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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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 caro_b Verfasst am: 06. Dez 2018 21:22 Titel: Rutschen und Rollen an der schiefen Ebene |
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Meine Frage:
Hallo
insbesondere mit Teil b und d bin ich etwas überfragt...
Eine Kugel mit der homogen verteilten Masse m und dem Radius R wird auf einer schiefen Ebene von einer Höhe z = h bei x = 0 im homogenen Schwerefeld der Erde (Schwerebeschleunigung g) zur Zeit t = 0 losgelassen. Im ersten Fall soll die Kugel rutschen ohne zu rollen, im zweiten soll sie rollen ohne zu rutschen.
Von Reibungseffekten werde abgesehen.
a)
Wie groß ist die Energie der Kugel zum Zeitpunkt t = 0 ?
b)
Stellen Sie die Energiebilanz E(z(t)) f¨ur beliebige Zeiten t für beide Fälle (Rutschen und Rollen) auf!
c)
In welchem Fall (Rutschen oder Rollen) erreicht die Kugel in kürzerer Zeit das Ende der schiefen Ebene, begründen Sie Ihre Aussage ohne Rechnung!
d)
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Schwerpunktes in beiden Fällen als Funktion der Höhe z und berechnen Sie die Zeit T für das Herunterrollen bzw. Herunterrutschen von x = 0 bis x = x1 !
Meine Ideen:
zu a)
Epot = mgh
zu b)
Rollen:
^2
<br />
)
Rutschen:
^2
<br />
)
zu c)
Beim Rollen muss immer die Haftreibung überwunden werden, die größer ist, wie die Gleitreibung. Daraus folgt, dass die Kugel früher das Ende der schiefen ebene erreicht, wenn sie rutscht.
zu d)
t setze ich auf die x-Achse
für z(t) weiß ich doch nur,
z(0)=h und z(t_1=x_1) = 0
wie bau ich denn daraus eine konkrete Funktion???
Rollen:
 = \frac{1}{5}m z'(t)^2
<br />
z'(t) = \sqrt{5gz(t)}
<br />
)
Rutschen:
 = \frac{1}{2}m z'(t)^2
<br />
z'(t) = \sqrt{2gz(t)}
<br />
) |
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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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| caro_b Verfasst am: 06. Dez 2018 22:13 Titel: |
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zu d)
ist mein
z(t) = -h/t1 * t + h
?? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5906
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| Myon Verfasst am: 06. Dez 2018 23:57 Titel: Re: Rutschen und Rollen an der schiefen Ebene |
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| caro_b hat Folgendes geschrieben: | zu b)
Rollen:
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Die Kugel hat nicht nur Rotationsenergie. Auf jeder Höhe z muss gelten +E_\mathrm{trans}(z)+E_\mathrm{rot}(z)=E_\mathrm{ges}=mgh) . Das konstante Verhältnis von Erot zu Etrans ergibt sich aus dem Massenträgheitsmoment der Kugel und der Rollbedingung  .
| Zitat: | [Rutschen:
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Da die Kugel nicht rotiert, gilt einfach +E_\mathrm{trans}(z)=mgh) . Die Translationsenergie ist aber nicht 1/2*z'(t)^2, denn die Geschwindigkeit wäre nur im freien Fall gleich z'(t).
Was genau unter Energiebilanz verstanden wird, weiss ich nicht. Aber durch die obige Gleichung für die Energie kann die Translationsenergie in Abhängigkeit von z ausgedrückt werden (nicht zu weit überlegen.. ganz einfach =mg(h-z)) ).
| Zitat: | zu c)
Beim Rollen muss immer die Haftreibung überwunden werden, die größer ist, wie die Gleitreibung. Daraus folgt, dass die Kugel früher das Ende der schiefen ebene erreicht, wenn sie rutscht. |
Das ist zumindest missverständlich. Wenn die Kugel rollt, dann muss eine Haftreibung wirken. Diese muss aber nicht „überwunden“ werden. Sie ist genau so gross, dass durch das ausgeübte Drehmoment die Kugel gemäss rotiert. Wenn die Kugel ohne jede Rotation rutscht, wirkt keine Gleitreibungskraft (der Gleitreibungskoeffizient wäre gleich 0).
Man kann nun argumentieren:
-wenn die Kugel rollt, wirkt zu jeder Zeit eine Haftreibungskraft entgegen der Hangabtriebskraft (zur Bahnebene parallele Komponente der Gewichtskraft). Dadurch ist die Beschleunigung geringer als im Fall der rutschenden Kugel.
-Im Fall der rollenden Kugel ist die Geschwindigkeit auf jeder Höhe z geringer als im Fall der rutschenden Kugel, da die kinetische Energie neben einem Translationsanteil noch einen Rotationsanteil hat.
Zu d): die Geschwindigkeit muss in Abhängigkeit von z angegeben werden. v(z) folgt sofort aus der erwähnten Gleichung
+E_\mathrm{trans}(z)+E_\mathrm{rot}(z)=mgh) .
Für die gesuchte Zeit zum Herunterrollen müsste noch der Steigungswinkel gegeben sein? Man erhält sie aus der konstanten, zu berechnenden Beschleunigung und der zurückgelegten Strecke. |
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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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| caro_b Verfasst am: 07. Dez 2018 19:46 Titel: |
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hm, in der Aufgabenstellung steht doch, dass ich jeweils annehmen soll, dass die Energie vollständig in Ekin bzw Erot umgewandelt wird???
Schon wieder solch ein Verständnisproblem...
Als Steigungswinkel ist phi angegeben.
also iwie steh ich auf dem Schlauch...
Rollen:
=\sqrt{\frac{10}{7}g(h-z)};
<br />
v(0) = \sqrt{\frac{10}{7}gh}
<br />
<br />
a(z)= \frac{5g}{7\sqrt{\frac{10}{7}g(h-z)}};
<br />
a(0)= \frac{5g}{7\sqrt{\frac{10}{7}gh}}
<br />
<br />
mit
<br />
a(z) = \frac{v(z)}{t}
<br />
t= 2h
<br />
)
Rutschen:
=\sqrt{2g(h-z)};
<br />
v(0) = \sqrt{2gh}
<br />
<br />
a(z)= \frac{g}{\sqrt{2g(h-z)}};
<br />
a(0)= \frac{g}{\sqrt{2gh}}
<br />
<br />
mit
<br />
a(z) = \frac{v(z)}{t}
<br />
t= 4gh
<br />
)
wo ist da mein Fehler
der Hinweis mit phi mein sicherlich s = sin (phi) *h und
s= 1/2at^2
richtig? |
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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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| caro_b Verfasst am: 08. Dez 2018 00:15 Titel: |
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ich denke alle Fehler gefunden zu haben...
Rollen:
=\sqrt{\frac{10}{7}g(h-z)}
<br />
<br />
v(0)=\sqrt{\frac{10}{7}gh}
<br />
<br />
a=\frac{5}{7}g \sin{\phi}
<br />
<br />
t= \frac{1}{\sin{\phi}}\sqrt{\frac{14h}{5g}}
<br />
<br />
)
Rutschen:
=\sqrt{2g(h-z)}
<br />
<br />
v(0)=\sqrt{2gh}
<br />
<br />
a=g \sin{\phi}
<br />
<br />
t= \frac{1}{\sin{\phi}}\sqrt{\frac{2h}{g}}
<br />
<br />
)
ich komme mir inzwischen so dermaßen inkompetent vor... |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5906
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| Myon Verfasst am: 08. Dez 2018 12:21 Titel: |
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Das sieht doch alles sehr gut aus! |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5875
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 08. Dez 2018 14:02 Titel: |
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Zu b)
Wenn Du die Drehung der Kugel K um den Momentanpol -Auflagepunkt der Kugel - betrachtest, gilt unter Anwendung des Satzes von Steiner
\cdot \omega^{2} ) |
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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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| caro_b Verfasst am: 08. Dez 2018 20:10 Titel: |
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Mit Steiner erhalte ich fürs Rollen:
=\sqrt{\frac{5}{6}g(h-z)}
<br />
<br />
v(0)=\sqrt{\frac{5}{6}gh}
<br />
<br />
a=\frac{5}{12}g \sin{\phi}
<br />
<br />
t= \frac{1}{\sin{\phi}}\sqrt{\frac{24h}{5g}}
<br />
<br />
)
Das die Rotation noch gesteinert werden muss macht natürlich Sinn und verstehe ich. Habb hier allerdings ein paar Aufgaben mit Zahlwerten und die kann ich alle mit den Formeln ohne Steiner lösen.
Mit Steiner erhalte ich andere Werte.
Haben die jetzt alle vegessen, den Satz von steiner anzuwenden???
Danke ihr beiden |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5906
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| Myon Verfasst am: 08. Dez 2018 21:11 Titel: |
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Nein, nein, keine Aufregung... Du hast oben völlig richtig gerechnet. Benutzt man den Satz von Steiner, betrachtet man eine Drehung um den Auflagepunkt. Die ganze Bewegung besteht dann aus einer Rotation um diesen momentanen Drehpunkt, es kommt keine Translationsbewegung dazu. Dieser Ansatz ist nicht falsch, aber er bietet hier keinen Vorteil.
In b) soll ja eine Energiebilanz in Abhängigkeit von z aufgestellt werden. Ich weiss nicht genau, was bei Euch darunter in der Vorlesung verstanden wurde, aber ich stelle mir vor, dass damit eine Gleichung wie
^2+\frac{1}{2}I\omega(z)^2+mgz)
gemeint ist. Die Bewegung wird als Überlagerung einer Translation des Schwerpunkts und einer Rotation um den Schwerpunkt aufgefasst, und die kinetische Energie hat einen Translations- und einen Rotationsanteil. Der Satz von Steiner wird dabei nicht benötigt. |
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caro_b
Anmeldungsdatum: 23.10.2018
Beiträge: 109
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| caro_b Verfasst am: 08. Dez 2018 21:48 Titel: |
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Energiebilanz ist zu keinem Zeitpunkt in der Vorlsung gefallen.
Ich stelle mir auch die Energieerhaltung darunter vor.
dass sich die Energie des schwerpunktes in einen Rotations und Translationsteil gliedert ist mir auch bewusst (das hatten wir auch tatsächlich so in der Vorlesung), insofern klingt mir dein Ansatz total plausibel
Allgemein haben Vorlesung und Übung aber lediglich den Namen gemeinsam und ansonsten recht wenig miteinander zu tun...
und genaugenommen soll die Energie ja in Abhängigkeit von t aufgestellt werden.
Aber was letztlich damit gemeint ist, weiß leider nur der/die/das, der/die/das die Aufgabe gestellt hat,
der/die/das aber wohl mit der Vorlesung nichts zu tun hat, und mit der Übung anscheinend nur, dass er diese mit Aufgaben versorgt...
ich habe ernsthaft schon mehrfach Punkte abgezogen bekommen für Lösungen, die ich mit dem Skript erarbeitet habe und auch korrekt sind,
die nur leider in der Musterlösung anders aufgeschrieben sind...
aber hey, :-)
wenigstens hier können sich die Leute klar ausdrücken, was sie meinen |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5875
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 09. Dez 2018 13:14 Titel: |
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Ich verstehe diese aufwändige Rechnerei nicht.
Aus
 = \frac{1}{2} \cdot (m\cdot R^{2} + I)\cdot \omega^{2} = \frac{1}{2}\cdot (m+ \frac{I}{R^{2} } )\cdot v^{2} )
)
folgt die Beschleunigung
\cdot \frac{\dd s}{\dd t} = \frac{1}{2} \cdot (m+ \frac{I}{R^{2} })\cdot 2\cdot \dot{v} \cdot v )
 }{1+ \frac{I}{m\cdot R^{2} } } )
 )
und
 =a\cdot t)
 = \frac{1}{2} \cdot a\cdot t^{2})
 = h - s(t)\cdot \sin(\varphi ) ) |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5906
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| Myon Verfasst am: 09. Dez 2018 15:12 Titel: |
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Ach Mathefix, sorry und nichts für ungut, aber offen gesagt frag' ich mich manchmal schon ein bisschen...
Mit welchem Aufgabenteil hat das denn nun zu tun? caro_b hat doch alles korrekt gelöst. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5875
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 09. Dez 2018 18:35 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Ach Mathefix, sorry und nichts für ungut, aber offen gesagt frag' ich mich manchmal schon ein bisschen...
Mit welchem Aufgabenteil hat das denn nun zu tun? caro_b hat doch alles korrekt gelöst. |
@Myon
Für eine kritische Anmerkung brauchst Du Dich nicht zu entschuldigen.
Natürlich hat caro_b richtig gerechnet.
Ich wollte nur den kompakten Lösungsweg bei der Rotation zeigen. |
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mathKL
Gast
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| mathKL Verfasst am: 25. Nov 2019 21:06 Titel: |
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Hey, caro_b.
Habe heute genau die selbe Aufgabe gestellt bekommen. Weißt du zufällig noch, was mit der Energiebilanz bei b) gemeint war?  |
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