Stein fällt in den Brunnen zwei Lösungen

marlonbnd · Anmeldungsdatum: 23.07.2023 Beiträge: 25

Meine Frage:
Vorgeschichte:
Ein Stein fällt in den Brunnen. Nach 5 Sekunden hört man den Aufprall. Wie tief ist der Brunnen.
Ich habe die Aufgabe soweit gelöst (siehe Anhang). Es gibt hier auch 1000 Beiträge dazu. Diese beantworten meine Frage allerdings nicht. Es kommen zwei Lösungen heraus rund 27km und 105m.

Meine Ideen:
Nun zu meinen Fragen:
In ähnlichen Aufgaben kam immer eine Lösung positiv und die andere negativ raus. Dann habe ich das so interpretiert, dass die negative Höhe der Wurf nach oben ist. Damit die erste Frage:

1. Wäre meine Interpretation so richtig? Ich meine wenn jetzt 105 und -205m rauskämen. Wäre die Interpretation dann richtig, dass der Stein nach oben geworfen wurde?

In dieser Aufgabe sind beide Lösungen positiv. Damit meine zweite Frage:

2. Was bedeutet die Lösung von 27km? Wie interpretiere ich das physikalisch (praktisch).

Kann mir da jemand helfen?

Vielen Dank im Voraus!

marlonbnd · Anmeldungsdatum: 23.07.2023 Beiträge: 25

Hier noch meine Lösung der Aufgabe...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Ohne das jetzt im Detail betrachtet zu haben: passen alle Vorzeichen?

ML · Anmeldungsdatum: 17.04.2013 Beiträge: 3400

Hallo,

marlonbnd · Anmeldungsdatum: 23.07.2023 Beiträge: 25

Zu 100% weiß man das mit den Vorzeichen nie... (ist ganz schön tükisch smile

aber die Lösung stimmt mit dem des CAS (falls ich nicht da auch was habe)...

marlonbnd · Anmeldungsdatum: 23.07.2023 Beiträge: 25

Kannst Du bitte Bezug auf meine Lösung nehmen?

marlonbnd · Anmeldungsdatum: 23.07.2023 Beiträge: 25

Meine Lösung ist aus dem Zusammenhang gerissen. Es war die Herleitung der Formel für die Tiefe des Brunnens verlangt. Diese habe ich ziemlich sicher richtig (siehe meine Lösung). Der Wert kommt bei mir gleich raus. Meine Fragen sind aber andere und zwar nach der Interpretation der zweiten Lösung. Kannst Du oder sehr gerne jemand anderer mir diese bitte beantworten?

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5867 Wohnort: jwd

t = Gesamtzeit
t_f = Fallzeit
t_s = Schallzeit
v_s = Schallgeschwindigkeit
h = Brunnentiefe

t = t_f + t_s
h = 1/2*g*t_f^2
t_f = (2*h/g)^1/2
t_s = h/v_s

t = (2*h/g)^1/2 + h/v_s

Quadratische Gleichung nach h auflösen.

Deine Lösung ist richtig Thumbs up!

Morgen mehr.

marlonbnd · Anmeldungsdatum: 23.07.2023 Beiträge: 25

Hallo und vielen Dank!
Mir geht es aber eher um Verständnis der zweiten Lösung:

1. Wäre meine INTERPRETATION so richtig? Ich meine wenn jetzt 105 und -205m rauskämen. Wäre die Interpretation dann richtig, dass der Stein nach oben geworfen wurde?

In dieser Aufgabe sind beide Lösungen positiv. Damit meine zweite Frage:

2. Was bedeutet die Lösung von 27km? Wie INTERPRETIERE ich das physikalisch (praktisch).

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7246

Die zweite Lösung ist die Tiefe, aus der man den Stein theoretisch nach oben werfen müsste, damit er zum Zeitpunkt Null am Brunnenrand ankommt, umdreht und wie bei der anderen Lösung nach unten fällt.

Viele Grüße
Steffen

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5874

Bei manchen Aufgaben kann man die 2. Lösung einigermassen sinnvoll interpretieren, aber hier ist das weniger der Fall. Die zweite Lösung h2=27km ist die Lösung der Gleichung

Dies entspricht der folgenden Situation: man schickt bei t=-5s ein akustisches Signal los, und bei t=0 lässt man den Stein fallen. Auf der "Tiefe" h2 trifft das akustische Signal auf den Stein. Die 2. Lösung ergab sich nur, da die ursprüngliche Gleichung

nach Umformung quadriert wurde.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5867 Wohnort: jwd

Ohne Berücksichtigung der Schallgeschwindigkeit beträgt bei einer Fallzeit von t_f = 5 s die maximale Brunnentiefe h = 122,6 m.
Die Schallzeit für diese Tiefe beträgt t_s = 0,36 s
Deshalb liegt die tatsächliche Fallzeit unter Berücksichtigung der Schallgeschwindigkeit mit 4,68 s wenig unter 5s und damit die Brunnentiefe etwas unter dem Maximalwert von 122,6 m, nämlich bei h = 107,2 m.

Die erste Lösung ist das physikalisch richtige Ergebnis. Die zweite Lösung ist eine rein mathematische Lösung die physikalisch nicht erklärbar ist, denn der Schall wird erst durch das Auftreffen des Steins ausgelöst und nicht vorher.