| Autor |
Nachricht |
Gorky
Anmeldungsdatum: 29.06.2017
Beiträge: 5
|
 Gorky Verfasst am: 29. Jun 2017 23:47 Titel: Metrischer Fundamentaltensor |
 |
|
Meine Frage:
Hallo,
ich habe ein Problem in der Theoretischen Mechanik eine Formel zu begreifen. Folgende :
Vorallem
 .
( Wieso die Wurzel vom g gezogen wird. )
Meine Ideen:
Vektor X Vektor bildet ja ( der Betrag davon eine Ebene zwischen dem Winkel der beiden Vektoren ), hinzu wird ein Orthonormal Vektor gebildet, welcher Senkrecht auf der gebildeten Ebene steht.
Levi Civita / Epsilon Tensor wird verwendet.
3 gleiche Indizes ( jedoch in Kovarianter und Kontravarianter Form ) werden genutzt, also ist die ESK ( Einsteinsche Summen-Konvention ) zu erkennen(?).
 Kontravariante Basis in Richtung "a"
 Vektor v in Richtung "b"
 Vektor w in Richtung "c"
Ich kann daraus nichts besonderes feststellen.
ist ja als template zu sehen, darauf wird der Rest projiziert, sodass es dann
 ergibt.
An sich also viel Chaos in meinem Kopf mit verstärken Lücken. Mir ist jedoch gerade die Sicht genommen wie ich diese Lücke füllen kann.
Danke für die hoffentlich erfolgende konstruktive Kritik.
Gruß,
Gorky. |
|
 |
Gorky
Anmeldungsdatum: 29.06.2017
Beiträge: 5
|
| Gorky Verfasst am: 30. Jun 2017 00:01 Titel: |
|
|
|
Hmm, nutze ich Levi Civita nur, um zu erkennen ob auf welche weise v und w miteinander interagieren? Permutations Regel beachten, erkennen ob das ganze 1, -1 oder 0 ergibt, wenn es 1 ergibt. Die Werte bleiben ja konstant für die Vektoren v und w. Die Wurzel für das g ist mir jedoch unklar wie zuvor auch. |
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
|
| index_razor Verfasst am: 02. Jul 2017 16:14 Titel: |
|
|
Der Faktor  kommt letztendlich aus dem Volumenelement des euklidischen Raumes. In kartesischen Koordinaten ) ist ja
Hier ist  und deshalb  . In Kugelkoordinaten ist aber z.B.
Und in krummlinigen Koordinaten ) gilt eben allgemein
Mit dem Vektorprodukt hat das ganze insofern zu tun, als die Volumenform das Volumen ) eines Spats  definiert und dieses Spatvolumen mit Hilfe des Vektorprodukts ausgedrückt werden kann
\cdot u = \dd V(v, w, u).)
Die Forderung, daß diese Beziehung für alle  gilt, kann man sogar als die Definition von  ansehen.
Der  -Tensor kommt nun über den Zusammenhang zwischen dem Spatvolumen und dem Entwicklungssatz für Determinanten ins Spiel. Wieder zunächst in kartesischen Koordinaten berechnet man das Spatvolumen von 
= \det(v, w, u) = \det\begin{pmatrix}v^x & w^x & u^x\\ v^y & w^y & u^y\\ v^z & w^z & u^z\end{pmatrix} = \epsilon_{ikl}v^i w^k u^\ell \qquad i,k,\ell = x,y,z)
Aus dieser Formel kann man einen ganzen Kalkül für die Produkte der Differentiale  aufbauen und tut dies auch. (Siehe "Differentialformenkalkül", "äußeres Produkt" usw.) D.h. man definiert z.B.
 = \det(v, w, u).)
(Damit ist das dreifache Produkt der Differentiale ein vollständig antisymmetrischer kovarianter Tensor 3. Stufe.) Man kann ebenso das Produkt von  als 2er Determinanten in der x-y-Ebene definieren etc. Wichtig ist nur, diese Formel gilt koordinatenunabhängig, d.h. es ist ebenso
 = \det\begin{pmatrix}v^\xi & w^\xi & u^\xi\\ v^\eta & w^\eta & u^\eta\\ v^\zeta & w^\zeta & u^\zeta\end{pmatrix})
Hier kann man nun bereits die allgemeine Formel für die Komponenten des Kreuzprodukts ableiten. Denn es ist (unter Berücksichtigung der korrekten Indexstellung im Skalarprodukt)
_\ell u^\ell = \dd V(v, w, u)=\sqrt{g}\dd\xi\wedge \dd \eta\wedge \dd \zeta(v,w,u) = \sqrt{g}\varepsilon_{ik\ell}v^i w^k u^\ell.)
Dies soll insbesondere für beliebige Vektoren u gelten, d.h.
_\ell = \sqrt{g}\varepsilon_{ik\ell}v^i w^k )
(Die Indizes an kannst du nun noch durch zyklisches Vertauschen in Übereinstimmung mit deiner Formel bringen ohne das Ergebnis zu ändern.) |
|
|
Gorky
Anmeldungsdatum: 29.06.2017
Beiträge: 5
|
| Gorky Verfasst am: 10. Jul 2017 03:13 Titel: |
|
|
Vielen Dank für die äußerst ausführliche Erklärung, ich werde mich dem widmen, zur Zeit ist es noch schwierig es in jedem Punkt exakt ( in gänzlicher Tiefe ) zu verstehen.
Die Transformation von KKS zu Kugelkoordinaten und derlei ist verständlich.
Das Spatprodukt im Bezug mit dem Epsilon-Tensor ist mir etwas schwieriger verständlich, bzgl. der Vorzeichen.
Ich melde mich spätestens übermorgen nochmal, bis dahin etwas Eigenrecherche, von nichts kommt nichts...^^
Danke für deine Aufmerksamkeit soweit. |
|
|
Gorky
Anmeldungsdatum: 29.06.2017
Beiträge: 5
|
| Gorky Verfasst am: 17. Jul 2017 21:57 Titel: |
|
|
Sorry, war etwas durch den Wind die Tage.
Nach aufmerksamer Betrachtung ist alles ersichtlich bis auf den Teil mit der Determinante.
Damit meine ich, da die Determinante ja eine Subtraktion beinhalted, wie wird dies durch die Operatoren berücksichtigt? Bei einer 2x2 Matrix hat man ja ad-bc = det (), ich verstehe wie die ESK angewendet wird, bis auf diesen Aspekt.
Gruß,
Gorky. |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
|
| jh8979 Verfasst am: 18. Jul 2017 00:31 Titel: |
|
|
| Gorky hat Folgendes geschrieben: |
Damit meine ich, da die Determinante ja eine Subtraktion beinhalted, wie wird dies durch die Operatoren berücksichtigt? Bei einer 2x2 Matrix hat man ja ad-bc = det (), ich verstehe wie die ESK angewendet wird, bis auf diesen Aspekt.
|
Ich versteh Deine Frage nicht... |
|
|
Gorky
Anmeldungsdatum: 29.06.2017
Beiträge: 5
|
| Gorky Verfasst am: 18. Jul 2017 18:34 Titel: |
|
|
Die Frage hat sich erübrigt, da die Indizes des Epsilon Tensors nach derm dritten Produkt asymmetrisch laufen, wodurch die der Koeffizient -1 wird.
Dies müsste es zumindest sein:
( 123; 312; 231; 321; 132;213 ). |
|
|
jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
|
| jh8979 Verfasst am: 18. Jul 2017 20:57 Titel: |
|
|
Ich finde, dass das auch keine kohärente Antwort ist... aber wenn sich Dir keine Fragen mehr stellen, ist jst soweit alles gut  |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
