Trägheitstensor eines Tetraeders mit Kantenlänge a

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Leider ist mir wieder ein Problem untergekommen, bei dem mir eine Kleinigkeit zur Lösung fehlt:

"Bestimmen sie den Trägheitstensor eines homogenen Tetraeders mit Kantenlänge a bei Rotation um den Schwerpunkt. Zeigen sie, dass die Nichtdiagonalelemente verschwinden und bestimmen sie die Diagonalelemente."

Meine Ideen:

Der Trägheitstensor ist definiert als

.

Das wird grob gesagt ein Volumenintegral mit

.

Im Integral steht dann für die Diagonalelemente

die anderen multiplikativen Terme

etc. werden sich weghauen aufgrund der Symmetrie, wie in der Aufgabe beschrieben beziehungsweise sie Verschwinden beim Diagonalisieren.
Nach Diagonalisieren der Matrix und Eigenwerte und Eigenvektoren finden sollte
auf der Diagonale dreimal a^2 /20 stehen.

ist das Kroneckerdelta für die Diagonale.

Mein Problem:

Ich brauche eine Parametrisierung des Tetraeders, also die Integralgrenzen, aber ich weiss nicht, wie die aussehen sollen.
Man kann den Schwerpunkt des Tetraeders in den Ursprung des Koordinatensystems setzen, dann wird es eventuell einfacher. Trotzdem weiss ich nicht, wie die Parametrisierung aussehen soll. Ich hoffe, da kann mir jemand weiterhelfen.

NaCl · Anmeldungsdatum: 24.11.2010 Beiträge: 23

Hallo yellowfur,

es gibt einen Würfel, der einen Tetraeder so umschließt, dass die Ecken auch Würfelecken sind und die Kanten auf den Seiten des Würfels liegen.

Wenn Du den Würfels in den ersten Quadranten legst wären das z. B. die Eckpunkte:
{(0,0,0), (0,b,0),(0,b,b),(b,0,b)}
b: Seitenlänge des Würfels

Die Integration über das Tetraedervolumen ist dann (nach etwas Meditation über die Abhängigkeiten von x,y,z):

Den Ursprung im Mittelpunkt des Würfels zu haben, ist natürlich geschickter. Und dann noch b durch a ausdrücken...
Aber das kannst Du, oder?

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Das ist genial. Damit müsste es klappen. Ich hab mal eine Zeichnung davon gemacht, wie der Tetraeder dann im Würfel liegen müsste:

http://www.physikerboard.de/files/picture0001_411.jpg

Die Integrale, die du mir für die Parametrisierung des Tetraeders gegeben hast, habe ich schonmal gesehen...
Jedenfalls habe ich mir überlegt, dass ich den Würfel für die Verschiebung in den Mittelpunkt in jede Koordinatenrichtung um b/2 verschieben müsste, deswegen sieht mein Dreifachintegral so aus:

Wenn ich b ersetzen will, suche ich mir eine Diagonale (die ja a ist auf der Seitenfläche des Würfels) und ich finde mit Pythagoras, dass

Dann müsste ich das so entstehende Integral lösen, oder?
Oder ist da noch irgendwo ein Fehler?

NaCl · Anmeldungsdatum: 24.11.2010 Beiträge: 23

sieht prima aus :-)
Und die Funktion, über die Du integrieren willst musst Du noch einsetzen. Du willst ja nicht nur das Volumen berechnen.

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Ich habe das jetzt mit Maple versucht auszurechen. Dann kamen aber komische Werte raus. Also habe ich erstmal die Funktion 1 in das Dreifachintegral eingesetzt, um zu prüfen, ob das Volumen überhaupt rauskommt und das tat es nicht....
Jedenfalls sieht mein "Testintegral" so aus:

Ich löse sie in der Reihenfolge dz ->dy-> dx von innen nach aussen auf, aber statt der erwarteten

(Tetraedervolumen) erhalte ich

Irgendetwas kann so noch nicht stimmen ...

NaCl · Anmeldungsdatum: 24.11.2010 Beiträge: 23

Sorry, ich bin gerade aus privaten Gründne nicht in der Lage genauer drauf zu schauen. Sieht auf den ersten Blick eigentlich gut aus. Dein Vorgehen erst das Volumen zu beweisen, finde ich gut.

NaCl · Anmeldungsdatum: 24.11.2010 Beiträge: 23

Okay, bin wieder dabei. Du verschiebst die Parameter nicht korrekt.
Die Substitution wäre wohl eher so was:

und dann

Ich bin jetzt zu faul das zu rechnen, aber an so etwas wird es liegen...