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Nachricht |
E-techniker
Gast
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 E-techniker Verfasst am: 09. Dez 2021 19:29 Titel: Mehrdimensionale Vektoranalysis |
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Meine Frage:
Verstehe ich das richtig?
Partielle Ableitungen als Teil der mehrdimensionalen Analysis ergeben u.a. die Gleichung der Tangentialebene, die wiederum das Totale Differential darstellt.
Fasst man diese Ableitungen in einem Vektor zusammen, nennt man das Gradient und somit ist man bei Vektoranalysis?
Ich kann diese Begriffe nicht so richtig einordnen und verstehe den Zusammenhang nicht so recht...
Meine Ideen:
Warum es im Elektrik-Forum gelandet ist:
Was hat das ganze für einen praktischen Nutzen? Vor allem auf die Ingenieurwissenschaften der Elektrotechnik bezogen... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18091
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| TomS Verfasst am: 09. Dez 2021 20:37 Titel: |
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Fangen wir von hinten an: In der Elektrodynamik beschreibt man einige relevante Größen - u.a die elektrischen und magnetischen Felder - mittels Vektorfeldern (im flachen euklidischen Raum), Beziehungen zwischen ihnen mittels partieller Differentialgleichungen bzw. der Vektoranalysis. Zentral sind dabei die Maxwellschen Gleichungen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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masterpie
Anmeldungsdatum: 13.11.2019
Beiträge: 408
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| masterpie Verfasst am: 09. Dez 2021 20:54 Titel: |
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@E-techniker,
Kennst Du dieses Video? https://www.youtube.com/watch?v=8jIOaLPajZQ
Oder habe ich Dich jetzt gewaltig unterfordert? Das wäre nicht meine
Absicht gewesen. In diesem Fall, Entschuldigung.
Masterpie
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Wir denken zu viel und fühlen zu wenig. (Charlie Chaplin) |
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gast_free
Anmeldungsdatum: 15.07.2021
Beiträge: 195
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| gast_free Verfasst am: 10. Dez 2021 08:57 Titel: |
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Stelle Dir als einfaches Beispiel eine Landkarte mit Höhenlinien vor. Wähle aus dieser Karte einen Punkt aus. Stelle Dir nun die Frage in welcher Richtung die stärkste Steigung oder das größte Gefälle existiert. Hierzu misst Du den Höhenunterschied in Nord-Süd-Richtung und in Ost-West-Richtung. Je größer der Höhenunterschied, bezogen auf diesen Punkt, desto länger der Vektor in der jeweiligen Richtung. Nun addierst Du beide Vektoren und schwupps nun hast Du den Gradienten.
Infinitesimal:
H(x,y): z.B. Landkarte mit Höhenwerten.
}{\partial x}\cdot \vec e_x + \frac{\partial H(x,y)}{\partial y}\cdot \vec e_y=grad {H(x,y)})
Aus einem skalaren Feld wird ein Vektorfeld. Das Funktioniert auch mit barometrischen Karten, mit Temperaturkarten und vielem mehr. Man kann das Spiel auch auf viel mehr Dimensionen ausweiten.
Es ist eine von mehreren Grundrechenoperation aus der Vektoranalysis. |
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E-techniker
Gast
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| E-techniker Verfasst am: 10. Dez 2021 12:08 Titel: |
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| masterpie hat Folgendes geschrieben: | @E-techniker,
Kennst Du dieses Video?
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Danke, das Video hat tatsächlich ein paar neue Erkenntnisse gebracht!
Noch ein paar Fragen zur Vektoranalysis:
1. Ist es üblich, dass man dieses Thema erst in Masterstudiengängen der E-Technik lernt? Würde gerne wissen, wo ich (bzw. meine Uni) da stehen...
2. Fasst man also die ersten partiellen Ableitungen von einer Funktion f(x,y,z) in einem Vektor zusammen, so erhält man grad(f) bzw. das umgedrehte Delta, also den Gradienten?
Wenn man diesen jetzt Skalar multipliziert mit der urprünglichen Formel und für x, y, z Punkte einsetzt, erhält man einen neuen Vektor? Das ist dann das Vektorfeld? Warum nicht Skalarfeld?
3. Anschließend an die 2. Frage: Was ist der konkrete Unterschied in der Berechnung und der Bedeutung des Vektor- und Skalarfeldes?
4. Praktische Anwendungen in der Physik/Technik:
- die Maxwell-Gleichungen ergeben ein solches Feld?
- f(p,v,t) in der Thermodynamik?
- Schrödingergleichung (da abhängig von zwei unanbhängigen Variablen?)
- Elektrisches Feld
- Wellenfunktionen
- Ohmsches Gesetz (da R abhängig von I, U) |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 10. Dez 2021 12:19 Titel: |
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| E-techniker hat Folgendes geschrieben: |
Wenn man diesen jetzt Skalar multipliziert mit der urprünglichen Formel und für x, y, z Punkte einsetzt, erhält man einen neuen Vektor? Das ist dann das Vektorfeld? Warum nicht Skalarfeld? |
Der Gradient eines Skalarfeldes Φ IST schon ein Vektorfeld, da du ja jedem Ort im Raum, gegeben durch x,y,z einen Vektor zuordnest:
Wenn du dich vom Ort x,y,z um dr=(dx, dy, dz) weiterbewegst, dann ist die Änderung von Φ gegeben durch
was ja nichts anderes ist, als das totale Differenzial von Φ.
Hier kommt das Innere Produkt zum Tragen.
Der Gradient von Φ gibt als Vektor die Richtung und die Größe des stärksten Anstiegs von Φ an.
PS: Das umgedrehte Delta heißt "Nabla".
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 10. Dez 2021 12:32 Titel: |
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| E-techniker hat Folgendes geschrieben: |
2. Fasst man also die ersten partiellen Ableitungen von einer Funktion f(x,y,z) in einem Vektor zusammen, so erhält man grad(f) bzw. das umgedrehte Delta, also den Gradienten?
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Ja, allerdings gilt das nur in wenn die Funktion in kartesischen Koordinaten ausgedrückt ist. In der Elektrodynamik hat man es aber oft auch mit Zylinder- oder Kugelkoordinaten zu tun. Der Zusammenhang zwischen den Gradientenkomponenten und den partiellen Ableitungen nach den krummlinigen Koordinaten ist dann komplizierter. Siehe z.B. hier.
Was allerdings immer, d.h. in beliebigen Koordinaten u,v,w, gilt, ist die Formel für das Differential
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18091
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| TomS Verfasst am: 10. Dez 2021 12:54 Titel: |
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Irgendwie müssen wir die Fragen sortieren; aktuell ist da zu viel offen und ich wüsste nicht recht, wo ich anfangen soll.
Mein Vorschlag wäre, zunächst mal elektrische Felder und Stromdichten und deren Bedeutung zu erklären - noch ohne Vektoranalysis. Dann kann man sich zwei einfache Beispiele anschauen, dass Ohmsche sowie das Gaußsche Gesetz, jeweils in differentieller Form:
 = \sigma \, \vec{E}(x))
 = \frac{1}{\epsilon_0} \, \rho(x))
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