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Rhys
Gast
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 Rhys Verfasst am: 09. Nov 2021 10:45 Titel: Aktivitätsbestimmung bei steigender Impulszahl |
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Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgenden Aufbau: mit einer Pumpe wird Umgebungsluft auf einen Filter gepumpt, dieser Filter wird währenddessen kontinuierlich mit einem Detektor ausgemessen. Nach einer halben Stunde erhalte ich eine Impulszahl an der vorgegebenen Energielinie. Im nächsten Zeitintervall ist der Filter jetzt allerdings "vorbelastet", da er nicht ausgetauscht wird. Gibt es eine Möglichkeit, eine impulszahlabhängige Formel aufzustellen, aus der ich die mittlere Aktivität während der Messdauer berechnen kann?
Meine Ideen:
Eventuell wäre es möglich, verschiedene Formeln für verschiedene Radionuklide aufzustellen, so könnte man für besonders langlebige beispielsweise annehmen, dass während eines Messintervalls kein Zerfall stattfindet, so dass man die Impulszahl aus dem Intervall zuvor einfach abziehen kann. Bei kurzlebigen ist das aber nicht so einfach möglich, da muss ja die Halbwertszeit mit einberechnet werden, ich bin mir allerdings nicht sicher, wie ich das in eine Formel bringe, am besten sogar in eine einzige Formel, die sowohl von Halbwertszeit als auch Impulszahl abhängt (die Korrektur wegen der Halbwertszeit wäre natürlich umso geringer, je höher die Halbwertszeit ist). Könnt ihr mir helfen bzw habt Anstöße? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18092
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| TomS Verfasst am: 09. Nov 2021 11:21 Titel: |
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Der Ansatz für die Anzahl N der Kerne eines Nuklids lautet
Der erste Term beschreibt den Massenstrom durch den Filter und davon den Anteil des betrachteten Radionuklids, der sich im Filter ansammelt; dabei könnten der Massenstrom sowie der Anteil sogar selbst zeitabhängig sein, aber das betrachten wir zunächst mal nicht.
Der zweite Term beschreibt den Zerfall des Radionuklides.
Für diesen zweiten Term mit dem Zerfall (eines Nuklides A) muss eine weitere Gleichung ergänzt werden, wenn das Zerfallsprodukt B selbst radioaktiv ist, d.h. die Abnahme des ersten entspricht der Zunahme des zweiten:
Nun ist die Frage, welche Nuklide A, B, ... auch im ursprünglichen Massenstrom enthalten sind und wie die Zerfallsketten aussehen.
Für jedes Nuklid erhältst du also eine Differentialgleichung mit einem Term für den Massenstrom sowie einem Terme für den Zerfall plus ggf. weitere Zunahmen durch den Zerfall anderer Nuklide. Damit folgt insgs. ein lineares Differentialgleichungssystem über alle betrachteten Nuklide A, B ... wobei nicht-radioaktive Nuklide nicht berücksichtigt werden müssen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Rhys
Gast
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| Rhys Verfasst am: 09. Nov 2021 14:47 Titel: |
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Ich glaube, das reicht nicht, da die Pumpe selbst während der Messung weiterhin ansaugt. Kann ich das auch irgendwie mit berücksichtigen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18092
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| TomS Verfasst am: 09. Nov 2021 15:59 Titel: |
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| Rhys hat Folgendes geschrieben: | | Ich glaube, das reicht nicht, da die Pumpe selbst während der Messung weiterhin ansaugt. Kann ich das auch irgendwie mit berücksichtigen? |
Ich habe noch gar nicht von der Messung gesprochen.
Während eines Zeitraums dt ändert sich die Anzahl der radioaktiven Kerne im Filter gemäß der o.g. Formeln für dN. Dabei betrachte ich sowohl das Ansaugen (den Massenstrom) als auch den Zerfall. Das Differentialgleichungssystem ist zu lösen. Ist das soweit klar?
Anschließend kann man überlegen, welche Terme wie zur Messung der Zerfälle beitragen.
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Rhys
Gast
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| Rhys Verfasst am: 10. Nov 2021 09:17 Titel: |
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Die Lösung für die erste DGL sollte
sein. Wie ich auf den nächsten Schritt komme weiß ich aber nicht.
Für den Massenzufluss müsste dann vermutlich noch ein weiterer Term dazukommen, oder? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18092
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| TomS Verfasst am: 10. Nov 2021 11:00 Titel: |
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Schreiben wir kurz
q steht für den konstanten Zufluss.
Die Lösung lautet
 = \frac{q}{\lambda} \left( 1 - e^{-\lambda t} \right) )
Dabei wähle ich die Integrationskonstante so, dass
 = 0)
d.h. zu Beginn befindet sich kein Radionuklid im Filter.
Soweit klar?
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Rhys
Gast
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| Rhys Verfasst am: 10. Nov 2021 12:08 Titel: |
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Ja, das ist soweit klar |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18092
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| TomS Verfasst am: 10. Nov 2021 13:20 Titel: |
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Nun, die Zerfälle Z stammen aus der Abnahme der Radionuklide im Filter:
In einem Zeitintervall [t, t+T] erhält man
 = \int_{t}^{t+T} dt^\prime \, \lambda \, N(t^\prime))
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Rhys
Gast
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| Rhys Verfasst am: 10. Nov 2021 13:40 Titel: |
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Also
 = q \cdot T + \frac{q}{\lambda} (e^{-\lambda T}-1)e^{-\lambda t}) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18092
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| TomS Verfasst am: 10. Nov 2021 14:18 Titel: |
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Ja.
(in einer LaTeX-Formel darf kein Zeilenumbruch stehen)
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Rhys
Gast
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| Rhys Verfasst am: 11. Nov 2021 07:55 Titel: |
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Ist das dann schon meine Lösung?
Hier müsste ja q die Einheit 1/s haben, ich habe aber ja einen konstanten Luftstrom mit der Einheit m^3/h, wie kann ich das auflösen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18092
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| TomS Verfasst am: 11. Nov 2021 08:46 Titel: |
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Du musst zurück zur originalen Gleichung und
Die Konstante c ist geeignet zu wählen.
Sie liefert die Umrechnung von Masse/Zeit nach Anzahl/Zeit, die Effektivität des Filters (welcher Anteil der im Massestrom enthaltenen Radionuklide bleibt tatsächlich im Filter hängen), und sie berücksichtigt, dass diese nur einen kleinen und insbs. unbekannten Anteil zum Massestrom beitragen.
D.h. c (und damit q) ist unbekannt und muss experimentell bestimmt werden. Das gilt natürlich ebenfalls für lambda.
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Rhys
Gast
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| Rhys Verfasst am: 11. Nov 2021 08:57 Titel: |
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Alles klar, vielen Dank! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18092
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| TomS Verfasst am: 11. Nov 2021 09:22 Titel: |
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Noch ein paar Gedanken:
Zunächst bestimmt man lambda, indem man den Filter eine Zeit lang mit dem Radionuklid anreichert, dann den Massestrom abstellt und anschließend die Aktivität des Radionuklides misst. lambda folgt aus der exponentiellen Abnahme, die Anzahl der Kerne zu Beginn ist dabei irrelevant. Beachte, dass du dazu das normale Zerfallsgesetz verwenden musst, das in der von uns diskutierten Gleichung nicht enthalten ist! Diese wurde nämlich für die Anfangsbedingung „Anzahl Kerne gleich null“ hergeleitet. Wenn du möchtest, kannst du eine allgemeinere Anfangbedingung formulieren, so dass beide Fälle in einer Gleichung enthalten sind.
Mit bekanntem lambda kannst du anschließend das unbekannte q bestimmen, indem du die Aktivität mit einem frischen Filter bei konstantem Massestrom misst und wiederum die Kurve entsprechend fittest.
In der Praxis wirst du in umgekehrter Reihenfolge vorgehen: zunächst den frischen Filter mit konstantem Massestrom anreichern und währenddessen den zeitlichen Verlauf der Aktivität messen; anschließend den Massenstrom abstellen und wiederum die Aktivität messen. Nur für die Auswertung verwändest du zuerst den zweiten Zeitabschnitt dann den ersten.
Die Bestimmung der Konstanten c aus q ist natürlich immer noch trickreich. Insbesondere kannst du nicht zwischen dem Anteil der Radinuklide im Massenstrom und der Effektivität des Filters unterscheiden. Du müsstest also den Filter irgendwie anders eichen, zum Beispiel in dem du bei bekanntem Anteil eines Nuklids die Effektivität des Filters bestimmst.
Ich denke, diese Methode wird bei mehr als einem Nuklid völlig versagen. Dazu benötigst du zum Beispiel Massenspektroskopie, oder dein Detektor kann zusätzlich die Energie auflösen.
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Rhys
Gast
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| Rhys Verfasst am: 11. Nov 2021 10:09 Titel: |
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Mein Detektor kann zusätzlich die Energie auflösen, kann ich dann nicht die hergeleitete Formel für jede einzelne Energie benutzen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18092
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| TomS Verfasst am: 11. Nov 2021 11:08 Titel: |
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| Rhys hat Folgendes geschrieben: | | Mein Detektor kann zusätzlich die Energie auflösen, kann ich dann nicht die hergeleitete Formel für jede einzelne Energie benutzen? |
Wenn die Zerfallsprodukte selbst nicht radioaktiv sind, dann ja; dann führst du mit einem Detektor sozusagen n zeitlich parallele Messungen zu n verschiedenen Energie = Nukliden durch.
Wenn die Zerfallsprodukte selbst radioaktiv sind, dann müsstest du das oben kurz diskutierte lineare DGL-System lösen.
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