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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
Wohnort: Bielefeld
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 navajo Verfasst am: 26. Okt 2004 16:49 Titel: Lagrange-Gleichungen am Pendel |
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Hi, ich brauch Hilfe bei folgender Aufgabe:
| Zitat: | | "Zwei Punktmassen m seien durch einen starren, gewichtslosen Stab der Länge l verbunden. Das Zentrum dieses Stabes ist an einer starren, gewichtslosen Stange der Länge a aufgehängt und kann sich nur in einer Ebene bewegen. Stellen sie die Lagrangefunktion des Problems auf und lösen sie die Beweungsgleichungen." |
Ich habe zwar einen Ansatz, allerdings kommt da Mist raus:
Ich habe erstmal  und  als verallgemeinerte Koordinaten gewählt. Mit diesen sehen die Ortsvektoren der Beiden Massen so aus:
und
(Warum tut denn pmatrix nicht?  )
Naja jedenfalls hab ich dann  und  differenziert. (Schreib ich mal nicht hier hin, sonst wirds noch zu lang und keiner mag mehr alles lesen  )
So. Nun die Lagrangefunktion haben wir eingeführt als  wobei T die kinetische Energie und V das Potential ist.
Für die kinetische Energie hab ich folgendes raus:
=ma^2\dot{\theta_1}^2+m\frac{l^2}{4}\dot{\theta_2}^2)
Und für das Potential:
Da frag ich mich jetzt ob mein Potential richtig ist, denn wenn ich daraus nun L berechne und in die Lagrangegleichung einsetze bekomme ich ja zwei Gleichungen:
Als erste Gleichung erhalte ich eine Differentialgleichung für das ist ja auch schön und gut, das kann ja auch sein, hab ich noch nicht weiter nachgerechnet.
Aber die zweite Gleichung ergibt:
Und das ist ja quatsch, dann würde ja entweder eine Konstante sein, oder sich linear mit der Zeit verändern (2mal integrieren). Das kann ja aber nicht sein, das Ding sollte ja schon ein bisschen hin und herschwingen.
Aber wo ist mein Fehler?
Schon mal viel Dank für die Hilfe 
| Beschreibung: |
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| Angeschaut: |
5628 mal |
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Meromorpher
Anmeldungsdatum: 09.03.2004
Beiträge: 388
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| Meromorpher Verfasst am: 26. Okt 2004 17:47 Titel: |
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Habs mir nicht im Detail angesehen, aber der Grund für dein "Problem" ist klar: Das Potential ist unabhängig von phi2. Bin mir nicht sicher ob das Potential so stimmt, aber reibungsfrei schwingt das Teil denke ich nicht hin und her, sondern dreht sich einfach im Kreis (gibt ja nix was beschleunigt oder bremst, das Potential bleibt in der Summe immer gleich (eine Masse geht rauf, eine runter ). Überleg dir das Potential für die "Wippe" am besten mal unabhängig von phi1, z.B. für phi1=0.
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
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| navajo Verfasst am: 26. Okt 2004 18:22 Titel: |
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| Zitat: | | Überleg dir das Potential für die "Wippe" am besten mal unabhängig von phi1, z.B. für phi1=0. |
Das witzige ist, das hab ich sogar schonmal gemacht, aber genauso falsch wie vorher. 
Jetzt hab ichs mir nochmal angeguckt: Ich glaub mein Fehler war, dass ich irgentwie ausgerechnet hab, dass sich die Potentiellen Energien der beiden Massen genau ausgleichen, aber das ist ja auch irgentwie Quatsch (Hab wohl den Potential-Nullpunkt auf den Befestigungspunkt der unteren Stange gelegt, dann hatte die untere Masse ein negatives Potential  )
Also jetzt komm ich jedenfalls, auf (für die Wippe):
(dabei ist dann das Potential 0 an der unteren Masse)
Für das Pendel guck ich mir später nochmal an, ich hab nun keine Zeit mehr, hab besuch. 
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Das Universum ist 4 Mio Jahre alt, unbewohnt und kreist um die Sonne. |
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Bruce
Anmeldungsdatum: 20.07.2004
Beiträge: 537
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| Bruce Verfasst am: 26. Okt 2004 19:46 Titel: |
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@navajo
Ich habe auch mal nachgerechnet und komme im Prinzip auf das gleiche Ergebnis
wie Du. Demnach überlagert sich die Drehbewegung der beiden Massen um ihren
Schwerpunkt ungestört der (näherungsweise) harmonischen Pendelbewegung des
Massenschwerpunktes. Wenn die beiden Massen zum Zeitpunkt t=0 mit der
Winkelgeschwindigkeit w um den Schwerpunkt rotieren, dann tun sie das
auch zu jedem späteren Zeitpunkt, während der Schwerpunkt davon unbeeinflußt
hin und her pendelt.
Jetzt merke ich langsam, warum das plausibel ist. Was würdest Du von einer
Kugel erwarten, die an der Stelle der Hantel drehbar um ihren Mittelpunkt am
Ende von a hängt oder einem beliebigen anderen starren Körper, dessen Schwerpunkt
dort drehbar gelagert ist? Richtig, genau das was die Rechnung liefert!!
Zerlege die Gesamtbewegung in eine Translation des Schwerpunktes und eine Rotation
um den Schwerpunkt, dann wird alles gut. Nur der Schwerpunkt wird durch die
Schwerkraft beschleunigt. Die Schwerkraft kann kein resultierendes Drehmoment um eine
Drehachse durch den Schwerpunkt erzeugen. Darauf kommt es an!
Gruß von Bruce
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
Wohnort: Bielefeld
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| navajo Verfasst am: 27. Okt 2004 12:56 Titel: |
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| Zitat: | navajo
Und das ist ja quatsch, dann würde ja entweder eine Konstante sein, oder sich linear mit der Zeit verändern (2mal integrieren). Das kann ja aber nicht sein, das Ding sollte ja schon ein bisschen hin und herschwingen. |
Hmpf da hat mich wohl dann mal meine Intuition getäuscht, das Ding muss ja garnicht hin und herschwingen. Die Kräfte die da anliegen gleichen sich ja alle aus. Also dreht sich das Ding nur mit konstanter Geschwindigkeit (abhängig von den Anfangsbedingungen) um den Aufhängepunkt.
| Zitat: | BruceNur der Schwerpunkt wird durch die
Schwerkraft beschleunigt. Die Schwerkraft kann kein resultierendes Drehmoment um eine
Drehachse durch den Schwerpunkt erzeugen. Darauf kommt es an! |
Jup, hab ich nun eingesehen . Damit wird die Aufgabe ja um einiges leichter, als wenn es hin und herschwingen würde.
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Bruce
Anmeldungsdatum: 20.07.2004
Beiträge: 537
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| Bruce Verfasst am: 27. Okt 2004 14:04 Titel: |
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@navajo
Falls Du auch die Hantel schwingen sehen willst, dann mußt Du nur
die Massen ungleich wählen. Dann erhälst Du ein Doppelpendel,
das wirklich nicht mehr einfach zu berechnen ist.
Gruß von Bruce
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
Wohnort: Bielefeld
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| navajo Verfasst am: 27. Okt 2004 16:06 Titel: |
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Wird eigentlich bei solchen Aufgaben erwartet, dass man die Lösung, die man in den verallgemeinterten Koordinaten ausgerechnet hat, wieder in kartesische Koordinaten zurücktransformiert?
| Zitat: | Bruce
Falls Du auch die Hantel schwingen sehen willst, dann mußt Du nur
die Massen ungleich wählen. Dann erhälst Du ein Doppelpendel,
das wirklich nicht mehr einfach zu berechnen ist. |
Meine Intuition wollte die Massenpunkte wippen lassen, wie zB Kinder auf ner Wippe. Wie müsste denn ein Pendel aussehen, dass sowas macht?
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Gast
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| Gast Verfasst am: 28. Okt 2004 22:47 Titel: |
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du bräuchtest eine feder, die eine von der auslenkung der hantel bezüglich des stabes abhängige kraft auf die hantel ausübt...
würd ich jetz einfach mal sagen
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