| Autor |
Nachricht |
opticos
Anmeldungsdatum: 30.01.2017
Beiträge: 18
|
|
 |
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
|
 DrStupid Verfasst am: 24. Feb 2022 12:02 Titel: Re: Wellengleichung für Ebene und spärische Wellen |
 |
|
Sieht da nicht einfach nur  verschieden aus - also
in kartesisches Koordinaten bei einer ebenen Welle, die sich in X-Richtung ausbreitet und
in Kugelkoordinaten bei einer spherischen Welle, die sich vom Koordinatenursprung ausbeitet? |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18113
|
| TomS Verfasst am: 24. Feb 2022 14:42 Titel: Re: Wellengleichung für Ebene und spärische Wellen |
|
|
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | Sieht da nicht einfach nur verschieden aus ... und
in Kugelkoordinaten bei einer spherischen Welle, die sich vom Koordinatenursprung ausbeitet? |
Ja, der Nablaoperator sieht unterschiedlich aus, aber diese Form für Kugelkoordinaten ist nicht korrekt.
https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operator#Three_dimensions
Und ja, die Wellengleichung hat Lösungen unterschiedlicher Symmetrie, z.B. ebene Wellen oder Kugelwellen. Aber dies hat nichts mit der Wahl der Koordinaten zu tun. Kugelwellen sind auch dann Lösungen, wenn der Operator nicht in Kugelkoordinaten ausgedrückt wird.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
|
| DrStupid Verfasst am: 24. Feb 2022 15:47 Titel: Re: Wellengleichung für Ebene und spärische Wellen |
|
|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | aber diese Form für Kugelkoordinaten ist nicht korrekt. |
Stimmt, das hatte ich falsch in Erinnerung.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aber dies hat nichts mit der Wahl der Koordinaten zu tun. |
Das habe ich auch nicht behauptet. Ich habe jeweils nur das Koordinatensystem gewählt, in dem die Wellengleichung nur von einer Koordinate abhängt. Man muss sich das Leben ja nicht unnötig schwer machen. |
|
|
opticos
Anmeldungsdatum: 30.01.2017
Beiträge: 18
|
| opticos Verfasst am: 24. Feb 2022 16:24 Titel: |
|
|
Ich danke euch, jetzt macht es Sinn.
 = \frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2} ( r \psi ))
Ich habe das aus dem Optik Buch von Hecht Eugene und jetzt verstehe ich es besser. Ich nehme an das ist die für sphärische Wellen vereinfachte Wellengleichung.
Aber ich möchte die Thematik nochmals diskutieren bitte:
D.h. obige Wellengleichung ist für sphärische Wellen der Art  = \frac{A_0}{|\vec r|}cos (\vec k \vec r-\omega t)) erfüllt, ist das so richtig?
Nun frage ich mich, ob eine ebene Ebene Welle wie  = A_0 cos (\vec k \vec r-\omega t)) wirklich eine Lösung für die 1D-Wellengleichung ist. Wie geht man hier vor? |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
|
| DrStupid Verfasst am: 24. Feb 2022 17:02 Titel: |
|
|
| opticos hat Folgendes geschrieben: | | Nun frage ich mich, ob eine ebene Ebene Welle wie wirklich eine Lösung für die 1D-Wellengleichung ist. Wie geht man hier vor? |
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann gilt das für
 |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18113
|
| TomS Verfasst am: 24. Feb 2022 17:05 Titel: Re: Wellengleichung für Ebene und spärische Wellen |
|
|
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aber dies hat nichts mit der Wahl der Koordinaten zu tun. |
Das habe ich auch nicht behauptet. |
Ich habe ja auch gar nicht dich gemeint ;-)
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
opticos
Anmeldungsdatum: 30.01.2017
Beiträge: 18
|
| opticos Verfasst am: 24. Feb 2022 17:14 Titel: |
|
|
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | opticos hat Folgendes geschrieben: | | Nun frage ich mich, ob eine ebene Ebene Welle wie wirklich eine Lösung für die 1D-Wellengleichung ist. Wie geht man hier vor? |
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann gilt das für
|
Könntest du mir den Rechenweg zeigen bitte? |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
|
| DrStupid Verfasst am: 24. Feb 2022 17:17 Titel: |
|
|
| opticos hat Folgendes geschrieben: | | Könntest du mir den Rechenweg zeigen bitte? |
Wenn Du prüfen willst, ob eine gegebene Gleichung Lösung der Wellengleichung ist, dann musst Du sie nur jeweils zweimal nach r (bzw. den Komponenten von r) und t ableiten und die Ableitungen dann in die Wellengleichung einsetzen. |
|
|
opticos
Anmeldungsdatum: 30.01.2017
Beiträge: 18
|
| opticos Verfasst am: 25. Feb 2022 09:04 Titel: |
|
|
Ja, ich verstehe. D.h. bei einer 1D ebenen Welle kann ich einfach nach r zweimal ableiten.
Aber wie ist das jetzt bei einer 3D ebenen Wellen? Der r vektor hat ja dann xyz Koordinaten, ich bekomme das puzzle nicht ganz zusammen in meinem Kopf.
Sphärische Wellen sind klar, aber 3D ebene Wellen nicht so. Kannst du da mir bitte weiterhelfen? |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18113
|
| TomS Verfasst am: 25. Feb 2022 09:29 Titel: |
|
|
Das Rezept ist immer das selbe.
Die Wellengleichung
wird mittels des Ansatzes
 = e^{-i\omega t} \, u(x))
in die Eigenwertgleichung
 = 0)
für die Funktion u(x) überführt.
Nun kann man unterschiedliche Symnmetrien betrachten, insbs. Rotation und Translation, und diesbzgl. passende Lösungen suchen.
Rotationssymmetrie => sphärische Wellen
Translationssymmetrie => ebene Wellen
Dazu stellt man den Laplace-Operator in den jeweils geeigneten Koordinaten dar
Rotationssymmetrie => sphärische Wellen => Kugelkoordinaten
Translationssymmetrie => ebene Wellen => cartesische Koordinaten
(weil sich dadurch die Rechnungen deutlich vereinfachen) und löst die Gleichung.
Umgekehrt kann man eine gegeben Lösung in geeigneten Koordinaten in die Gleichung einsetzen und zeigen, dass die Gleichung erfüllt wird.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
|
| DrStupid Verfasst am: 25. Feb 2022 10:56 Titel: |
|
|
| opticos hat Folgendes geschrieben: | | Aber wie ist das jetzt bei einer 3D ebenen Wellen? Der r vektor hat ja dann xyz Koordinaten, ich bekomme das puzzle nicht ganz zusammen in meinem Kopf. |
TomS hat oben verlinkt, wie der Laplace-Operator in drei Dimensionen aussieht. In kartesischen Kordinaten ist es einfach
 |
|
|
opticos
Anmeldungsdatum: 30.01.2017
Beiträge: 18
|
| opticos Verfasst am: 25. Feb 2022 11:44 Titel: |
|
|
danke für die ausführlich Antwort.
Ich hänge noch immer an dem "Laplace-Operator in cartesische Koordinaten" umschreiben.
Also ich verstehe, dass das dann so aussieht: 
Und wenn ich jetzt die angebliche Lösung für ebene Wellen in diese Wellengleichung mit dem in kartesischen Koordinaten ausgedrückten Laplace-Operator einsetze, wie gehe ich dann vor?
Also das Skalarprodukt  hängt ja von x,y,z ab und kann man ja so betrachten: =k\cdot r_k) wo bei r_k der Anteil ist, der in Richtung des k-Vektors zeigt.
D.h. wenn angenommen der k-Vektor nur in x-Richtung zeigt, ist klar, dass
auch r_k in x-Richtung zeigt. Und daher könnte ich einfach nur nach x ableiten, da y,z Koordinaten nicht vorhanden sind. Stimmt das so?
Und wie kann ich mir das vorstellen, falls der k Vektor eben irgendwo nach x,y,z zeigt? |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
|
| DrStupid Verfasst am: 25. Feb 2022 11:52 Titel: |
|
|
| opticos hat Folgendes geschrieben: | | Und wie kann ich mir das vorstellen, falls der k Vektor eben irgendwo nach x,y,z zeigt? |
Dann schreibst Du das Skalarprodukt aus
 = A_0 \cdot \cos \left( {k_x \cdot x + k_y \cdot y + k_z \cdot z - \omega \cdot t} \right))
und wendest den Laplace-Operator an. |
|
|
opticos
Anmeldungsdatum: 30.01.2017
Beiträge: 18
|
| opticos Verfasst am: 25. Feb 2022 12:41 Titel: |
|
|
oha, dann komme ich ja genau auf  , wie du bereits auch erwähnt hast vor ein paar Beiträgen. 
Und um genau das gehts hier? Wenn die Wellengleichung sich auf die Dispersionsrelation reduziert, ist eben Welle X oder Y eine Lösung davon? |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18113
|
| TomS Verfasst am: 25. Feb 2022 12:57 Titel: |
|
|
| opticos hat Folgendes geschrieben: | | Wenn die Wellengleichung sich auf die Dispersionsrelation reduziert, ist ebene Welle X oder Y eine Lösung davon? |
Ja, wenn die Wellengleichung sich auf die Dispersionsrelation reduziert, dann ist die ebene Welle eine Lösung.
Aber die Klasse der Lösungen ist deutlich größer.
Letztlich hast du Elementarlösungen (in einer Dimension)
 = e^{i(kx - \omega t)}; \quad \omega^2 - k^2 = 0)
und jede Superposition
 = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dk}{2\pi} \, e^{i(kx-\omega t)} \, \psi(k))
ist wieder eine Lösung, wie man durch Anwenden der Wellengleichung sofort feststellt.
Dabei muss natürlich
 = k^2 )
gelten!
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
opticos
Anmeldungsdatum: 30.01.2017
Beiträge: 18
|
| opticos Verfasst am: 25. Feb 2022 13:21 Titel: |
|
|
Warum kommt da die Lichtgeschwindigkeit c nicht mehr vor?
Warum setzt man  ? |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18113
|
| TomS Verfasst am: 25. Feb 2022 14:28 Titel: |
|
|
Weil man in der Physik oft mit c = 1 rechnet. Sorry für die Verwirrung, du kannst c an den bekannten Stellen wieder reinbasteln ;-)
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
