& - \frac{1}{a} \cdot \sin (ax) \cos (ax) + \int (1- \sin^2 (ax)) \, \dd x \\ &=& - \frac{1}{a} \cdot \sin (ax) \cos (ax) + \int 1 \, \dd x - \int \sin^2 (ax) \, \dd x \\ &=& - \frac{1}{a} \cdot \sin (ax) \cos (ax) + x - \int \sin^2 (ax) \, \dd x)
Schaut man sich nur den ersten und letzten Teil der Gleichung an, kann man nach dem gesuchten Integral umstellen und erhält:
 \, \dd x = \frac{1}{2} \cdot \left( x - \frac{1}{a} \cdot \sin (ax) \cos (ax) \right))
Dann nochmal das Produkt aus Sinus und Cosinus zusammenfassen, und man bekommt das Ergebnis von Meromorpher:
 \, \dd x &=& \frac{1}{2} \cdot \left( x - \frac{1}{a} \cdot \sin (ax) \cos (ax) \right) \\ &=& \frac{1}{2} \cdot \left( x - \frac{1}{a} \cdot \frac{\sin (2ax)}{2} \right)\\&=& \frac{x}{2} - \frac{\sin (2ax)}{4a})
Das kannst du jetzt benutzen um das Integral in deiner Aufgabe zu lösen:
 &=& \frac {U_0^2}{R \cdot T} \int \limits_{0}^{T} \sin^2 \omega t \, \dd t\\&=& \frac {U_0^2}{R \cdot T} \cdot \left[ \frac{t}{2} - \frac{\sin (2\omega t)}{4\omega} \right]_0^T\\&=&\frac {U_0^2}{R \cdot T} \cdot \left[ \left(\frac{T}{2} - \frac{\sin (2\omega T)}{4\omega} \right) - \left(\frac{0}{2} - \frac{\sin (2\omega \cdot 0)}{4\omega} \right) \right]\\&=&\frac {U_0^2}{R \cdot T} \cdot \left[ \frac{T}{2} - \frac{\sin (2\omega T)}{4\omega}\right]\\&=&\frac {U_0^2}{R \cdot T} \cdot \left[ \frac{T}{2}\right])
So, warum jetzt aber also der letzte Schritt? Kennst du einen Zusammenhang zwischen der Kreisfrequenz Omega und der Periodendauer T, in dem keine anderen Größen vorkommen? Kannst du damit das Produkt aus Omega und T durch etwas ersetzen in dem keine der beiden Größen mehr vorkommt? Und wird dann der Sinus Null? ;-)
Siehst du die Richtung in die ich dich versuche zu schubsen? 
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Formeln mit LaTeX |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 27. Dez 2006 20:12 Titel: |
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Man kann das ganze auch "bildlich" erhalten, wenn man sich überlegt, wie die Funktion
über t aussieht.
Wenn man weiss, dass dies ein sinus mit doppelter Frequenz ist (Summensatz), erkennt man leicht, dass der Mittelwert dieser Schwingung genau 1/2 ist...
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 28. Dez 2006 17:12 Titel: |
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Hallöchen,
also erstmal vielen vielen dank an para für die ausführliche rechnung des integrals. jetzt ist es auf jedenfall klar.
und wann der sinus nun null wird. also, der sinus ist gleich null wenn ja zb sin 180° gilt.
Aber das kann ich glaube ich nicht einfach so nun sagen, dass sin180° gilt.
nun dazu:
| para hat Folgendes geschrieben: |
Kennst du einen Zusammenhang zwischen der Kreisfrequenz Omega und der Periodendauer T, in dem keine anderen Größen vorkommen? Kannst du damit das Produkt aus Omega und T durch etwas ersetzen in dem keine der beiden Größen mehr vorkommt? Und wird dann der Sinus Null? ;-)
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man kann T ja durch folgendes ersetzen:
und Omega könnte bzw. darf durch folgendes ersetzt werden (laut demtröder):
dies gilt in einem mitteleuropäischen verbundsnetz
und wenn ich das nun in
}{4 \omega })
einsetze erhalte ich:
}{4 \omega } \approx 8 \cdot 10^{-3})
also nicht null.
was mache ich immer noch falsch? und so wahllos darf ich für Omega bestimmt auch nicht einfach was einsetzen. muss ja hand und fuss haben. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 28. Dez 2006 17:33 Titel: |
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skywalker
Anmeldungsdatum: 01.04.2006
Beiträge: 198
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| skywalker Verfasst am: 28. Dez 2006 17:44 Titel: |
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oh nein  , ich bin ja ein Depp. ich hatte die ganze zeit vergessen den Taschenrechner auf rad umzustellen. ist ja klar, dass ich dann nicht auf null komme.
danke schnudl  |
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KUGA
Anmeldungsdatum: 30.07.2007
Beiträge: 21
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| KUGA Verfasst am: 08. Aug 2007 17:46 Titel: |
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%20\,%20\dd%20x%20&=&%20-%20\frac{1}{a}%20\cdot%20\sin%20(ax)%20\cos%20(ax)%20-%20\int%20(-%20\cos^2%20(ax))%20\,%20\dd%20x%20\\%20&=&%20-%20\frac{1}{a}%20\cdot%20\sin%20(ax)%20\cos%20(ax)%20+%20\int%20(1-%20\sin^2%20(ax))%20%20\,%20\dd%20x%20\\%20&=&%20-%20\frac{1}{a}%20\cdot%20\sin%20(ax)%20\cos%20(ax)%20+%20\int%201%20\,%20\dd%20x%20-%20\int%20\sin^2%20(ax)%20%20\,%20\dd%20x%20\\%20&=&%20-%20\frac{1}{a}%20\cdot%20\sin%20(ax)%20\cos%20(ax)%20+%20x%20-%20\int%20\sin^2%20(ax)%20\,%20\dd%20x)
aus dem post von para.
in der ersten zeile das integral am schluss. wieso ist da -cos² ax? ich komme auf +cos² ax. kann mir das jemand genauer erklären? wir ham zwar das partielle integrieren noch nicht gemacht, aber mithilfe von wikipedia kapier ichs einigermaßen 
wie gesagt, woher kommt da das -?? der rest is auch alles klar
 http://upload.wikimedia.org/math/e/2/f/e2f294e32b1cac73296efb31078a8d6f.png
u ist dann das integral von sin ax und v=sin ax oder nicht?
edit: habs grad selbst gecheckt.... (-cos x)`=sinx nicht (cos x)`.... |
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