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manuel459
Anmeldungsdatum: 11.10.2016
Beiträge: 263
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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 franz Verfasst am: 21. Okt 2016 23:21 Titel: |
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Ich würde mir das bequem mit Polarkoordinaten ansehen: 
\cdot \vec e_r+(r\ddot \varphi+2\dot r \dot \varphi)\cdot \vec e_\varphi)
) und ) sind ja bekannt, die Richtungen der beiden Einheitsvektoren (radial, tangential) vielleicht auch ...
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autor237
Anmeldungsdatum: 31.08.2016
Beiträge: 509
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| autor237 Verfasst am: 21. Okt 2016 23:54 Titel: |
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Hallo manuel459!
Die zweite Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit gibt die gesamte Beschleunigung an. Also die vektorielle Summe aus radialer und tangentialer Komponente. In dem Bespiel ist die Ortsvektorfunktion in kartesischen Koordinaten angegeben, was die Darstellung etwas komplizierter erscheinen lässt als in Polarkoordinaten. Es gilt  . Wenn du diesen nun zweimal ableitest und die Summanden separierst, dann sollten die einzelnen Beschleunigungskomponenten herauskommen. Beim ableiten die Kettenregel und Produktregel nicht vergessen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 22. Okt 2016 11:01 Titel: |
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Nicht einige Hinweis:
Der in der ursprünglich gestellten Aufgabe gegebene Vektor ist ein Einzeitsvektor, der von einem Mittelpunkt bei R = 0 in radiale Richtung weist.
In der allgemeinen Darstellung von Franz tritt neben dem radialen noch ein tangentialer Vektor auf.
In der Darstellung von Franz tritt die Ableitung des Winkels nach der Zeit auf. Dies entspricht der Winkelgeschwindigkeit
Außerdem tritt die zweite Ableitung des Winkels nach der Zeit sowie die Ableitung der Radialkoordinate nach der Zeit auf.
In deinem Fall interpretiere ich die Aufgabebstellung jedoch so, dass R und omega konstant sind. Damit kannst du die Größen in beiden Formulierungen identifizieren.
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manuel459
Anmeldungsdatum: 11.10.2016
Beiträge: 263
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| manuel459 Verfasst am: 22. Okt 2016 11:12 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | Ich würde mir das bequem mit Polarkoordinaten ansehen:
und sind ja bekannt, die Richtungen der beiden Einheitsvektoren (radial, tangential) vielleicht auch ... |
hey franz,
liege ich damit richtig, dass ich für die Rechnung garkeine basisvektoren brauche? bzw. ich sie nicht genauer ausführen muss und einfach ephi und er schreiben kann?
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manuel459
Anmeldungsdatum: 11.10.2016
Beiträge: 263
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| manuel459 Verfasst am: 22. Okt 2016 11:25 Titel: |
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| autor237 hat Folgendes geschrieben: | Hallo manuel459!
Die zweite Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit gibt die gesamte Beschleunigung an. Also die vektorielle Summe aus radialer und tangentialer Komponente. In dem Bespiel ist die Ortsvektorfunktion in kartesischen Koordinaten angegeben, was die Darstellung etwas komplizierter erscheinen lässt als in Polarkoordinaten. Es gilt . Wenn du diesen nun zweimal ableitest und die Summanden separierst, dann sollten die einzelnen Beschleunigungskomponenten herauskommen. Beim ableiten die Kettenregel und Produktregel nicht vergessen. |
hi!
bist du dir dabei sicher? schließlich ist die Tangentialbeschleunigung die Ableitung der TAngentialgeschwindigkeit also v nach der Zeit ?! demnach wäre a als v' und r'' doch die tangentialbeschleunigung?
kann man auch aus der Darstellung von a(t) in karthesischen Koordinaten die beiden Komponenten herausfiltern?
wir haben polarkoordinaten leider noch nicht durchgenommen
lg
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 22. Okt 2016 13:01 Titel: |
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| manuel459 hat Folgendes geschrieben: | Kann man auch aus der Darstellung von a(t) in karthesischen Koordinaten die beiden Komponenten herausfiltern? wir haben polarkoordinaten leider noch nicht durchgenommen
lg |
Ja. Leite einfach den gegebenen Ortsvektor r(t) der Aufgabe zwei mal ab. Nach Anwendung der Kettenregel ergeben sich 2 Summanden, wobei der eine parallel ist zum Ortsvektor, der andere senkrecht dazu. Somit sollten die beiden Komponenten leicht zu bestimmen sein.
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manuel459
Anmeldungsdatum: 11.10.2016
Beiträge: 263
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| manuel459 Verfasst am: 22. Okt 2016 13:47 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | manuel459 hat Folgendes geschrieben: | Kann man auch aus der Darstellung von a(t) in karthesischen Koordinaten die beiden Komponenten herausfiltern? wir haben polarkoordinaten leider noch nicht durchgenommen
lg |
Ja. Leite einfach den gegebenen Ortsvektor r(t) der Aufgabe zwei mal ab. Nach Anwendung der Kettenregel ergeben sich 2 Summanden, wobei der eine parallel ist zum Ortsvektor, der andere senkrecht dazu. Somit sollten die beiden Komponenten leicht zu bestimmen sein. |
hey Myon,
wie ergeben sich da 2 summanden?
ich leite da doch x wert der 1x2 - vektormatrix ab und den y wert?
lg manuel
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 22. Okt 2016 14:17 Titel: |
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Beide Koordinaten des Vektors leitest du zweimal nach t ab. Nach dem ersten Ableiten gibt es so etwas wie -2R*gamma*t*sin(..), 2R*gamma*t*cos(..). Wenn du nochmals ableitest nach t und die Produktregel anwendest, entsteht für den Beschleunigungsvektor eine Summe aus zwei Vektoren.
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manuel459
Anmeldungsdatum: 11.10.2016
Beiträge: 263
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| manuel459 Verfasst am: 22. Okt 2016 14:36 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Beide Koordinaten des Vektors leitest du zweimal nach t ab. Nach dem ersten Ableiten gibt es so etwas wie -2R*gamma*t*sin(..), 2R*gamma*t*cos(..). Wenn du nochmals ableitest nach t und die Produktregel anwendest, entsteht für den Beschleunigungsvektor eine Summe aus zwei Vektoren. |
}}=R \cdot\left(\begin{array}{c}-2\gamma\cdot sin(\gamma t^2)-4\gamma^2t^2\cdot cos(\gamma t^2)\\ 2\gamma\cdot cos(\gamma t^2)-4\gamma^2t^2\cdot sin(\gamma t^2)\end{array}\right))
woran erkenne ich nun, was zentripetal und was tangential ist?
bzw. gilt diese Zuordnung der summanden strenggenommen nicht nur beim punkt (R,0) ?
lg manuel
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 22. Okt 2016 15:13 Titel: |
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Wenn du jeweils den hinteren Summanden bzw. Subtrahenden nimmst, ergibt sich doch ein Vektor, der zu jeder Zeit (anti-)parallel ist zum Ortsvektor, also radial nach innen zeigt. Also ist er gleich der Zentralbeschleunigung.
Der Vektor bestehend jeweils aus dem ersten Summanden ist zu jeder Zeit parallel zum Geschwindigkeitsvektor, gibt also die Tangentialbeschleunigung an. In diesem Beispiel gilt diese Zuordnung für alle t, oder habe ich etwas übersehen?
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manuel459
Anmeldungsdatum: 11.10.2016
Beiträge: 263
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autor237
Anmeldungsdatum: 31.08.2016
Beiträge: 509
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| autor237 Verfasst am: 22. Okt 2016 22:41 Titel: |
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Wenn du dein Ergebnis in der Form
^2R\begin{pmatrix} \cos(\gamma t^2) \\ \sin(\gamma t^2) \end{pmatrix} + 2R\gamma \begin{pmatrix} -\sin(\gamma t^2) \\ \cos(\gamma t^2) \end{pmatrix} )
schreibst und jetzt  und  einsetzt, erhältst du die vertrauten Gleichungen für die beiden Beschleunigungen. In den Klammern stehen die beiden Basisvektoren  und  mit kartesicher Vektorbasis ausgedrückt. Die beiden Basisvektoren rotieren mit dem Ortsvektor und somit gilt diese Zuordnung für alle Punkte auf der Kreisbahn (also für alle Phi und somit für alle t)
Zur Frage d:
Du startest ja aus der Ruhe heraus. Die Zentripetalbeschleunigung ist da ja gleich Null und wird immer größer, während die Tangentialbeschleunigung von Anfang an den gleichen Wert hat und sich nicht mit der Zeit ändert. Es gibt also einen Zeitpunkt, wo beide gleich groß sind und danach ist der Anteil der Zentripetalbeschleunigung größer als der der Tangentialbeschleunigung. Du musst somit den Zeitpunkt bestimmen, wo die Beträge der beiden Beschleunigungen gleich groß sind.
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manuel459
Anmeldungsdatum: 11.10.2016
Beiträge: 263
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| manuel459 Verfasst am: 23. Okt 2016 11:14 Titel: |
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| autor237 hat Folgendes geschrieben: | Wenn du dein Ergebnis in der Form
schreibst und jetzt und einsetzt, erhältst du die vertrauten Gleichungen für die beiden Beschleunigungen. In den Klammern stehen die beiden Basisvektoren und mit kartesicher Vektorbasis ausgedrückt. Die beiden Basisvektoren rotieren mit dem Ortsvektor und somit gilt diese Zuordnung für alle Punkte auf der Kreisbahn (also für alle Phi und somit für alle t)
Zur Frage d:
Du startest ja aus der Ruhe heraus. Die Zentripetalbeschleunigung ist da ja gleich Null und wird immer größer, während die Tangentialbeschleunigung von Anfang an den gleichen Wert hat und sich nicht mit der Zeit ändert. Es gibt also einen Zeitpunkt, wo beide gleich groß sind und danach ist der Anteil der Zentripetalbeschleunigung größer als der der Tangentialbeschleunigung. Du musst somit den Zeitpunkt bestimmen, wo die Beträge der beiden Beschleunigungen gleich groß sind. |
muss ich das mit gamma=1/2 alpha zuerst umformen? ich hätte da einfach mit pythagoras und den 2 summanden gearbeitet. bzw. woher kommt diese formel?
wie gesagt ich kenn mich mit polarkoordinaten nicht aus, daher ist mir dein weg nicht klar...
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 23. Okt 2016 12:01 Titel: |
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Die Beträge mit dem Pythagoras bestimmen ist sicher i.O., wobei das ja dank dem sin und dem cos sehr einfach ist.
Zu Aufgabe 28: Die Tangentialbeschleunig ist nicht null, da die Vektoren a und v nicht senkrecht stehen (Skalarprodukt bilden).
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autor237
Anmeldungsdatum: 31.08.2016
Beiträge: 509
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| autor237 Verfasst am: 23. Okt 2016 12:09 Titel: |
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Meine Vorschläge dienen dazu dir die Zusammenhänge mit den von dir in der Ursprünglichen Frage angegebenen Formeln für die Beträge der beiden Beschleunigungen
verständlicher zu machen. Die beiden Basisvektoren der Polarkoordinaten habe ich nur vollständigkeitshalber erwähnt.
Die Formel  kommt daher, dass für den Winkel in deinem Beispiel  gilt. Die Anfangsbedingungen sind somit =0, \omega (t=0)=0) . Für die Beantwortung des zweiten Teils der Frage d ist die Berechnung des Betrags der Gesamtbeschleunigung eigentlich nicht notwendig. Du muss nur die Beträge der Zentripetal- und der Tangentialbeschleunigung zu einander in Bezug zu setzen. Deren Beträge müssten jetzt ja klar sein.
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manuel459
Anmeldungsdatum: 11.10.2016
Beiträge: 263
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| manuel459 Verfasst am: 23. Okt 2016 12:20 Titel: |
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| autor237 hat Folgendes geschrieben: | Meine Vorschläge dienen dazu dir die Zusammenhänge mit den von dir in der Ursprünglichen Frage angegebenen Formeln für die Beträge der beiden Beschleunigungen
verständlicher zu machen. Die beiden Basisvektoren der Polarkoordinaten habe ich nur vollständigkeitshalber erwähnt.
Die Formel kommt daher, dass für den Winkel in deinem Beispiel gilt. Die Anfangsbedingungen sind somit . Für die Beantwortung des zweiten Teils der Frage d ist die Berechnung des Betrags der Gesamtbeschleunigung eigentlich nicht notwendig. Du muss nur die Beträge der Zentripetal- und der Tangentialbeschleunigung zu einander in Bezug zu setzen. Deren Beträge müssten jetzt ja klar sein. |
ah okay jetzt verstehe ich,...
laut deinem ersten post ist aber alpha bzw. a die gesamte Beschleunigung... wie kann jetzt alpha*r (wobei alpha *r ja genau a also die gesamte Beschleunigung sind) doch der tangentialanteil sein. und ar gilt doch auch nur wenn omega=const ... oder habe ich da jetzt was falsch verstanden?
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autor237
Anmeldungsdatum: 31.08.2016
Beiträge: 509
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| autor237 Verfasst am: 28. Okt 2016 19:01 Titel: |
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So habe ich das bestimmt nicht geschrieben. Lies noch mal genauer nach. Die beiden Formeln für die Beträge der Zentripetal- und Tangentialbeschleunigung gelten für beliebige Abhängigkeiten von Omega und Alpha von der Zeit. Allerdings nur für Kreisbahnen (also mit konstantem Radius). Daher steht in der Formel auch "R" statt "r", was auf den konstanten Radius hinweisen soll. Allgemein gilt dann die von franz angegebene Formel. Dabei sollte man auch beachten, dass im allgemeinen Fall die Zentripetalbeschleunigung nicht mehr zum Rotationszentrum zeigt und die Radialbeschleunigung nicht mehr senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor wirkt.
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