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gnt
Gast
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 gnt Verfasst am: 18. Aug 2017 09:45 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Wie kommst du auf die Form für  ? Das widerspricht doch klar der Formel, die du gestern noch aus dem Weinberg zitiert hast. |
Meinst Du 4.2.3:
\Phi_{q_1 q_2 ... q_N}=\sum_{r=1}^{N} (\pm)^{r+1}\delta(q-q_r)\Phi_{q_1...q_{r-1}q_{r+1}...q_N})
?
Ich sehe leider nicht, wie in dieser Formel das Annihilieren eines Teilchens erfolgt - kann sein, dass ich das falsch lese. Ich mache ein einfaches Beispiel für Bosonen, dann fällt das +- weg, und ich nehme nur 3 Teilchen, und nehme an, dass links a(q2) steht, dann ist doch die rechte Seite:
Hier wird doch nicht ein bestimmter Zustand durch eine Operation verändert, sondern lediglich aus der Menge aller bekannten Zustände der richtige "selektiert".
Du hattest ja auch oben geschrieben, dass die Annihilation durch Skalarproduktbildung geschieht. Dann müsste doch so etwas (plus die korrekte Vorzeichenbehandlung) richtig sein:
=Vorzeichenbehandlung...<q_2|)
 |q_1>|q_2>|q_3> = <q_2| |q_1>|q_2>|q_3> = 1*|q_1>|q_3>)
So hatte ich das verstanden.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
Weinberg fasst mit q die Teilchenart, den Impuls und den Spin zusammen. Ich hätte auch schreiben können:
|0>)
Aber damit sage ich doch eigentlich auch nur, welche Variablen in einer bestimmten Formel welchen Wert bekommen sollen.
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Solange diese Variablen den zu erzeugenden Zustand vollständig beschreiben, wüßte ich nicht, was dir ein "Erzeugungsoperator" sonst noch sagen sollte. Wenn es darum geht die angeblich fehlende Information zu beschreiben, bist du immer recht unkonkret. |
Mir fehlt keine Information. In meinem Beispiel oben ist m.M.n. alles angegeben. Das ist jedoch nur so als würde ich schreiben: "Einheitskreis um den Koordinatenursprung". Eine solche Beschreibung ist aber etwas anders als eine Formel mit der man rechnen kann: "x²+y²=1".
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Übrigens, was soll das "v={0,0, 1/2}" hier eigentlich bedeuten? |
Nur eine beispielhafte Geschwindigkeit, hier in z-Richtung. Aber diese Zahlenwerte ändern nichts an der Struktur der Formel - um die Struktur geht es mir ja gerade. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 18. Aug 2017 10:08 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Wie kommst du auf die Form für ? Das widerspricht doch klar der Formel, die du gestern noch aus dem Weinberg zitiert hast. |
Meinst Du 4.2.3:
?
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Ja, die meine ich.
| Zitat: |
Ich sehe leider nicht, wie in dieser Formel das Annihilieren eines Teilchens erfolgt - kann sein, dass ich das falsch lese. Ich mache ein einfaches Beispiel für Bosonen, dann fällt das +- weg, und ich nehme nur 3 Teilchen, und nehme an, dass links a(q2) steht, dann ist doch die rechte Seite:
Hier wird doch nicht ein bestimmter Zustand durch eine Operation verändert, sondern lediglich aus der Menge aller bekannten Zustände der richtige "selektiert".
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Natürlich wird der Zustand verändert. Die vollständige Gleichung lautet
Aus einem Drei-Bosonenzustand wird ein Zwei-Bosonen-Zustand. Rechts fehlt genau das Boson im Zustand  . Das ist genau die Art von Änderung, die man von der Wirkung eines Vernichtungsoperators erwarten würde.
| Zitat: |
Du hattest ja auch oben geschrieben, dass die Annihilation durch Skalarproduktbildung geschieht. Dann müsste doch so etwas (plus die korrekte Vorzeichenbehandlung) richtig sein:
So hatte ich das verstanden.
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Ok, jetzt verstehe ich, wie es gemeint war. Es stimmt so ungefähr. Schreiben wir es mal wieder vollständig hin. Für einen 3-Bosonen-Zustand ist das ja nicht schwer. Da steht dann:
Wenn nun alle  paarweise orthogonal sind, dann bleibt nur der mittlere Term übrig, weil  . Also steht da genau dieselbe Formel wie oben in einer anderen Notation.
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Solange diese Variablen den zu erzeugenden Zustand vollständig beschreiben, wüßte ich nicht, was dir ein "Erzeugungsoperator" sonst noch sagen sollte. Wenn es darum geht die angeblich fehlende Information zu beschreiben, bist du immer recht unkonkret. |
Mir fehlt keine Information. In meinem Beispiel oben ist m.M.n. alles angegeben. Das ist jedoch nur so als würde ich schreiben: "Einheitskreis um den Koordinatenursprung". Eine solche Beschreibung ist aber etwas anders als eine Formel mit der man rechnen kann: "x²+y²=1".
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Das stimmt eben einfach nicht. Die Gleichung
z.B. ist wie  : eine Beziehung zwischen Vektoren und Operatoren, d.h. mathematischen Objekten, mit denen man rechnen kann. Aus den Rechenregeln für diese Objekte folgen ja genau die Feynman-Regeln. |
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gnt
Gast
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| gnt Verfasst am: 18. Aug 2017 10:47 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
Ich sehe leider nicht, wie in dieser Formel das Annihilieren eines Teilchens erfolgt - kann sein, dass ich das falsch lese. Ich mache ein einfaches Beispiel für Bosonen, dann fällt das +- weg, und ich nehme nur 3 Teilchen, und nehme an, dass links a(q2) steht, dann ist doch die rechte Seite:
Hier wird doch nicht ein bestimmter Zustand durch eine Operation verändert, sondern lediglich aus der Menge aller bekannten Zustände der richtige "selektiert".
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Natürlich wird der Zustand verändert. Die vollständige Gleichung lautet
Aus einem Drei-Bosonenzustand wird ein Zwei-Bosonen-Zustand. Rechts fehlt genau das Boson im Zustand . Das ist genau die Art von Änderung, die man von der Wirkung eines Vernichtungsoperators erwarten würde.
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Ja, nur dass Weinberg sich in seiner Formel auf die Vorzeichenbehandlung beschränkt. Das Eliminieren von q2 erklärt er an dieser Stelle nicht. Er nimmt einfach an, dass man weiss, dass das über das Skalarprodukt geschieht.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Solange diese Variablen den zu erzeugenden Zustand vollständig beschreiben, wüßte ich nicht, was dir ein "Erzeugungsoperator" sonst noch sagen sollte. Wenn es darum geht die angeblich fehlende Information zu beschreiben, bist du immer recht unkonkret. |
Mir fehlt keine Information. In meinem Beispiel oben ist m.M.n. alles angegeben. Das ist jedoch nur so als würde ich schreiben: "Einheitskreis um den Koordinatenursprung". Eine solche Beschreibung ist aber etwas anders als eine Formel mit der man rechnen kann: "x²+y²=1".
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Das stimmt eben einfach nicht. Die Gleichung
z.B. ist wie : eine Beziehung zwischen Vektoren und Operatoren, d.h. mathematischen Objekten, mit denen man rechnen kann. Aus den Rechenregeln für diese Objekte folgen ja genau die Feynman-Regeln. |
Bisher hatte ich die Bra-Ket-Notation so verstanden, dass man bestimmte Umformungen und Vereinfachungen vornehmen kann, man aber um konkrete Ergebnisse erhalten zu können, eine Darstellung wählen muss.
Ich weiss leider nicht, wie das in der QFT bzgl. des Fockraums ist. Ist es hier nicht, wie in der nicht-relativistischen QM, wo man erst einen Hilbertraum für einen bestimmten Hamilton-Operator konstruiert? Wobei man ja in der QED keine Wahl bzgl. der Form von H hat...  |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 18. Aug 2017 12:40 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: |
Ja, nur dass Weinberg sich in seiner Formel auf die Vorzeichenbehandlung beschränkt. Das Eliminieren von q2 erklärt er an dieser Stelle nicht. Er nimmt einfach an, dass man weiss, dass das über das Skalarprodukt geschieht.
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Nein, das stimmt doch nicht. Unmittelbar hinter Gl. (4.2.3) wird das explizit vorgerechnet, beginnend mit "Here is the proof..." Dabei wird die Formel (4.1.7) für das Skalarprodukt zwischen beliebigen n-Teilchenzuständen benutzt. Es wird von Anfang an nur mit orthonormierten Zuständen gerechnet. Deswegen sind alle auftretenden Skalarprodukte ) .
Hier bestätigt sich erneut die Erfahrung, von der jh8979 gesprochen hat: Das Problem ist nicht, was im Weinberg steht, sondern was man davon versteht.
Und wieder haben deine Schwierigkeiten m.E. nichts speziell mit der QFT zu tun. Vielleicht mußt du dein Verständnis der quantenmechanischen Beschreibung identischer Teilchen vertiefen.
| Zitat: |
Bisher hatte ich die Bra-Ket-Notation so verstanden, dass man bestimmte Umformungen und Vereinfachungen vornehmen kann, man aber um konkrete Ergebnisse erhalten zu können, eine Darstellung wählen muss.
Ich weiss leider nicht, wie das in der QFT bzgl. des Fockraums ist.
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Nein, es ist eher umgekehrt. Konkrete Ergebnisse sind unabhängig von der Darstellung. Genau deshalb funktioniert die Bra-Ket-Notation. Es ist lediglich eine Ausdrucksweise, die von jeglichen unwichtigen, darstellungsabhängigen Details befreit ist. Das ist genauso wie mit der abstrakten Vektoralgebra in der analytischen Geometrie. Wenn du ein kartesisches Koordinatensystem (Darstellung) wählst, kannst du z.B schreiben
Die rechte Seite ist nicht "konkreter" als die linke, sie enthält nur mehr Terme und Zahlen, statt Vektoren. Wie konkret dieses Ergebnis ist, hängt nur davon ab, welche Information, du über das Problem hast. Wenn du zufällig alle Skalarprodukte  und  kennst, erscheint dir die rechte Seite konkreter. Wenn du stattdessen die Längen von  und  und ihren eingeschlossenen Winkel kennst, brauchst du die rechte Seite nicht und die linke ist konkret genug. (Wenn du nichts weiter als die erwähnten Längen und den Winkel kennst, ist die rechte Seite sogar eigentlich weniger konkret, als sie linke.)
| Zitat: |
Ist es hier nicht, wie in der nicht-relativistischen QM, wo man erst einen Hilbertraum für einen bestimmten Hamilton-Operator konstruiert? Wobei man ja in der QED keine Wahl bzgl. der Form von H hat... ?( |
Wie gesagt, die speziellere Form des Hamilton-Operators in der QFT ist der einzige hier wirklich relevante Unterschied zur nicht-relativistischen Quantenmechanik. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 18. Aug 2017 14:26 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Wie gesagt, die speziellere Form des Hamilton-Operators in der QFT ist der einzige hier wirklich relevante Unterschied zur nicht-relativistischen Quantenmechanik. |
Aslo das wuerde ich jetzt nicht unterschreiben. Da gibt es doch viel wesentlichere Unterschiede zwischen QFT und nicht-rel QM. Aber vllt meinst Du was anderes.
Ansonsten weiss ich ehrlich gesgat nicht wohin das ganze hier fuehren soll. Wir diskutieren hier seit Tagen ueber eine sehr einfache Definition, die noch nichtmal was neues in der QFT ist, weil Auf- und Absteigeoperatoren schon beim harmonischen Oszillaotr in der QM vorkommen. Ich denke ehrlich gesagt nicht, dass man so QFT lernt... |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 18. Aug 2017 14:44 Titel: |
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Ich meine tatsächlich nur den Kontext dieser Diskussion. Obwohl ich denke, daß meine Aussage auch deutlich darüber hinaus gültig bleibt. Meine Vermutung ist jedenfalls schon länger, daß gnt's Schwierigkeiten eigentlich gar nichts mit der QFT zu tun haben. Erzeuger und Vernichter funktionieren genau so wie in der nicht-relativistischen QM.
Wohin das hier führt, weiß ich nicht. Ein bißchen lernt man ja auch durch Wiederholung und Gewöhnung an das Unbekannte. Vielleicht hilft das gnt ja hier auch ein bißchen. Außerdem kann man ihm nur noch weitere Lektüre empfehlen, aber das haben wir ja schon getan. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18116
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| TomS Verfasst am: 18. Aug 2017 15:26 Titel: |
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Ich plädiere für einen Neustart, wobei zuerst eine gesicherte Absprungbasis bekannt sein muss.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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gnt
Gast
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| gnt Verfasst am: 18. Aug 2017 15:53 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | gnt hat Folgendes geschrieben: |
Ja, nur dass Weinberg sich in seiner Formel auf die Vorzeichenbehandlung beschränkt. Das Eliminieren von q2 erklärt er an dieser Stelle nicht. Er nimmt einfach an, dass man weiss, dass das über das Skalarprodukt geschieht.
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Nein, das stimmt doch nicht. Unmittelbar hinter Gl. (4.2.3) wird das explizit vorgerechnet, beginnend mit "Here is the proof..." Dabei wird die Formel (4.1.7) für das Skalarprodukt zwischen beliebigen n-Teilchenzuständen benutzt. Es wird von Anfang an nur mit orthonormierten Zuständen gerechnet. Deswegen sind alle auftretenden Skalarprodukte . |
Du hast recht! Das war mein Problem. Ich habe immer nach dem "fehlenden"  gesucht.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
Bisher hatte ich die Bra-Ket-Notation so verstanden, dass man bestimmte Umformungen und Vereinfachungen vornehmen kann, man aber um konkrete Ergebnisse erhalten zu können, eine Darstellung wählen muss.
Ich weiss leider nicht, wie das in der QFT bzgl. des Fockraums ist.
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Nein, es ist eher umgekehrt. Konkrete Ergebnisse sind unabhängig von der Darstellung. Genau deshalb funktioniert die Bra-Ket-Notation. Es ist lediglich eine Ausdrucksweise, die von jeglichen unwichtigen, darstellungsabhängigen Details befreit ist. |
Danke! Ich denke, das werde ich noch besser verstehen lernen. |
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gnt
Gast
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| gnt Verfasst am: 18. Aug 2017 16:00 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich plädiere für einen Neustart, ... |
Sehr gerne!
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | ...wobei zuerst eine gesicherte Absprungbasis bekannt sein muss. |
Einen Startpunkt für die Erklärung? - Ich weiss nicht, was da am sinnvollsten sein könnte. Meine Grundlage sind ein paar Bruchstücke aus dem Weinberg, das was Du mir in dem anderen Thread erklärt hast, und die Dirac-Gleichung und Dirac-Spinoren, die habe ich mir genauer angesehen. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 18. Aug 2017 16:12 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: | | ? - Ich weiss nicht, was da am sinnvollsten sein könnte. |
Mein (wiederholter) Vorschlag. Buchwechsel. Weinberg ist zu schwer zum Selberlernen.
Stattdessen: Pesking & Schöder, Kapitel 2,3,4 und 5. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18116
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| TomS Verfasst am: 18. Aug 2017 16:43 Titel: |
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Ich kenne das Buch nicht, aber sollte man nicht evtl. mit der Klein-Gordon-Gleichung starten? Weil die Algebra einfacher ist? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 18. Aug 2017 20:03 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich kenne das Buch nicht, aber sollte man nicht evtl. mit der Klein-Gordon-Gleichung starten? Weil die Algebra einfacher ist? |
Macht Peskin  der erste Teil der Buches ist wirklich nur zum Lernen wie man zu Feynmandiagrammen kommt und wie man damit rechnet. Konzeptionell nicht so rigoros und ungewöhnlich wie Weinberg, aber leichter verständlich und nicht falsch (d.h. sie schludern nur da, wo sie wissen, dass sie schludern dürfen  ).
Kap. 2: Klein-Gordon-Feld
Kap. 3: Dirac-Feld
Kap. 4: Wechselwirkende Felder und Feynman-Diagramme
Kap. 5: Einfache QED-Prozesse ausrechnen (Elektron-Muon-Streuung, Compton,..)
Das ist immer noch schwer genug, wenn man es sich selber nur durch lesen aneignen will, aber machbarer als beim Weinberg, weil das Buch den Fokus am Anfang auf das Berechneten einfacher Prozesse legt und der Zugang dem entspricht was man als Physiker naiv machen würde, wenn einem einer sagt: Quantisieren mal das Klein-Gordon-Feld oder das Dirac-Feld.
Plus: Notation ist weniger gewöhnungsbedurftig als im Weinberg (auch wenn diese im Laufe der Zeit immer mehr Sinn ergibt ) und es sind gute Übungsaufgaben enthalten (die gnt dann auch machen sollte, nur so lernt man schliesslich). |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18116
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| TomS Verfasst am: 19. Aug 2017 09:36 Titel: |
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Ich denke, dass hier zwei Probleme vermischt werden, nämlich der Übergang von der Punktmechanik zur Feldtheorie sowie die Quantisierung. Man muss diese beiden Probleme sauber trennen.
M.E. sollte man dazu im Rahmen der QM zunächst den Übergang von der Wellenfunktion zum abstrakten Hilbertraum durchführen und auf dieser Basis die Quantisierung nochmal grundlegend verstehen. Anschließend sollte man den Übergang zur Quantenfeldtheorie durchführen, d.h. das Konzept der Feldoperatoren verstehen. Der Vorteil dieser Vorgehensweise ist, dass man am Begriff des Zustandes unverändert festhalten kann.
Ich würde dazu auch gerne in den FAQs schreiben, bin jetzt jedoch erst mal zwei Wochen auf Föhr im Urlaub und daher im wesentlichen offline.
Ihr könnt hier natürlich gerne weiterdiskutieren, aber behaltet mal meine Idee im Hinterkopf. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18116
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| TomS Verfasst am: 19. Aug 2017 13:22 Titel: |
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Die Idee ist recht einfach.
Anstelle der Schrödingergleichung in x-Darstellung für die Wellenfunktion und dem Hamiltonoperator H
 = \langle x|\psi\rangle )
\,\psi(x))
betrachtet man den abstrakten Hilbertraum, wobei der Hamiltonoperator formal mittels der Operatoren x und p notiert wird und auf bra' und kets's wirkt.
\,|\psi\rangle)
Für mehrere Teilchen mit Index n = 1..N führt das auf
\,|\psi\rangle)
Nun ist der Übergang zur Quantenfeldtheorie formal recht einfach. Insbs. erkennt man, dass im Folgenden die Feldoperatoren phi nichts mit der Wellenfunktion oder dem Zustand psi zu tun haben (ich verwende ein phi für die Feldoperatoren wie für die Klein-Gordon-Gleichung; im Falle der Dirac-Gleichung schreibt man wieder psi, was zur Verwirrung führt, wenn psi auch den Zustand bezeichnet; im Falle des Photonfeldes löst sich die Verwirrung, da hier für die Feldoperatoren A verwendet wird).
\,|\psi\rangle)
pi ist das kanonisch konjugierte Feld, das man jeweils anhand der Lagrangedichte ermitteln muss. x ist nun ein "kontinuierlicher Index, so wie das i im Falle der n Teilchen. Ich schreibe das explizit als Index und nicht als Argument einer Funktion, um die Entsprechung zu zeigen.
Das ist die grobe Idee für den formalen Rahmen. Vieles andere ist dann "nur" Algebra. Z.B. ist die Einführung der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren letztlich nur eine andere algebraische Darstellung der Feldoperatoren phi und pi.
Man beachte, dass die Feldoperatoren für die freien Quantenfelder formal eine Gleichung lösen, die der eines freien Feldes entspricht. Z.B. sieht die Gleichung für die Feldoperatoren der freien skalaren Quantenfeldtheorie so aus wie die Klein-Gordon-Gleichung für das freie Skalarfeld. Nur bedeutet sie eben etwas anderes: Während in der klassischen Feldtheorie sowie in der Wellenfunktion der Quantenmechanik in Ortsdarstellung der Zustand des Systems im Feld bzw. der Wellenfunktion kodiert ist, wird im Rahmen der Quantenfeldtheorie sowie in der Quantenmechanik in abstrakter bra-ket-Notation der Zustand im Zustandsvektor kodiert. Operatoren x und p in der Quantenmechanik sowie Feldoperatoren phi in der Quantenfeldtheorie tragen keine Zustandsinformation.
Nun kann man sich der Reihe nach die Hamiltonoperatoren für die verschiedenen Felder anschauen: freies Skalarfeld, freies Dirac-Feld, freies elektromagnetisches Feld, wechselwirkende Felder. |
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gnt
Gast
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| gnt Verfasst am: 19. Aug 2017 15:16 Titel: |
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Vielen Dank für die Erklärung, Tom!
Das hat mich tatsächlich von einer Verwirrung befreit.
Trotzdem verstehe ich an dem Punkt etwas noch nicht.
Ich habe inzwischen auch Kapitel 2 in Peskin und Schröder gelesen.
Bisher dachte ich, dass  ein Teilchen erzeugt, also ein ein-Teilchen-Zustand so im Vakuum erzeugt wird:  . Und ich dachte tatsächlich fälschlicherweise, phi sei ein Zustand.
Jetzt lese ich in P&S (2.41):
|0\rangle=\int\frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_p}e^{-i p x}|p\rangle)
und das solle aus Gleichung 2.25 folgen:
=\int\frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}(a_p e^{i p x}+a_p^\dagger e^{-i p x}))
Letzteres ist ja das Analogon zu Weinbergs Formel für die Dirac-Gleichung.
Wie kommt es, dass P&S hier offenbar den  -Term fallen lassen, und dann damit statt mit ein Teilchen erzeugen können? - Fehlt mir da die Definition eines Kommutators, die des Vakuums...? Oder gilt hier einfach, dass die Lösung der Bewegungsgleichung, also der Feldoperator die Summe aus Erzeuger und Vernichter ist? Aber dann wäre ja das ) in 2.41 eigentlich falsch.
In 2.42 sieht das wieder ganz anders aus:
|p\rangle=\langle0|\int\frac{d^3 p'}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{p'}}}(a_{p'} e^{i p' x}+a_{p'}^\dagger e^{-i p' x})\sqrt{2E_p}a_p^\dagger|0\rangle)
Hier wird offenbar doch mit  und einem Faktor  das Teilchen erzeugt.
Was sehe ich falsch? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 19. Aug 2017 16:33 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: |
Jetzt lese ich in P&S (2.41):
und das solle aus Gleichung 2.25 folgen:
Letzteres ist ja das Analogon zu Weinbergs Formel für die Dirac-Gleichung.
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Das folgt mithilfe der Gleichung im Text zwei Zeilen unter (2.32) und mit Gleichung (2.35). Die Zwischenschritte sind trivial, daher hat P&S die weggelassen. Wenn Du das nicht trivial findest, dann musst Du Dir das alles mal ordentlich aufschreiben, anders lernt man es naemlich nicht. (Man beachte auch den Hinweis von P&S unter Gleichung (2.30).) |
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gnt
Gast
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| gnt Verfasst am: 19. Aug 2017 17:02 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Das folgt mithilfe der Gleichung im Text zwei Zeilen unter (2.32) und mit Gleichung (2.35). Die Zwischenschritte sind trivial, daher hat P&S die weggelassen. |
Ja, stimmt. Diese beiden Definitionen habe ich dabei fahrlässig völlig ignoriert. Danke! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 19. Aug 2017 17:07 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Das ist die grobe Idee für den formalen Rahmen. Vieles andere ist dann "nur" Algebra. Z.B. ist die Einführung der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren letztlich nur eine andere algebraische Darstellung der Feldoperatoren phi und pi.
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Das ist eine schoene Beschreibung wie man es meist lernt (und wie es Peskin auch macht) und wie wir es ja jetzt auch hier weiter besprechen wollen um "Rechnen mit einer QFT" zu lernen. Aber einen kleinen Einwurf moechte ich von der konzeptionellen Seite doch machen denn es ist alles andere als klar wieso man die Felder quantisieren sollte.
Der tiefere Grund, wieso man Vernichtungs- und Erzeigungsoperatoren braucht, ist, weil man sonst Lorentzinvarianz und Cluster-Decomposition (~ weit entfernte Experimente beinflussen einander nicht) nicht gleichzeitig erfüllen kann.
| Weinberg, Vol. I, Anfang Kapitel 4 hat Folgendes geschrieben: |
However, there is a deeper reason for constructing the Hamiltonian out of creations and annihilation operators, which goes beyond the need to quantize any pre-existing field theory like electrodynamics, and has nothing to do with wether particles can actually be produced or destroyed. The great advantage of this formalism is that if we expredd the Hamiltonian as a sum of products of creation and annihilation operators, with suitable non-singular coefficients, then the S-matrix will automatically satisfy a crucial physikal requirement, the cluster decomposition priciple, which says in effect that distant experiments yield uncorrelated results. Indeed, it is foe this reason that the formalism of creation and annihilation operators is widely used in non-relativistic quantum statistical mechanis, where the number of particles is typically fixed. In relativistic quantum theories, the cluster decomposition principle plays a crucial part in making field theory inevitable.
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(Aber das nur als kleiner Exkurs und nur fuer diejenigen hier die QFT schon beherrschen ) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18116
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| TomS Verfasst am: 19. Aug 2017 17:20 Titel: |
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Guter Punkt, jedoch nicht ganz unproblematisch.
Es ist nicht klar, dass der Hilbertraum der wechselwirkenden Theorie mit dem dem Fockraum der freien Theorie identisch sein muss. Wäre er aber gem. der o.g. Konstruktion.
D.h. nun nicht, dass man nicht mit Erzeugern und Vernichtern arbeiten kann, aber es müssen nicht zwingend die der freien Theirie sein.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 19. Aug 2017 17:49 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Guter Punkt, jedoch nicht ganz unproblematisch.
Es ist nicht klar, dass der Hilbertraum der wechselwirkenden Theorie mit dem dem Fockraum der freien Theorie identisch sein muss. Wäre er aber gem. der o.g. Konstruktion.
D.h. nun nicht, dass man nicht mit Erzeugern und Vernichtern arbeiten kann, aber es müssen nicht zwingend die der freien Theirie sein. |
Zumindeest in der Streutheorie ist mir der erste Punkt glaub ich egal und man sollte die der freien Theorie nehmen, da ich meine In/Out-States auf den freien Teilchen definiere.
Im allgemeinen können es aber sicherlich auch andere Erzeuger/Vernichter sein (es interessieren ja nur die CCR), die dem Problem angemessen sind. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18116
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| TomS Verfasst am: 19. Aug 2017 19:13 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Zumindeest in der Streutheorie ist mir der erste Punkt glaub ich egal und man sollte die der freien Theorie nehmen, da ich meine In/Out-States auf den freien Teilchen definiere. |
Ja.
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Im allgemeinen können es aber sicherlich auch andere Erzeuger/Vernichter sein (es interessieren ja nur die CCR), die dem Problem angemessen sind. |
Evtl. müssen es andere sein.
Ich kann mich (sehr dunkel) erinnern, dass topologisch nicht-triviale Eichfelder "dressed" fermionische Felder induzieren und damit eine nicht-triviale Phase in deren ebenen Wellen entsteht. Die Hilberträume sind nicht mehr unitär äquivalent. |
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gnt
Gast
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| gnt Verfasst am: 21. Aug 2017 16:32 Titel: |
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Mir ist noch nicht klar, wie man von der Erzeugung eines Teilchens mittels phi(x)|0> zu mehreren Teilchen kommt. Nur eine weitere Anwendung von phi(x) kann es ja nicht sein.
Ich dachte ja bis vor kurzem, dass eine explizite Form hätte, und dann wäre  die Erzeugung mehrerer Teilchen, aber jetzt tendiere ich eher dazu, Einteilchenzustände zusammenzufassen, also
|0\rangle\, \otimes\, \phi(x_1)|0\rangle=\int\frac{d^3 p_2}{(2\pi)^3}\frac{1}{2 E_{p_2}}e^{-i p_2 x_2} \int\frac{d^3 p_1}{(2\pi)^3}\frac{1}{2 E_{p_1}}e^{-i p_1 x_1}|p_2,p_1\rangle)
Wie erzeugt man mehrere Teilchen richtig? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 21. Aug 2017 17:19 Titel: |
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Lies Dir nochmal die beiden Absätze unter (2.33) und den Rest von Seite 24 ab "Finally, let us consider..." durch. Das sollte helfen. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 21. Aug 2017 17:34 Titel: |
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PS: Zur weiteten Klarstellung:
Hier geht es nicht um die Frage "Wie erzeuge ich zwei Teilchen?", sondern um die Frage "Wie interpretiere ich  und  \phi(x) \left|0\right>) und was meine ich, wenn ich von 'Teilchen' spreche?".
Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 21. Aug 2017 18:02, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 21. Aug 2017 17:59 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: | Mir ist noch nicht klar, wie man von der Erzeugung eines Teilchens mittels phi(x)|0> zu mehreren Teilchen kommt. Nur eine weitere Anwendung von phi(x) kann es ja nicht sein.
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phi(x) ist kein Erzeugungsoperator. Nur die "positiven Frequenzanteile"
(proportional zu  ) erzeugen Teilchen, die negativen Frequenzanteile vernichten die zugehörgen Antiteilchen.
Mehrteilchenzustände kann man also durch wiederholtes Anwenden von
 = \int \frac{\dd^3 p}{2 \sqrt{\pi^3 p^0}} e^{ipx}a^\dagger_{p})
auf den Vakuumzustand erhalten, z.B.
\phi^+(x)|0\rangle = |y,x\rangle)
(Allerdings bedeutet das nicht, daß man zwei Teilchen an scharf definierten Orten x,y erzeugt hat.)
| Zitat: |
Ich dachte ja bis vor kurzem, dass eine explizite Form hätte, und dann wäre die Erzeugung mehrerer Teilchen,
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Das ist auch so.
| Zitat: |
aber jetzt tendiere ich eher dazu, Einteilchenzustände zusammenzufassen, also
Wie erzeugt man mehrere Teilchen richtig? |
Das was da links steht ist m.E. kein Zweiteilchenzustand, weil die Symmetrisierung fehlt.
Zuletzt bearbeitet von index_razor am 21. Aug 2017 21:09, insgesamt einmal bearbeitet |
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gnt
Gast
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| gnt Verfasst am: 21. Aug 2017 18:17 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Lies Dir nochmal die beiden Absätze unter (2.33) und den Rest von Seite 24 ab "Finally, let us consider..." durch. Das sollte helfen. |
Danke, aber das hilft mir leider nicht.
Ich verstehe es so, dass ein Teilchen mit Impuls p erzeugt, das jedoch nicht lokalisiert ist - eine ebene Welle im Raum. Und dass |0\rangle) durch die Superposition des Impuls-Wellenpakets ein Teilchen erzeugt, das am Ort x lokalisiert ist, wobei: Dieses ist nicht scharf, sondern hat eine impulsabhängige "Standardbreite" - Ist das richtig?
Das einzige was mir sonst noch als Ergebnis als möglich erscheint, ist eine additive Überlagerung:
^3}\frac{1}{2 E_{p}}\left(e^{-i p x_2}+e^{-i p x_1}\right)|p\rangle)
Bin ich damit näher dran? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 21. Aug 2017 18:25 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: |
Ich verstehe es so, dass ein Teilchen mit Impuls p erzeugt, das jedoch nicht lokalisiert ist - eine ebene Welle im Raum. Und dass durch die Superposition des Impuls-Wellenpakets ein Teilchen erzeugt, das am Ort x lokalisiert ist, wobei: Dieses ist nicht scharf, sondern hat eine impulsabhängige "Standardbreite" - Ist das richtig? |
Ja. Weil  die Eigenschaften hat. die ein "Teilchen mit Impuls p" haben sollte (z.B. Hat Impuls p, Energie E gegeben durch relativistische Energie-Impuls-Beziehung), sagen wir per Definition  erzeugt ein "Teilchen mit Impuls p"
Analog für "Teilchen am Ort x":  \left| 0 \right>) ist im nichtrelativistischen Limit gerade  . Daher sagen wir per Definition erzeugt ein "Teilchen am Ort x".
Dies sind Definitionen was wir mit "Teilchen mit Impuls p" und "Teilchen am Ort x" meinen.
Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 21. Aug 2017 18:27, insgesamt einmal bearbeitet |
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gnt
Gast
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| gnt Verfasst am: 21. Aug 2017 18:27 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | phi(x) ist kein Erzeugungsoperator. Nur die "positiven Frequenzanteile"
(proportional zu ) erzeugen Teilchen, die negativen Frequenzanteile vernichten die zugehörgen Antiteilchen. |
Danke!
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Mehrteilchenzustände kann man also durch wiederholtes Anwenden von
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Ist der Nenner richtig oder vertippt? Das sieht hier in P&S anders aus.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
auf den Vakuumzustand erhalten, z.B.
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Gut, danke, dann funktioniert das demnach mit also nur auf dem Vakuum. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 21. Aug 2017 18:32 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Mehrteilchenzustände kann man also durch wiederholtes Anwenden von
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Ist der Nenner richtig oder vertippt? Das sieht hier in P&S anders aus.
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Vertippt... |
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gnt
Gast
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| gnt Verfasst am: 21. Aug 2017 18:38 Titel: |
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Danke!
Dann bin ich wieder beim Lesen... |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 21. Aug 2017 20:41 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | gnt hat Folgendes geschrieben: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Mehrteilchenzustände kann man also durch wiederholtes Anwenden von
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Ist der Nenner richtig oder vertippt? Das sieht hier in P&S anders aus.
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Vertippt... |
Huch, in der Tat. Der Faktor vor der e-Funktion müßte lauten
gnt, bei dir fehlte auch die Wurzel über dem  . |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 21. Aug 2017 21:03 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Huch, in der Tat. Der Faktor vor der e-Funktion müßte lauten
gnt, bei dir fehlte auch die Wurzel über dem . |
Bevor die nächste Frage kommt:
P&S haben andere Konventionen wo die 2*pi hinkommen. Bei P&S steht immer ein dp/(2*pi) pro Dimension, bei index_razor (wie im Weinberg) dp/√(2*pi). |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 21. Aug 2017 21:07 Titel: |
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Oh, danke für den Hinweis. Es war mir nicht mehr bewußt, daß Peskin, Schroeder hier eine andere Konvention verwenden. (Habe das Buch gerade nicht zur Hand.) |
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gnt
Gast
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| gnt Verfasst am: 24. Aug 2017 16:43 Titel: |
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Mir ist schon ganz  vom vielen Lesen und den Formeln.
Zum Konzept muss ich noch etwas fragen, nämlich wie Wechselwirkungen in Bezug auf Zustände und Teilchenerzeugung zu behandeln sind:
Hätte man ein äusseres Potential, würde man wohl zwei Arten von Lösungen für Feldoperatoren bekommen - freie und gebundene, wie man in der nicht-relativistischen QM Lösungen für positive und negative Energieeigenwerte bekommt. in der QFT fehlt aber ein Potential - wenn ich das richtig sehe, weiss man eigentlich gar nichts, nur dass eine weitere Feldgleichung gilt.
Wie funktioniert so etwas vom Prinzip her? Oder grob skizziert am Beispiel des Wasserstoffatoms? Wie würde z.B. ein n=2 Wasserstoffatom beschrieben, bei dem man den Übergang nach n=1 "beobachten" könnte? Wie konstruiert man so etwas, obwohl: Ich hege die Befürchtung, dass all das analytisch zu berechnen, und darzustellen völlig unmöglich ist. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 24. Aug 2017 20:31 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: | | Ich hege die Befürchtung, dass all das analytisch zu berechnen, und darzustellen völlig unmöglich ist. |
So gut wie immer richtig. Daher macht man Störungstheorie. Kommt im Peskin in Kapitel 4. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 25. Aug 2017 00:16 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: |
Zum Konzept muss ich noch etwas fragen, nämlich wie Wechselwirkungen in Bezug auf Zustände und Teilchenerzeugung zu behandeln sind:
Hätte man ein äusseres Potential, würde man wohl zwei Arten von Lösungen für Feldoperatoren bekommen - freie und gebundene, wie man in der nicht-relativistischen QM Lösungen für positive und negative Energieeigenwerte bekommt. in der QFT fehlt aber ein Potential - wenn ich das richtig sehe, weiss man eigentlich gar nichts, nur dass eine weitere Feldgleichung gilt.
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Der freie Hamiltonian hat die Form (Definitionen von  wie im Weinberg)
Dieser ist so definiert, daß die freien N-Teilchen-Zustände  Eigenzustände zur Gesamtenergie
sind. Wechselwirkungen beschreibt man dadurch, daß man weitere Terme
\\ \times a^\dagger_{p_{i_1},\sigma_{i_i},n_{i_1}}\cdots a^\dagger_{p_{i_N},\sigma_{i_N}, n_{i_N}}a_{p_{k_1},\sigma_{k_1},n_{k_1}}\cdots a_{p_{k_M},\sigma_{k_M},n_{k_M}})
hinzufügt, die im allgemeinen M Teilchen vernichten und N neue erzeugen. Die Koeffizienten-Funktionen  müssen bestimmte physikalisch wichtige Eigenschaften erfüllen, die z.B. mit der Lorentz-Invarianz und dem Clusterzerlegungsprinzip zu tun haben. Aus beiden Gründen konstruiert man V normalerweise aus lokalen Feldern. Ich denke man kann V, wenn man will, als "Potential" für die Wechselwirkung bezeichnen. Es hat aber erstmal mit "einer weiteren Feldgleichung" nichts zu tun, auch wenn die Felder aus denen man V konstruiert im allgemeinen relativistische Feldgleichungen erfüllen. Dies können aber durchaus freie Gleichungen sein, denn wenn die Zerlegung  sinnvoll ist, bedeutet das normalerweise, daß man im Dirac-Bild rechnen kann und in diesem gehorchen alle Operatoren den Bewegungsgleichungen des freien Hamilton-Operators, also gilt
 = e^{iH_0 t}\psi(x,0)e^{-iH_0 t}.)
(Das muß aber nicht immer vorteilhaft sein.)
| Zitat: |
Wie funktioniert so etwas vom Prinzip her? Oder grob skizziert am Beispiel des Wasserstoffatoms? Wie würde z.B. ein n=2 Wasserstoffatom beschrieben, bei dem man den Übergang nach n=1 "beobachten" könnte? |
Wie meinst du das? Übergänge kann man normalerweise nur beobachten, wenn keine Energieeigenzustände vorliegen. Das hat aber, denke ich, erstmal wenig mit Quantenelektrodynamik zu tun. Diese benötigt man eher um Korrekturen zu den Energieniveaus zu berechnen, die man aus der nichtrelativistischen QM berechnet hat.
Zuletzt bearbeitet von index_razor am 25. Aug 2017 11:46, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18116
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| TomS Verfasst am: 25. Aug 2017 09:27 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: | | Zum Konzept muss ich noch etwas fragen, nämlich wie Wechselwirkungen in Bezug auf Zustände und Teilchenerzeugung zu behandeln sind |
In der QED setzt man die Lösungen der freien Dirac-Gleichung (s.o.) sowie die Lösung der freien Maxwell-Gleichungen zur Quantisierung der Felder an. der Wechselwirkungsterm jA ist bilinear in der Dirac-Feldern und linear in den Eichfeldern, d.h. er enthält drei Erzeuger und/oder Vernichter.
| gnt hat Folgendes geschrieben: | | Hätte man ein äusseres Potential, würde man wohl zwei Arten von Lösungen für Feldoperatoren bekommen - freie und gebundene, wie man in der nicht-relativistischen QM Lösungen für positive und negative Energieeigenwerte bekommt. ... Oder grob skizziert am Beispiel des Wasserstoffatoms? |
Hier geht man etwas anders vor: man betrachtet zunächst das Proton sowie dessen Coulomb-Feld klassisch. Dann quantisiert man das Dirac-Feld nach der o.g. Methode, allerdings verwendet man nicht freie ebene Wellen, sondern der Symmetrie des Problems angepasste Lösungen der Dirac-Gleichung im Coulomb-Feld. Ebenso quantisiert man das elektromagnetische Feld nicht als Fluktuationen auf dem Vakuum sondern als Fluktuationen (gekennzeichnet durch ~) auf dem Coulomb-Feld, d.h.
wiederum mit der Symmetrie des Problems angepasste Lösungen der Maxwell-Gleichung.
Letztlich verwendet man also zur Quantisierung der Felder eine andere Basis, d.h. die ebenen Wellen in
werden durch ein angepasstes, ebenfalls vollständiges Funktionensystem ersetzt
=\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^3}(A_k\,u_k(x) + A_k^\dagger\,\bar{u}_k(x)))
Die Erzeuger (Vernichter) erzeugen (vernichten) dann andere Fluktuationen, nämlich die u's statt der üblichen ebenen Wellen. Die A's erfüllen die selben Kommutatorrelationen. Das Integral über p wird durch eine Integral (plus ggf. eine Summe) über einen allgemeinen kontinuierlichen (diskreten) Index ersetzt. |
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gnt
Gast
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| gnt Verfasst am: 25. Aug 2017 14:12 Titel: |
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Vielen Dank für Euere Antworten!
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | gnt hat Folgendes geschrieben: | | Ich hege die Befürchtung, dass all das analytisch zu berechnen, und darzustellen völlig unmöglich ist. |
So gut wie immer richtig. Daher macht man Störungstheorie. Kommt im Peskin in Kapitel 4. |
In dieses Kapitel habe ich auch schon ein wenig hinein gelesen. Soweit ich das erkennen kann, geht es darin aber nur um Streuprozesse, und wie man dafür Näherungen entwickelt, jedoch ohne auf die Zustände, insbesondere gebundene einzugehen. - Aber vielleicht erkenne ich das nur noch nicht...
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Ich denke man kann V, wenn man will, als "Potential" für die Wechselwirkung bezeichnen. Es hat aber erstmal mit "einer weiteren Feldgleichung" nichts zu tun, auch wenn die Felder aus denen man V konstruiert im allgemeinen relativistische Feldgleichungen erfüllen. |
Mein Punkt ist eigentlich der, dass man bei wechselwirkenden Feldern - sofern ich das richtig sehe - prinzipiell keine explizite, exakte Formel für den Feldoperator errechnen kann. Sowohl bei den Fermionfeldern als auch beim Photonfeld ist dabei immer dieser lästige Wechselwirkungsterm, der eine separate Lösung unmöglich macht, im Weg. Zumindest erkenne ich jetzt nicht, wie man ohne bekannte Lösung für das jeweils andere Feld zu einem Feldoperator kommen kann.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Wie funktioniert so etwas vom Prinzip her? Oder grob skizziert am Beispiel des Wasserstoffatoms? Wie würde z.B. ein n=2 Wasserstoffatom beschrieben, bei dem man den Übergang nach n=1 "beobachten" könnte? |
Wie meinst du das? Übergänge kann man normalerweise nur beobachten, wenn keine Energieeigenzustände vorliegen. Das hat aber, denke ich, erstmal wenig mit Quantenelektrodynamik zu tun. Diese benötigt man eher um Korrekturen zu den Energieniveaus zu berechnen, die man aus der nichtrelativistischen QM berechnet hat. |
Mit "beobachten" meinte ich nicht messtechnisch, sondern rein mathematisch, wie die zeitliche Entwicklung verläuft. Vom Prinzip her wie die zeitliche Entwicklung des Zustandsvektors im Falle der nicht-relativistischen QM.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | gnt hat Folgendes geschrieben: | | Hätte man ein äusseres Potential, würde man wohl zwei Arten von Lösungen für Feldoperatoren bekommen - freie und gebundene, wie man in der nicht-relativistischen QM Lösungen für positive und negative Energieeigenwerte bekommt. ... Oder grob skizziert am Beispiel des Wasserstoffatoms? |
Hier geht man etwas anders vor: man betrachtet zunächst das Proton sowie dessen Coulomb-Feld klassisch. Dann quantisiert man das Dirac-Feld nach der o.g. Methode, allerdings verwendet man nicht freie ebene Wellen, sondern der Symmetrie des Problems angepasste Lösungen der Dirac-Gleichung im Coulomb-Feld. Ebenso quantisiert man das elektromagnetische Feld nicht als Fluktuationen auf dem Vakuum sondern als Fluktuationen (gekennzeichnet durch ~) auf dem Coulomb-Feld, d.h. ... |
Das erscheint mir für speziell dieses Problem sinnvoll.
Es gibt ja aber auch ganz extreme Beispiele, wie es bei den Experimenten in Teilchenbeschleunigern der Fall ist. Dort weiss man im Vorhinein ja nicht, wie ausgeformte (klassische) Potentiale auftreten. Deshalb dachte ich, dass all' die denkbaren Möglichkeiten aus H "hervorploppen" müssten. Also, vom Prinzip her so, wie Du das geschrieben hast, nur statt mit dem bekannten Coulomb-Feld des Protons mit einem unbekannten/undefinierten, dynamischen A.
Weil in Deiner Beschreibung wird ja die Kraft (oder wie man das hier nennen sollte) zu einer nicht der Theorie entsprungenen Grösse. Eigentlich sollte doch (den Punkt habe ich auch noch nicht verstanden), aus A sowohl die Kraft als auch Photonen folgen. Wenn man jetzt das Coulomb-Feld klassisch hinzufügt, hat man dann den Teil nicht doppelt, weil ja A auch noch wirkt... ? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 25. Aug 2017 14:29 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: | Vielen Dank für Euere Antworten!
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | gnt hat Folgendes geschrieben: | | Ich hege die Befürchtung, dass all das analytisch zu berechnen, und darzustellen völlig unmöglich ist. |
So gut wie immer richtig. Daher macht man Störungstheorie. Kommt im Peskin in Kapitel 4. |
In dieses Kapitel habe ich auch schon ein wenig hinein gelesen. Soweit ich das erkennen kann, geht es darin aber nur um Streuprozesse, und wie man dafür Näherungen entwickelt, jedoch ohne auf die Zustände, insbesondere gebundene einzugehen. - Aber vielleicht erkenne ich das nur noch nicht...
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Das ist richtig. Weil gebundene Zustände viel schwerer zu beschreiben sind. Ich würde daher an Deiner Stelle erstmal die QFT anhand von Streuprozessen versuchen zu verstehen. Da hast Du erstmal genug zu tun mit. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 25. Aug 2017 15:59 Titel: |
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| gnt hat Folgendes geschrieben: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Ich denke man kann V, wenn man will, als "Potential" für die Wechselwirkung bezeichnen. Es hat aber erstmal mit "einer weiteren Feldgleichung" nichts zu tun, auch wenn die Felder aus denen man V konstruiert im allgemeinen relativistische Feldgleichungen erfüllen. |
Mein Punkt ist eigentlich der, dass man bei wechselwirkenden Feldern - sofern ich das richtig sehe - prinzipiell keine explizite, exakte Formel für den Feldoperator errechnen kann.
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Ja, das stimmt schon. Gekoppelte Feldgleichungen sind eben einfach schwierig zu lösen, bzw. nur in einfachen Fällen oder eben näherungsweise. Aus diesem Grunde macht man ja normalerweise Störungstheorie. Das Problem, keine exakten Lösungen zu kennen, hat man überall in der Physik. In der klassischen Theorie oder in der nicht-relativistischen QM. Mir ist nicht klar, ob du denkst, das sei ein Spezialproblem der QFT.
| Zitat: |
Sowohl bei den Fermionfeldern als auch beim Photonfeld ist dabei immer dieser lästige Wechselwirkungsterm, der eine separate Lösung unmöglich macht, im Weg. Zumindest erkenne ich jetzt nicht, wie man ohne bekannte Lösung für das jeweils andere Feld zu einem Feldoperator kommen kann.
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Gar nicht. Man müßte im Prinzip alle Gleichungen simultan lösen, wenn man an einer exakten Lösung interessiert ist. Besteht für dich ein prinzipieller Unterschied zu der Situation, daß man bei einem gekoppelten Pendel im Prinzip die Bahn jedes einzelnen Pendels kennen muß um die Bahn des anderen zu bestimmen oder -- anders formuliert -- , daß man eben beide gleichzeitig bestimmen muß?
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Wie funktioniert so etwas vom Prinzip her? Oder grob skizziert am Beispiel des Wasserstoffatoms? Wie würde z.B. ein n=2 Wasserstoffatom beschrieben, bei dem man den Übergang nach n=1 "beobachten" könnte? |
Wie meinst du das? Übergänge kann man normalerweise nur beobachten, wenn keine Energieeigenzustände vorliegen. Das hat aber, denke ich, erstmal wenig mit Quantenelektrodynamik zu tun. Diese benötigt man eher um Korrekturen zu den Energieniveaus zu berechnen, die man aus der nichtrelativistischen QM berechnet hat. |
Mit "beobachten" meinte ich nicht messtechnisch, sondern rein mathematisch, wie die zeitliche Entwicklung verläuft. Vom Prinzip her wie die zeitliche Entwicklung des Zustandsvektors im Falle der nicht-relativistischen QM.
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Die Frage enthält auch bereits die Antwort. Quantenfeldtheorie ist zuallererst Quantentheorie -- mit Zuständen, Hilberträumen, und Hamilton-Operatoren. Der Unterschied zwischen "relativistisch" und "nichtrelativistisch" äußert sich in den zugrunde liegenden Raumzeitsymmetrien, nach denen man Zustände klassifiziert. Diese Symmetrien strukturieren den Hilbertraum, schränken die möglichen Hamilton-Operatoren ein (im relativistischen Fall, deutlich stärker, als im nicht-relativistischen), aber sie ändern überhaupt nichts prinzipielles daran, wie man die Zeitentwicklung von Zuständen zu behandeln hat.
Dazu, wie die technische Behandlung des Wasserstoffatoms erfolgt, hat ja TomS schon einiges gesagt.
| Zitat: |
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Hier geht man etwas anders vor: man betrachtet zunächst das Proton sowie dessen Coulomb-Feld klassisch. Dann quantisiert man das Dirac-Feld nach der o.g. Methode, allerdings verwendet man nicht freie ebene Wellen, sondern der Symmetrie des Problems angepasste Lösungen der Dirac-Gleichung im Coulomb-Feld. Ebenso quantisiert man das elektromagnetische Feld nicht als Fluktuationen auf dem Vakuum sondern als Fluktuationen (gekennzeichnet durch ~) auf dem Coulomb-Feld, d.h. ... |
Das erscheint mir für speziell dieses Problem sinnvoll.
Es gibt ja aber auch ganz extreme Beispiele, wie es bei den Experimenten in Teilchenbeschleunigern der Fall ist. Dort weiss man im Vorhinein ja nicht, wie ausgeformte (klassische) Potentiale auftreten. Deshalb dachte ich, dass all' die denkbaren Möglichkeiten aus H "hervorploppen" müssten.
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Das ist auch so. Auch beim Wasserstoffatom weiß man nicht, daß man den Einfluß des Protons im wesentlichen als klassisches Coulomb-Potential ansetzen kann, bevor man das innerhalb der Quantenelektrodynamik gezeigt hat. Dieses klassische Potential "ploppt" dann unter den Bedingungen, die im Wassertsoffatom gelten aus der Theorie hervor.
Die Begründung für diese Tatsache ist aber nicht gerade unkompliziert.
| Zitat: |
Also, vom Prinzip her so, wie Du das geschrieben hast, nur statt mit dem bekannten Coulomb-Feld des Protons mit einem unbekannten/undefinierten, dynamischen A.
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Ja, genauso funktioniert das. Und dann stellt man fest, daß wenn man es mit einem nichtrelativistischen schweren Teilchen zu tun hat, welches einen elektromagnetischen Bindungszustand mit einem leichten Teilchen eingehen kann, man ersteres genauso gut einfach als Quelle eines äußeren klassisches Coulomb-Potentials ansetzen kann. Das ist natürlich eine Näherung, aber ohne Näherungen kommt man allgemein nicht weit, wenn man das elektromagnetische Feld als eigenständigen Freiheitsgrad behandeln will.
| Zitat: |
Weil in Deiner Beschreibung wird ja die Kraft (oder wie man das hier nennen sollte) zu einer nicht der Theorie entsprungenen Grösse. Eigentlich sollte doch (den Punkt habe ich auch noch nicht verstanden), aus A sowohl die Kraft als auch Photonen folgen. Wenn man jetzt das Coulomb-Feld klassisch hinzufügt, hat man dann den Teil nicht doppelt, weil ja A auch noch wirkt... ? |
Nein, man zählt nichts doppelt. Man geht lediglich davon aus, daß Strahlungskorrekturen, die man mit Hilfe der quantenmechanischen Beschreibung der Dynamik des EM-Feldes berechnen will, lediglich einen keinen Effekt zusätzlich zu dem statischen Coulomb-Potential, durch den das Elektron an das Proton gebunden wird, beisteuern. Wenn das nicht der Fall ist, dann versagt der ganze Ansatz. |
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