Herleitung der Lorentz-Transformation

Quantumdot · Gast

Ich lese häufig, dass man zur Herleitung der Lorentztransformation das Folgende postuliert

1. Die Raumzeit ist homogen
2. Der Raum ist isotrop
3. Es gilt das Relativitätsprinzip

Man beachte, dass hier noch nicht die Rede von der Lichtgeschwindigkeit als Grenzgeschwindigkeit ist.

Wir bewegen uns hierbei im Rahmen der SRT, d.h. die geometrische Bühne ist der Minkowski-Raum. Sind 1 und 2 nicht eine Folge der zugrundeliegenden Geometrie? Es gibt in der Mathematik den Begriff des "homogenen riemannschen Raums". Ein riemannscher Raum ist homogen, wenn es eine Isometriegruppe gibt, die transitiv auf diesen Raum wirkt. Beim Minkowski-Raum kann man diese Eigenschaft nachweisen (die Isometrie-Gruppe wird sich als die Poincaré-Gruppe herausstellen) und damit handelt es sich um einen homogenen riemannschen Raum. Diese mathematische Definition fasst meines Wissens nach die Begriffe homogen und isotrop zusammen. D.h. die Isotropie ist dort bereits inkludiert (und ich glaube die Boosts auch).
D.h. man muss das eigentlich gar nicht postulieren.
Ich würde die folgenden Postulate bevorzugen.

1. Die Raumzeitstruktur wird beschrieben als Minkowski-Raum
2. Es gilt das Relativitätsprinzip

Das Relativitätsprinzip macht eine Aussage über das Verhalten von Teilchen in dieser Raumzeit (während das erste Postulat sich ausschließlich auf die Geometrie bezieht und noch keinen Bezug zu Teilchen aufweise). Demnach bewegen sich Teilchen auf Trajektorien, die Lösung einer Gleichung sind, die symmetrisch bzgl der Isometriegruppe ist, d.h. die Gruppe bildet Lösungen auf Lösungen ab.

Ich würde noch als drittes Postulat hinzuziehen
3. Es gilt das Determinismusprinzip

Nach diesem Prinzip ist die Bewegung eines Teilchens vollständig durch die Angabe seiner Geschwindigkeit und seines Ortes vorherbestimmt. Das erzwingt, dass die Beschleunigung am Ort x eine Funktion des Ortes und der Geschwindigkeit sein muss, also etwa so d^2x/dt^2=f(x, dx/dt).
In Verbindung zu Postulat zwei reduziert sich das für ein 1-Teilchensystem auf
d^2x/dt^2=0

Erst für Systeme mit mehr als einem Teilchen wird es nicht trivial.

Das sollte ausreichen, um alles Weitere herzuleiten.

Ich würde mich über Feedback freuen. Habe ich einen Gedankenfehler oder kann man das so machen?

Kann man sich plausibel machen warum man es gerne hätte, dass die transitive Isometriegruppe gleichzeitig eine Symmetriegruppe der Bewegungsgleichung ist außer dass halt Experimente sowas nahelegen?

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5044

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

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TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Siehe hier:

https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_Lorentz_transformations
https://en.wikipedia.org/wiki/Wigner%27s_classification

Quantumdot · Gast

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

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TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Eine Lösung der Bewegungsgleichung ist eine Menge von Punkten in der Raumzeit. Wie können diese eine Symmetrie aufweisen, die die Gleichung selber nicht hat?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Ein Beispiel:

Im n-dim. euklidischen Raum lautet die Lagrange-Funktion des nicht-relativistischen freien Teilchens.

(r ist eine vektorielle Größe)

Daraus folgen die Bewegungsgleichungen und deren Lösungen

Galilei-Transformationen angewandt auf Lösungen liefern wieder Lösungen. Tatsächlich erhält man die Menge aller Lösungen als Orbit der Galilei-Gruppe. Das ist mit der ersten Gleichung unvermeidlich. Die Galilei-Gruppe ist die Symmetrie dieser Lagrange-Funktion, daher folgen auch die entsprechenden Erhaltungsgrößen Energie, Impuls und Drehimpuls.

Damit wir also im n-dim. euklidischen Raum, auf dem die Galilei-Gruppe eine Symmetrie darstellt, Lösungen bzw. eine Lösungsmenge erhalten, die ihrerseits nicht wie oben unter der Galilei-Gruppe transformieren, benötigen wir andere Bewegungsgleichungen. Entweder wir geben den Lagrange-Formalismus komplett auf, oder wir modifizieren die Lagrange-Funktion geeignet. Nun ist es jedoch so, dass die Eigenschaft, "die Menge aller Lösungen ist gerade der Orbit der Galilei-Gruppe" für alle Lagrange-Funktion gilt, die diese Symmetrie aufweisen; wir müssen die Symmetrie also brechen. Das gilt aber auch, wenn wir die Bewegungsgleichungen anders herleiten.

1. Eine Brechung geschieht z.B. dadurch, dass wir die Bewegung auf eine Kugeloberfläche mit Radius a beschränken, also

Nun haben wir die Invarianz unter Galilei-Transformation auf die Invarianz unter Rotationen reduziert; die Drehimpulse sind erhalten, die Menge aller Lösungen ist gerade der Orbit der Rotationsgruppe.

2. Eine andere Möglichkeit wäre, ein Zwei-Körper-Problem zu betrachten, in dem das Potential nicht alleine eine Funktion des Abstandes der beiden Körper ist, eine Richtung ausgezeichnet wird o.ä.

Beispiele wären anisotrope Zwei-Körper-Potentiale V(|s|), wobei e eine ausgezeichnete Richtung bezeichnet

Quantumdot · Gast

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Im Falle der Einschränkung der Bewegung auf eine Kugeloberfläche, verwendet man auch eine effektive unvollständige Beschreibung. Denn was verursacht die Einschränkung der Bewegung auf die Kugeloberfläche? Das ist das Resultat von Kraftfeldern anderer Teilchen, die man explizit nicht in die Berechnung mit einbezieht, sondern stattdessen effektiv als Zwangsbedingung einführt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

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Ich hatte noch vergessen zu erwähnen, dass im Falle des Fadenpendels zusätzlich noch mit reinspielt, dass die gravitative Wechselwirkung der Teilchen der Erde effektiv als homogenes Feld modelliert werden, was auch Teil der unvollständigen Beschreibung ist.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18117

Ich bestreite nicht, dass es sich bei den genannten (tatsächlich bei beliebigen?) Systemen um genau diese Ursache für die Symmetriebrechung handelt; ich wollte das lediglich nicht thematisieren.

Meine Argumentation war einfach: wenn die Menge aller Lösungen einer Bewegungsgleichung nicht eine gewisse Symmetrie aufweisen soll, wenn also nicht alle Transformationen Lösungen in Lösungen überführen sollen, dann muss ich diese Symmetrie reduzieren, brechen, oder von Beginn an vermeiden.

Dazu wollte ich lediglich Beispiele anführen, in denen die Symmetrie der Bewegungsgleichung nicht der Symmetrie der Raumzeit entspricht; es ging mir nicht darum, zu erklären wieso dies der Fall ist.