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Sirius02
Anmeldungsdatum: 20.10.2022
Beiträge: 311
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 Sirius02 Verfasst am: 02. Jan 2023 17:01 Titel: Auslaufendes Fass |
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Meine Frage:
Hey ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Wir betrachten ein zylinderfömiges Fass mit Durchmesser D = 50 cm und vertikale
Zylinderachse. Das Fass hat einige Zentimeter über dem Boden ein kreisförmiges Loch in der Wand. Die Höhe des oberen Endes des Loches sei h = 0. Der waagrecht aus dem Loch ausströmende Wasserstrahl hat einen Durchmesser von d = 1 cm. Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt die Höhe des Wasserspiegels über dem Loch ¨ h0 = 1 m. Vernachlässigen Sie die innere Reibung des Wassers und Terme der Ordnung (d/D)4.
a) Wie ändert sich der Wasserstand h(t) mit der Zeit? Verwenden Sie bei Ihrer Argumentation ?Bernoulli? bzw. die Energieerhaltung, d.h. den Zusammenhang zwischen der Änderung der potentiellen Energie des Wassers im Tank und der kinetischen
Energie des ausströmenden Wassers.
b) Nach welcher Zeit tE erreicht der Wasserspiegel das Loch(h(tE) = 0)?
c) Wie groß ist die Rückstoßkraft FR(h), die auf das Fass wirkt, als Funktion der
Wasserspiegelhöhe h?
Meine Ideen:
a) mit Bernoulli komme ich auf folgendes ergebnis: h(t)= V(t)^2/2g
stimmt das soweit?
b)hier bin ich etwas lost ebenso wie bei der c) |
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Sirius02
Anmeldungsdatum: 20.10.2022
Beiträge: 311
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| Sirius02 Verfasst am: 03. Jan 2023 08:48 Titel: |
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also hab mich jz nochmal drangesetzt. bei der a) hab ich vergessen, das ja oben im Fass auch noch ein Druck herrscht, da ich davon ausgehe, dass das Fass geschlossen ist. Also komme ich nun auf =\frac{v(t)^2}{2g} -p1 )
bei der b) habe ich nun den Term gleich 0 gesetzt und für v=h0/t eingesetzt. Und für p1= F/A wobei F die gewichtskraft ist und A die Kreisfläche des Zylinders. Nun muss ich nur noch nach t auflösen. Aber min mir bisschen unsicher, da ich mich frage, welche Masse ich einsetzten muss. Die von Wasser? |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 03. Jan 2023 09:08 Titel: |
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zu a) und b)
Energie des Fluids im Fass = Energie des auslaufenden Fluids
A = Fass (Querschnitt)
a = Ausfluss (Querschnitt)
Energieerhaltung
Massenerhalt
^{2} \cdot v_a^{2} = \frac{1}{2} \cdot v_a^{2})
^{2} } } )
^{2} } } = A\cdot \frac{\dd h}{\dd t} )
Ausflusszeit
^{2} -1} } } \cdot \int_0^{h_0} h^{-\frac{1}{2} } \cdot \dd h )
Randbedingung
t = 0: h = h_0
Integral lösen und nach h = h(t) umstellen
 = ... )
zu c)
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 03. Jan 2023 10:55 Titel: |
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Noch ein Hinweis zur Differentialgleichung: Terme (d/D)^4 sollen vernachlässigt werden, und wichtig ist noch ein Minuszeichen:
@Sirius02: Das Fass soll oben offen sein, sonst wären mehr Angaben nötig. Und noch zur Erklärung: Was Du bestimmt hast über die Bernoulligleichung ist eine Funktion h(v), gesucht ist aber eine Funktion h(t). Es ergibt sich eine Differentialgleichung, vgl. den Beitrag von Mathefix. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 03. Jan 2023 12:11 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Noch ein Hinweis zur Differentialgleichung: Terme (d/D)^4 sollen vernachlässigt werden, ...
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Konnte mit (d/D)4 in der Aufgabe nichts anfangen.
In meiner Herleitung a/A = 0 setzen ergibt Myon's Glchg.
Dann wird allerdings die kinetische Energie im Fass nicht berücksichtigt. |
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Sirius02
Anmeldungsdatum: 20.10.2022
Beiträge: 311
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| Sirius02 Verfasst am: 03. Jan 2023 12:36 Titel: |
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Danke . Also bis zur berechnung der Geschwindigkeiten, konnte ich alles nachvollziehen, aber ab hier verstehe ich nicht ganz wie du darauf kommst. Und warum genau ist a/A jz null?
Ausflusszeit
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Sirius02
Anmeldungsdatum: 20.10.2022
Beiträge: 311
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| Sirius02 Verfasst am: 03. Jan 2023 13:01 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
In meiner Herleitung a/A = 0 setzen ergibt Myon's Glchg.
Dann wird allerdings die kinetische Energie im Fass nicht berücksichtigt. |
aber wenn ich a/A gleich null setzte dann kommt ja für a und A 0 heraus unns somit stände da ja dann  |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7246
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| Steffen Bühler Verfasst am: 03. Jan 2023 13:03 Titel: |
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| Sirius02 hat Folgendes geschrieben: |
aber wenn ich a/A gleich null setzte dann kommt ja für a und A 0 heraus |
Nein, nur für a.
Viele Grüße
Steffen |
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Sirius02
Anmeldungsdatum: 20.10.2022
Beiträge: 311
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| Sirius02 Verfasst am: 03. Jan 2023 13:09 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Noch ein Hinweis zur Differentialgleichung: Terme (d/D)^4 sollen vernachlässigt werden, und wichtig ist noch ein Minuszeichen:
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Woher kommt das Minuszeichen? und wie löse ich das Integral? bin da iwie noch nicht ganz drin , was das lösen von solchen Integralen angeht 
und woher kommt D und d? Ah bzw kann ich nicht auch R^2 /r^2 schreiben?
müsste ja das sekbe raus kommen
Zuletzt bearbeitet von Sirius02 am 03. Jan 2023 13:25, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Sirius02
Anmeldungsdatum: 20.10.2022
Beiträge: 311
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| Sirius02 Verfasst am: 03. Jan 2023 13:12 Titel: |
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| Steffen Bühler hat Folgendes geschrieben: | | Sirius02 hat Folgendes geschrieben: |
aber wenn ich a/A gleich null setzte dann kommt ja für a und A 0 heraus |
Nein, nur für a.
Viele Grüße
Steffen |
aber 0/ A = 0 |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 03. Jan 2023 13:16 Titel: |
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Nur kurz: Für das vA bei Mathefix gilt
^4v_a^2)
deshalb kann man gemäss Aufgabentext den Term mit der kinetischen Energie im Fass vernachlässigen.
Für den Volumenstrom gilt
Das Minuszeichen, da die Höhe bei positivem Volumenstrom abnimmt. Die letzte Gleichung einsetzen in v=sqrt(2*g*h):
oder
Nun auf beiden Seiten integrieren und dabei die Integrationskonstante nicht vergessen. Diese ergibt sich durch die Anfangsbedingungen. |
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polynesianom
Anmeldungsdatum: 03.01.2023
Beiträge: 1
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| polynesianom Verfasst am: 03. Jan 2023 16:52 Titel: |
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oder
Nun auf beiden Seiten integrieren und dabei die Integrationskonstante nicht vergessen. Diese ergibt sich durch die Anfangsbedingungen.
Bin grad beim letzten Schritt etwas am Verzweifeln, denn bei der Integration im letzten Schritt erhalte ich eine sqrt(h), um dann h(t) zu bestimmen habe ich nach sqrt(h) umgestellt und die Gleichung quadriert. Dadurch habe ich aber
h(t) = (d/D)^4 *(t^2)*"Konstanten aus der Gleichung" + c
erhalten.
und durch Vernachlässigung von (d/D)^4 erhalte ich dann h(t) = c
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 03. Jan 2023 18:21 Titel: |
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| polynesianom hat Folgendes geschrieben: |
... durch Vernachlässigung von (d/D)^4 erhalte ich dann h(t) = c
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Den Faktor
kannst Du nicht vernachlässigen, da er schon in der Aufstellung der Gleichung durch Nichtberücksichtigung der kinetischen Energie entfallen ist. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 03. Jan 2023 19:03 Titel: |
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| polynesianom hat Folgendes geschrieben: | Dadurch habe ich aber
h(t) = (d/D)^4 *(t^2)*"Konstanten aus der Gleichung" + c
erhalten. |
Das ist noch nicht vollständig, es gibt auch einen linearen Term. Nach Integration erhält man (bitte nachrechnen)
Daraus ergibt sich einerseits die Zeit tE (linke Seite gleich 0 setzen), anderseits die gesuchte Funktion h(t). |
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Sirius02
Anmeldungsdatum: 20.10.2022
Beiträge: 311
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| Sirius02 Verfasst am: 04. Jan 2023 12:48 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
zu c)
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Wenn ich für Va jz das einsetze was zuvor berechnet wurde als  dann habe ich die Funktion in abhängigkeit von h angegeben als F(h) oder ? kann ich das dann einfach so stehen lassen oder muss ich da noch was machen |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 04. Jan 2023 13:15 Titel: |
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Das genügt. Aber schreib doch jeweils die ganze Rechnung oder das Ergebnis auf, dann ist es besser verständlich. |
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