Bestimmung der Konstante in den Einsteinschen Feldgleichunge

Björn · Anmeldungsdatum: 23.09.2006 Beiträge: 8

Hi

Ich hab mal versucht die Konstante k in den Einst. Feldgleichungen herzuleiten. Aber irgendwie komm ich nicht auf das Ergebnis, welches sich in der Literatur bzw. im inet wiederfindet.

Anstatt (8*pi*G) / c^4 komme ich auf (4*pi*G)/c²

Ich bin dabei vorgegangen wie es üblich ist ... ausgehend von schwachen Gravitationsfeldern (Christoffelquadrate im Ricci-Tensor fallen weg etc...)
und mithilfe der 00-Komponente des Energie-Impuls-Tensors der Hydrodynamik ...

Es ist natürlich jetzt so gut wie unmöglich die Rechnung mal eben hier hinzuschreiben. Da bräuchte ich ja Stunden ! Augenzwinkern

Aber vielleicht kann mir jemand eine Seite vorschlagen in der man mal eine Schritt für Schritt Rechnung findet, sodass ich das mal selbst überprüfen kann.

MfG Björn

Patrick · Anmeldungsdatum: 05.07.2006 Beiträge: 417 Wohnort: Nieder-Wöllstadt

Eine Herleitung steht auf der Seite

http://pauli.uni-muenster.de/Seminare/teilchen/teilchen_ss05/Friedmann.pdf

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Eine Vermutung dafür, warum nicht jede Herleitung konsequent auf die c^4 im Nenner kommt, ist die, dass es beim Rechnen mit den Formeln der allgemeinen Relativitätstheorie oft üblich ist, Einheiten zu verwenden, in denen c=1 gesetzt wird.

Vielleicht hast du also eine der Formeln, die du für deine Herleitung verwendet hast, aus einer Quelle genommen, die das c in der Formel "weggelassen" hat (also c=1 verwendet hat)?

Björn · Anmeldungsdatum: 23.09.2006 Beiträge: 8

Hmm, eigentlich hab ich genau darauf geachtet genau zu arbeiten, sodass
normalerweise da keine Einheiten = 1 gesetzt sein dürften.

Ich werd mir mal die Mühe machen und doch mal die Herleitung hier so halbwegs reinstellen. Augenzwinkern

Wird aber bis morgen dauern, heute krieg ich das nicht mehr fertig ...

Also bis dann

Björn · Anmeldungsdatum: 23.09.2006 Beiträge: 8

(Im Vorfeld: Für partielle Ableitungen hab ich der Einfachheit halber nur ein d geschrieben, hab das Symbol nicht gefunden ..)
Also erstmal was allgemeines, damit ich nicht alles aufschreiben muss :

Ausgehend von den Einst. Feldgleichungen nehme ich für den klassischen
Grenzfall schwache und zeitunabhängige Gravitationsfelder an.
Das bedeutet zum einen, dass wir auf der Seite des Ricci-Tensors die beiden
Christoffel-Quadrate wegfallen lassen können, da ja nur lineare Anteile für die klassische
Lösung interessant sind. Der Energie-Impuls-Tensor vereinfacht sich extrem, da
in unserem Fall gilt (Druckfreiheit!) mit

als Dichte

und da für die klassische Näherung alle Komponenten außer die 00-Komp. verschwinden

. Dies ist damit auch gleich der Spur
des Energie-Imp.-Tensors

!

Die für uns interessanten Feldgleichungen (ohne die Christoffelquadrate) lauten damit:

Den Metrik-Tensor habe ich hier schon in zwei Teile

zerlegt wobei

<< 1, also eine schwache Abweichung von der Minkowski-Metrik, die durch

gegeben ist.

Setzen wir nun die 00-Komponente bzw. Spur des E.-I.-Tensors ein so ergibt sich:

und weiter

.

Mit der Forderung der Zeitunabhängigkeit fällt die Zeitableitung auf der linken Seite weg und es bleibt:

Puh -

- was jetzt noch fehlt ist das Christoffel-Symbol, was in der definierten Metrik folgendermaßen aussieht :

Wenn wir jetzt die Zeitableitungen weglassen und alles zusammenfassen ergibt sich letztendlich:

So ! Nur noch aufsummieren und es ergibt sich, wenn man die zeitlichen Viererkoordinaten weglässt und mit dem Laplace-Operator [aus Faulheit Augenzwinkern

] die
zweiten partiellen Ableitungen nach der Metrik

zusammenfasst:

Vergleich mit der newtonschen Feldgleichung liefert aber

!!!!!
Arhg wo ist der Fehler unglücklich

( ?

MfG

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Vorneweg: Den Schweinekringel für die partielle Ableitung macht man mit \partial

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Einen Fehler in deiner Herleitung habe ich noch nicht gefunden, dafür dies:

Mit deiner Herleitung bist du nicht allein; dort:

http://www.einsteins-erben.de/Theorien/RT/AR_Test.htm

findet sich ganz genau dieselbe Herleitung mit demselben Ergebnis smile

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Des weiteren finde ich online diverse Versionen der Kopplungskonstante, also

,

. (Die besten Quellen (ebenso wie mein Einheiten-Check Augenzwinkern

) scheinen mir dabei klar zu

zu tendieren. )

Das scheint mir also weniger eine Frage von Rechenfehlern zu sein, sondern dürfte eher etwas mit Faktoren von 2 und Faktoren von 1/c^2 zu tun haben, die aus Gründen, die wir bisher noch nicht gefunden haben, (je nach verwendeter Metrik oder so ?? ) hinzukommen.

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// edit: Ob da dies weiterhilft :

http://www.einsteins-erben.de/Theorien/RT/Bewegungsgleichung_eines_koerpers.htm

Ganz runterscrollen (die letzten fünf schwarzen Gleichungen auf dieser Seite), da findet man beim Vergleich mit der Newtonschen Näherung einen Faktor von 2/c^2 drinstehen. Ich habe den leisen Verdacht, der löst unser Problem, da man wohl beim Vergleich mit Newton berücksichtigen muss, dass (in der Schreibweise des Links)

Björn · Anmeldungsdatum: 23.09.2006 Beiträge: 8

Hm, ja kann schon sein ... also ich habe die Herleitung etwas an Eckhard Rebhan's "Theoretische Physik I" angelehnt. Da wird das ganze ähnlich wie auf dieser Seite (Einsteins-Erben) angegangen, nur eben etwas komprimierter.
Um da besser durchzusteigen muss ich wohl nochmal genauer nachschauen
warum und wieso ich nicht aufs gleiche Ergebnis komme! Wäre ja mal interessant zu sehen an was das genau hängt. Dein Vorschlag mit der Metrik könnte damit schon zusammenhängen. Augenzwinkern

MfG

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Sorry, dass ich beim Schreiben meines "edit" oben nicht so radikal gewesen bin, meine vorläufigen Vermutungen obendrüber zu löschen Augenzwinkern

Ich bin mir mittlerweile ziemlich sicher, dass ich mit dem, was ich vorsichtig formuliert im edit geschrieben habe, das gefunden habe, woran es liegt.

Björn · Anmeldungsdatum: 23.09.2006 Beiträge: 8

Ja... habs mir auch nochmal angeschaut ... is ja auch logisch
man kann ja nicht einfach die

-Komponente
mit dem Grav.-Potential vergleichen, sondern muss die Beziehung zwischen
der Abweichung der Metrik zum Grav.-Pot. beachten.

Ok vielen Dank für deine Hilfe! Augenzwinkern