Schuss vor dem Saloon

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

Meine Frage:
Beim gestrigen Duell auf der Mainstreet hat der
langsamere Cowboy auf das Schild vor dem Saloon
geschossen. Die Revolver-Kugel der Masse m = 5 g
traf das Schild horizontal mit einer Geschwindigkeit
von v = 400 m/s und blieb darin stecken (siehe Abbildung). Das Schild ist B = 50 cm breit, H = 40 cm hoch und d = 5 mm dick. Es ist aus Aluminium mit
einer Dichte von ?Al = 2.7g/cm3 gefertigt und entlang
der oberen Kante aufgehängt.
Um welchen Winkel wurde das Schild nach dem
Treffer maximal ausgelenkt? Vernachlässigen Sie
hierbei die Luftreibung und die Reibung in der
Aufhängung. Welche Erhaltungssätze können Sie hier
anwenden (wann, warum)?

Meine Ideen:
Also, mein Ansatz ist folgendermaßen:
ganz am Anfang dachte ich man könne die Bewegung der Kugel als zwei Bewegungen betrachten. Also einmal die lineare Bewegung bevor die Kugel im Schild stecken bleibt und dann die Drehbewegung, wenn die Kugel sich mit dem Schild weiter bewegt. Ich hätte dann den einfachen Imnpuls p mit dem Drehimpuls gleichgesetzt. Dann habe ich aber gelesen, dass man das nicht einfach machen kann sondern nur Drehimpuls mit Drehimpuls gleichsetzten darf. Und iwo hab ich gelesen, man könne der Kugel einfach so einem Drehimpuls zuordnen, in dem man die Annahme macht, sie bewege sich auf einer Kreisbahn. Aber für mich macht das absolut kein Sinn. Weil es ist doch Tatsache, dass sie sich nicht auf einer Kreisbahn bewegt und erst nach dem Einschlag rotiert.

Und den EES kann ich doch auch vewenden oder? weil dadurch, dass die Kugel stecken bleibt, wird doch nichts in Wärmeenergie umgewandelt und die energien bleiben erhalten oder irre ich mich? Und wie würdde der energieerhaltungssatz aussehen? Ekin = Ekin *Erot ?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Die Kugel hat vor dem Stoss mit dem Schild einen Drehimpuls bezüglich der Drehachse des Schilds, auch wenn sie sich nicht auf einer Kreisbahn bewegt.

Nach der Definition gilt

Dabei ist r ein Vektor vom Bezugspunkt/Bezugsachse zum Vektor p. Betragsmässig ist L=r*p*sin(alpha), wobei alpha der Winkel zwischen r und p ist. Hier gilt L=d*p, wenn d der Abstand der geraden Bahnkurve der Kugel von der Drehachse des Schilds ist.

Der gesamte Drehimpuls von Kugel und Schild muss beim Stoss erhalten bleiben. Nicht erhalten bleibt wie bei einem inelastischen Stoss (die Kugel bleibt im Schild stecken) die kinetische Energie.

Aus der Drehimpulserhaltung folgt der Drehimpuls bzw. die Winkelgeschwindigkeit des Schilds unmittelbar nach dem Stoss.

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

entspricht d dann 3/4 H? und d steht ja senkrecht zu dem Impuls oder? Kann ich somit L=p*d rechnen?

müsste die Drehimpulserhaltung also folgendermaßen aussehen:

d*(mk*v) = d*((mk+Ms)*v')

mk = masse der Kugel
Ms = Masse des Schilds
wäre V' somit die Winkelgeschwindigkeit, die damit berechne?

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

so und nun zum Energieerhaltungssatz:
ich betrachte also nur den Vorgang bevor Kugel im Schid stecken bleibt und nachdem die Kugel schon steckt und sich samt des Schildes bewegt. die Situation während die Kugel stecken bleibt und Energie verliert betrachte ich nicht.
und deswegen kann ich den EES anwenden, habe ich das richtig verstanden?

oke jz müsste ich nur noch wissen, welche Energien ich ich davor und danach habe grübelnd

da die Kugel sich ja in der Höhe befindet und sich bewegt haben wir doch folgende Energien:

EmechVor: 0,5*m*v^2 + m*g*h

wobei ich keine Ahnung hab wie weit die Kugel vom Boden entfernt ist und was deswegen h ist

und danach:

EmechNach: 0,5*(Ms+mK)*v'^2+(mk+Ms)*g*h+0,5*I*w^2

wobei ich I nach Steiner berechnen muss oder? Wobei, wie genau berechne ich das? weil hab doch Trägheitsmoment von Schild und Kugel.
und habe auch hier wieder keinen ahnung was ha ist

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Ja, d=3/4*H. Zur Drehimpulserhaltung während des Stosses:

Auf der rechten Seite steht in der Klammer das gesamte Massenträgheitsmoment von Kugel und Schild. Das Trägheitsmoment des Schilds, Is, bezüglich der oberen Kante kannst Du entweder nach der Definition über ein Integral selber berechnen, oder Du kannst dasjenige von einem dünnen Stab nehmen (siehe hier). Das Schild ist ja sehr dünn, d<<B, H.

Zur Berechnung des Auslenkungswinkels: Am höchsten Punkt ist die ganze Rotationsenergie in potentielle Energie umgewandelt:

Die Höhe der Kugel am höchsten Punkt, hK, und die Höhe des Schwerpunkts des Schilds, hS, jetzt noch durch den Auslenkungswinkel ausdrücken.

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

ah ok vielen Dank! soweit habe ich es verstanden. Nur, wie soll ich hk und hs mit winkeln ausdrücken? grübelnd

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

also habs mir versucht aufzuzeichnen. Also ist hs =cos alpha*H/2?
und hk=cos alpha*3/4H ?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Fast. Benötigt wird ja die Höhendifferenz zur Stellung alpha=0. Also

Wobei, angesichts der -verglichen mit dem Schild- sehr kleinen Masse könnte man die Kugel in der Energieerhaltungsgleichung fast vernachlässigen.

Sirius02 · Anmeldungsdatum: 20.10.2022 Beiträge: 311

Hö warum 1-cos alpha. Iwie bin ich jz verwirrt

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Entschuldige die späte Antwort. Das war vielleicht auch nicht gut erklärt von mir. Vielleicht wäre es besser gewesen, auf beiden Seiten der Gleichung für die Energieerhaltung einen Term für die potentielle Energie aufzuführen.

So steht auf der rechten Seite die Zunahme der Energie bei einer Auslenkung von 0 auf den Winkel alpha. Vielleicht nochmal anhand einer Skizze überlegen. Bei alpha=0 muss die Höhendifferenz sowohl beim Schild als auch der Kugel gleich 0 sein.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5867 Wohnort: jwd

Klinke mich nur kurz ein.
Vllt. Ist es einfacher mit der reduzierten Masse M' des Schilds als Punktmasse bezogen auf den Auftreffpunkt der Kugel zu rechnen.
M' = (I_M + M*(H/2)^2)/(3/4*H)^2)
Bei 3/4*H von der Drehachse befinden sich die Massen M'+m.

E_pot = (M'+m)*3/4*H*g*(1-cos(alpha))=E_kin= 1/2*(M'+m)* v'^2
m*v = (M'+m)*v'

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

@Sirius02: Ich erhalte nicht 67.9°, sondern 40° als maximalen Auslenkungswinkel. Das habe ich aber wirklich schnell gerechnet und ist ohne die geringste Gewähr.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5867 Wohnort: jwd

Ich erhalte mit m=0,005 kg, M=2,7 kg und M'=1,6 kg
alpha = 42,6°

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5867 Wohnort: jwd