Trägheitstensor 3 Massepunkte

Ivanova · Anmeldungsdatum: 12.03.2018 Beiträge: 6

Meine Frage:
Hallo alle zusammen!
Ich habe etwas Schwierigkeiten mit dem Trägheitstensor, wenn es um Massepunkte geht. Und zwar habe ich die folgende Aufgabe: 3 Massepunkte, eine Masse M, liegt an der z-Achse im Abstad b vom Koordinatenursprung, und 2 gleiche Massen m die im Abstand a( bzw -a) vom Koordinatenursprung an der x-Achse liegen. Jetzt muss ich den Trägheitstensor berechnen.

Meine Ideen:
Also mit Integrieren wird es schwierig denke ich.. ich wollte einfach die Matrix aufschreiben, aber ich weiß nicht, ob ich richtig liege..
Wenn ich um die z-Achse drehe, ändern sich die Komponenten (Massepunkte) an der x-Achse. Dann z.B. ist der I_zz = 2m*2a+0 . Und eigentlich sind alle y-Komponente gleich Null, da an der y-Achse sich nichts ändert, egal wie ich rotiere, oder?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5914

Man kann sicher auch anschaulich zu überlegen versuchen, aber zuerst würde ich die Komponenten des Trägheitstensors ausrechnen, wie sie definitionsgemäss gegeben sind. Im vorliegenden Fall mit Punktmassen ergeben sich aus den Integralen einfach Summen (man würde über delta-Funktionen integrieren), und für das erste Diagonalelement ergibt sich z.B.

Dass die Elemente ausserhalb der Diagonale gleich null sind, sollte unmittelbar klar sein, da die 3 Punktmassen ja alle auf den Koordinatenachsen liegen.

Ivanova · Anmeldungsdatum: 12.03.2018 Beiträge: 6

Danke erst für die Antwort.
Also dann ist es

und

?

Beste Grüße

LaTeX-Tags ergänzt. Steffen

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5914

Ja, vollkommen richtig.

autor237 · Anmeldungsdatum: 31.08.2016 Beiträge: 509

Bei Punktmassen muss nicht unbedingt integriert werde.
Das Massenträgheitsmoment einer Punktmasse ist ja:

mit r als senkrechten Abstand zur Drehachse. Bei mehreren Punktmassen, die um die selbe Achse rotieren ist das resultierende Massenträgheitsmoment die Summe der Massenträgheitsmomente der einzelnen Punktmassen.

Bei den Deviationsmomenten läuft das dann auch über die Summe der Deviationsmomente der einzelnen Punktmassen. Da aber für das Deviationsmoment jeweils zwei Koordinaten benötigt werden (z.B.

) und alle 3 Punktmassen nur eine Koordinate haben sind alle Deviationsmomente somit gleich Null.

Ivanova · Anmeldungsdatum: 12.03.2018 Beiträge: 6

Super. Ich danke euch für die Hilfe! smile