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BO90
Gast
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 BO90 Verfasst am: 01. Jul 2016 12:40 Titel: Energie und Leistung bei Luftwiderstand |
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Meine Frage:
Hallo an Alle!
Habe eine Frage bzgl. der Berechnung der Energiemenge bzw. Leistung zur Ueberwindung des Luftwiderstands bei Fahrzeugen.
E = (cw * A * rho/2) * v² * s
s ist dabei die zurueckgelegte Strecke
das was in Klammern ist, sind Konstanten. Denke soweit ist es richtig.
Nun das Problem bei der Sache, ich moechte die Energie bei der Beschleunigung von bspw. 30 auf 40 km/h berechnen und nicht bei konstanter Geschwindigkeit. die Strecke s hierfuer ist definiert. bspw. 50m.
Wie ihr seht kann man jedoch nur eine Geschwindigkeit einsetzen und nicht zwei.
Meine Ideen:
Nun meine Idee war es das Integral von E zuberechnen mit v als Variable.
Das integral getelit durch 1/obere minus untere Grenze !
E = (1/b-a)*(cw * A * rho/6) * v^3 * s
Da dies ja ein genaueren wert darstellt, als würde ich den mittelwert aus der ersten gleichung berechnen.
Nun meine Frage ob dieser Ansatz richtig ist:
denn laut P = F * v ist es falsch, hier lautet die Gleichung: P =(cw * A * rho/2) * v^3 * s
Unterschied liegt in rho/2 und nicht rho/6
Das Problem ist einfach, dass die Energiemenge die ich berechnen moechte nicht einfach bei einer konstanten geschwindigkeit sodern bei einer beschleunigung gemessen werden soll und ich nun verwirrt bin, ob meine intergration richtig war im hinblick auf die variaable.
denn: P * s = E |
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Nescio
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 279
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| Nescio Verfasst am: 01. Jul 2016 15:27 Titel: Re: Energie und Leistung bei Luftwiderstand |
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Hallo,
ich fasse mal deine Konstanten als neue Konstante c zusammen. Dann gilt bei konstanter Geschwindigkeit:
| BO90 hat Folgendes geschrieben: | | Nun meine Idee war es das Integral von E zuberechnen mit v als Variable. |
Ein Integral ist schon mal die richtige Idee, allerdings weiß ich ohne deine Rechnung nicht wie du auf das Ergebnis kommst. Dass 
falsch sein muss erkennt man jedoch schon an den Einheiten. Wenn als Energie die Einheit J hat, dann hat  die Einheit J*m/s, die Leistung muss aber die Einheit J/s haben.
Die Überlegung mit dem Integral funktioniert folgendermaßen:
Wir unterteilen die Stecke in viele sehr kleine (infinitesimale) Abschnitte der Länge ds. Auf einem so kurzen Abschnitt kann die Geschwindigkeit als konstant angenommen werden und es gilt für die Energie auf dem Streckenabschnitt  . Die insgesamt geleistete Arbeit erhält man, indem man die Energien aller Streckenabschnitte aufsummiert. Im Grenzfall unendlich vieler Abschnitte geht diese Summe in ein Integral über.
Die Gesamtenergie ist dann
ds) .
Wenn du die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Strecke s parametrisierst, kannst du die Energie bereits ausrechnen. Normalerweise hat man allerdings eher ) und ) in Abhängigkeit von der Zeit t gegeben. Man kann dann die Substitution ) ,  dt=v(t)dt) durchführen und erhält
dt) .
Wenn man annimmt, dass es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt mit =a=\text{const.}) , dann erhält man durch die Substitution ) , 
) .
Beachte, dass die letzte Gleichung nur für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt, während die ersten beiden Gleichungen allgemein gelten. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 01. Jul 2016 18:45 Titel: Re: Energie und Leistung bei Luftwiderstand |
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| BO90 hat Folgendes geschrieben: | | ich moechte die Energie bei der Beschleunigung von bspw. 30 auf 40 km/h berechnen und nicht bei konstanter Geschwindigkeit. die Strecke s hierfuer ist definiert. bspw. 50m. |
Wenn ich diese interessante Frage mal etwas abwandeln darf:
Welche Beschleunigung ist möglich bei einer Geschwindigkeit v und der Motorleistung P?
+P_R=m a v + b v^3{,}\ a(v)=\frac{P-b v^3}{mv}\cdots v_{max}=\sqrt[3]{\frac P b}) |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 01. Jul 2016 22:08 Titel: Re: Energie und Leistung bei Luftwiderstand |
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| Nescio hat Folgendes geschrieben: | Hallo,
ich fasse mal deine Konstanten als neue Konstante c zusammen. Dann gilt bei konstanter Geschwindigkeit:
| BO90 hat Folgendes geschrieben: | | Nun meine Idee war es das Integral von E zuberechnen mit v als Variable. |
Ein Integral ist schon mal die richtige Idee, allerdings weiß ich ohne deine Rechnung nicht wie du auf das Ergebnis kommst. Dass
falsch sein muss erkennt man jedoch schon an den Einheiten. Wenn als Energie die Einheit J hat, dann hat die Einheit J*m/s, die Leistung muss aber die Einheit J/s haben.
Die Überlegung mit dem Integral funktioniert folgendermaßen:
Wir unterteilen die Stecke in viele sehr kleine (infinitesimale) Abschnitte der Länge ds. Auf einem so kurzen Abschnitt kann die Geschwindigkeit als konstant angenommen werden und es gilt für die Energie auf dem Streckenabschnitt . Die insgesamt geleistete Arbeit erhält man, indem man die Energien aller Streckenabschnitte aufsummiert. Im Grenzfall unendlich vieler Abschnitte geht diese Summe in ein Integral über.
Die Gesamtenergie ist dann
.
Wenn du die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Strecke s parametrisierst, kannst du die Energie bereits ausrechnen. Normalerweise hat man allerdings eher und in Abhängigkeit von der Zeit t gegeben. Man kann dann die Substitution , durchführen und erhält
.
Wenn man annimmt, dass es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt mit , dann erhält man durch die Substitution ,
.
Beachte, dass die letzte Gleichung nur für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt, während die ersten beiden Gleichungen allgemein gelten. |
Wie soll a bestimmt werden.
Ich sehe das Problem so:
 = c\cdot v^{2})
 \cdot ds)
 = ?)
 = ?)
Wie substituieren? |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 01. Jul 2016 22:18 Titel: |
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Die Beschleunigung hängt natürlich von der Motorleistung ab (kann damit sogar negativ sein) und über diese ist nix bekannt - das war's also. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 02. Jul 2016 10:11 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | Die Beschleunigung hängt natürlich von der Motorleistung ab (kann damit sogar negativ sein) und über diese ist nix bekannt - das war's also. |
Stimmt!
Aber wie ist der vergleichsweise einfache Fall zu lösen, in dem ein Fahrzeug mit einer Anfangsgeschwindigkeit ausrollt. Wie lang ist unter Berücksichtigung des Luftwiderstands die Rollstrecke bis zum Stillstand?
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 02. Jul 2016 10:37 Titel: Re: Energie und Leistung bei Luftwiderstand |
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+b v^3=0{,}\ \int \frac {dv}{v^2}=-\frac b m \int dt\cdots\text{ :-)}) |
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Nescio
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 279
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| Nescio Verfasst am: 02. Jul 2016 11:30 Titel: Re: Energie und Leistung bei Luftwiderstand |
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Ich bin ehrlich gesagt davon ausgegangen, dass der Fragesteller eine bestimmte Bewegungsform s(t) gegeben hat.
| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Aber wie ist der vergleichsweise einfache Fall zu lösen, in dem ein Fahrzeug mit einer Anfangsgeschwindigkeit ausrollt. |
| franz hat Folgendes geschrieben: | }) |
Man kann sogar den allgemeinen Fall mit  genauso lösen, durch Trennung der Variablen.
DGL:
Trennung der Variablen:
Keine Ahnung wie man das Integral von Hand ausrechnet, aber Wolfram-Alpha kann immerhin eine Lösung angeben, welche nur aus elementaren Funktionen besteht (auch wenn diese ziemlich hässlich ist):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+m*v%2F(p-c*v%5E3)+dv
v(t) wäre damit immerhin als implizite Funktion definiert. |
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BO90
Gast
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| BO90 Verfasst am: 02. Jul 2016 11:52 Titel: |
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Ok. Glaube so kompliziert ist es nicht.
Klar ist P = F * v und ohne den weg s. Sorry für den Fehler.
Aber kann ich nicht einfach die Energie für den Luftwiderstand d.h.
E = rho/2 * cw * A * v^2 * s
nach v integrieren? Dann die Geschwindigkeiten einsetzten und davon den Mittelwert bilden, nach dem Prinzip der Integralrechnung mit Mittelwert.
Den ein reiner Mittelwert ist denke ich zu ungenau und das reine Integral würde die Einheiten verhauen.
Glaube mein Fehler liegt darin, das man Energie nicht nach der Geschwindigkeit aufleiten kann? Um die Energiemenge herausfinden, welche von v0 auf v1 benötigt wird.
Ja es geht um den Fahrzklyus NEFZ, die Beschleunigung ist hier linear nicht quadratisch oder kubisch. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 02. Jul 2016 12:11 Titel: |
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| BO90 hat Folgendes geschrieben: | | Aber kann ich nicht einfach die Energie für den Luftwiderstand d.h. E = rho/2 * cw * A * v^2 * s nach v integrieren? |
Nein.
Zur Leistung des Motors ist nullnix bekannt, damit könnte man die Aufgabe beenden und sich sämtliche mathematischen Spielereien im Grunde sparen.
Die halbwegs sinnvolle Annahme einer konstanten Motorleistung P habe ich oben versucht anzusprechen, zum Beispiel für v(t) von Nescio oder v_max(P). Offen ist auch noch die Ergänzungsfrage vom Mathefix zur Restlaufzeit bei ausgeschaltetem Motor P = 0.
PS Die wenig prickelnde Formulierung "E = rho/2 * cw * A * v^2 * s" würde ich lieber als Reibungsleistung etwa in der Art P_R = b v³ schreiben. |
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BO90
Gast
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| BO90 Verfasst am: 02. Jul 2016 12:21 Titel: |
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Also ich habe jetzt noch mal die Formeln durchgearbeitet.
Die Aufgabe ist herauszufinden, welche Energiemenge den benötigt wird, zur Überwindung eines des Luftwiderstands von 10 kmh auf 40 kmh.
die Formel mit E= Integral c/a v^3 dv, bringt mich ein schritt weiter. Nun die Frage auf a. Wenn ich weis, wie viele Meter ich für die Beschleunigung von 10 auf 40 habe, könnte ich doch die Beschleunigung herauskriegen? Die Streckenangabe habe ich. |
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Nescio
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 279
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| Nescio Verfasst am: 02. Jul 2016 12:40 Titel: |
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| BO90 hat Folgendes geschrieben: |
Die Aufgabe ist herauszufinden, welche Energiemenge den benötigt wird, zur Überwindung eines des Luftwiderstands von 10 kmh auf 40 kmh. |
Die Reibungsenergie hängt von dem genauen Verlauf s(t) bzw. v(t) der Bewegung ab. Ohne weitere Angaben kann man es also nicht ausrechnen. Wenn du nur eine grobe Abschätzung brauchst könntest du z.B. eine konstante Beschleunigung annehmen und die Formel aus meinem ersten Post verwenden. Oder du kannst eine konstante Leistung annehmen und die implizite Gleichung numerisch lösen.
| franz hat Folgendes geschrieben: | | Offen ist auch noch die Ergänzungsfrage vom Mathefix zur Restlaufzeit bei ausgeschaltetem Motor P = 0. |
=\sqrt[3]{\frac{2}{bt/m+C}})
=v_0)
=\int v(t) dt = \frac{3 m}{2^{2/3}b \left( \frac{m}{C m + b t^{2/3}} \right)} +\text{const.})
Das Fahrzeug rollt noch unendlich lange unendlich weit...
Zuletzt bearbeitet von Nescio am 02. Jul 2016 13:50, insgesamt einmal bearbeitet |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 02. Jul 2016 12:46 Titel: |
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| Nescio hat Folgendes geschrieben: |
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Nescio
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 279
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| Nescio Verfasst am: 02. Jul 2016 13:00 Titel: |
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Autsch, blöder Fehler...
also nochmal:
| franz hat Folgendes geschrieben: | | Offen ist auch noch die Ergänzungsfrage vom Mathefix zur Restlaufzeit bei ausgeschaltetem Motor P = 0. |
=\frac{1}{bt/m+C})
=\int v(t) dt = \frac{b}{m} \text{ln}(bt+Cm) +\text{const.})
Das Fahrzeug rollt noch unendlich lange unendlich weit...
Zuletzt bearbeitet von Nescio am 02. Jul 2016 13:50, insgesamt einmal bearbeitet |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 02. Jul 2016 13:11 Titel: |
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| Nescio hat Folgendes geschrieben: | Autsch, blöder Fehler...
also nochmal:
| franz hat Folgendes geschrieben: | | Offen ist auch noch die Ergänzungsfrage vom Mathefix zur Restlaufzeit bei ausgeschaltetem Motor P = 0. |
Das Fahrzeug rollt noch unendlich lange unendlich weit... |
Wie das denn?
Weder theoretisch noch praktisch nachvollziehbar.
Wir häten dann ein Perpetuum Mobile 1. Art. |
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Nescio
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 279
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| Nescio Verfasst am: 02. Jul 2016 13:22 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Wie das denn?
Weder theoretisch noch praktisch nachvollziehbar.
Wir häten dann ein Perpetuum Mobile 1. Art. |
Das stimmt, wenn du einen weiteren Fehler in der Rechnung entdecken kannst würde das weiterhelfen, ich sehe ihn jedenfalls nicht... |
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BO90
Gast
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| BO90 Verfasst am: 02. Jul 2016 14:27 Titel: |
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Ok, danke aber mit den komplexen Formeln kann ich leider keine großen Berechnung machen.
Nun setzten wir mal voraus, dass wir eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung haben. Wäre dies bspw. eine Beschleunigung in Form einer linearen Gleichung?
Könnt ihr diese Frage bitte beantworten?
Eine weitere Frage:
dt = 1/a dv, könnt ihr mir das erklären?
Ich leite s^2/m nach m/s ab? Wie kann ich mir das vorstellen? Kann einer von euch die Rechnung zeigen und den Sinn?
Danke vielmals! |
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Nescio
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 279
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| Nescio Verfasst am: 02. Jul 2016 14:31 Titel: |
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| Nescio hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Wie das denn?
Weder theoretisch noch praktisch nachvollziehbar.
Wir häten dann ein Perpetuum Mobile 1. Art. |
Das stimmt, wenn du einen weiteren Fehler in der Rechnung entdecken kannst würde das weiterhelfen, ich sehe ihn jedenfalls nicht... |
Das stimmt doch nicht. Wenn man mal die Formel zur Berechnung der Reibungsarbeit hernimmt, die ich in meinem ersten Post angegeben habe, bekommt man als Reibungsarbeit für t gegen unendlich die kinetische Energie die das Auto am Anfang hatte:
dt=\int_{0}^{\infty} b\left( \frac{1}{bt/m+C} \right)^3 dt=\frac{m}{2C^2}=\frac{mv_0^2}{2}) .
Also kein Perpetuum mobile ;D |
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Nescio
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 279
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| Nescio Verfasst am: 02. Jul 2016 14:55 Titel: |
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| BO90 hat Folgendes geschrieben: |
Nun setzten wir mal voraus, dass wir eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung haben. Wäre dies bspw. eine Beschleunigung in Form einer linearen Gleichung?
Könnt ihr diese Frage bitte beantworten? |
Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung gilt
=at+v_0) .
=\frac{at^2}{2}+v_0t+s_0) , wobei du s_0 hier gleich 0 setzen kannst.
Wenn du die Gleichungen passend ineinander einsetzt kannst du das t "rausscheißen", sodass du nur noch eine Gleichung mit der Strecke s,den beiden Geschwindigkeiten und der Beschleunigung a hast. Dann kannst du die Gleichung nach a auflösen.
| BO90 hat Folgendes geschrieben: |
Eine weitere Frage:
dt = 1/a dv, könnt ihr mir das erklären?
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Hattet ihr in der Schule noch nicht die Substitutionsregel? Dann würde ich einen anderen Vorschlag machen: Die Leistung ist
 .
Wenn du die Reibungsleistung über die Zeit integrierst erhälst du die Reibungsarbeit
dt) .
Jetzt musst du nur noch v(t) und die Grenzen einsetzen. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 02. Jul 2016 18:47 Titel: |
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| Nescio hat Folgendes geschrieben: | | BO90 hat Folgendes geschrieben: |
Nun setzten wir mal voraus, dass wir eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung haben. Wäre dies bspw. eine Beschleunigung in Form einer linearen Gleichung?
Könnt ihr diese Frage bitte beantworten? |
Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung gilt
.
, wobei du s_0 hier gleich 0 setzen kannst.
Wenn du die Gleichungen passend ineinander einsetzt kannst du das t "rausscheißen", sodass du nur noch eine Gleichung mit der Strecke s,den beiden Geschwindigkeiten und der Beschleunigung a hast. Dann kannst du die Gleichung nach a auflösen.
| BO90 hat Folgendes geschrieben: |
Eine weitere Frage:
dt = 1/a dv, könnt ihr mir das erklären?
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Hattet ihr in der Schule noch nicht die Substitutionsregel? Dann würde ich einen anderen Vorschlag machen: Die Leistung ist
.
Wenn du die Reibungsleistung über die Zeit integrierst erhälst du die Reibungsarbeit
.
Jetzt musst du nur noch v(t) und die Grenzen einsetzen. |
Dass ist ja easy.
Folgende Fragen:
1. Was ist für die Integrationsgrenze t_1 einzusetzen?
2. Wie lautet E_R(s) zur ERmittlung der Rollweite ? |
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Nescio
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 279
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| Nescio Verfasst am: 02. Jul 2016 20:40 Titel: |
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| BO90 hat Folgendes geschrieben: |
Folgende Fragen:
1. Was ist für die Integrationsgrenze t_1 einzusetzen?
2. Wie lautet E_R(s) zur ERmittlung der Rollweite ? |
1. Das ist der Zeitpunkt zud dem die Beschleunigung abgeschlossen ist. Die Dauer der Beschleunigung kannst du mit den beiden Formeln für die beschleunigte Bewegung ausrechnen.
2. Was meinst du mit Ermittlung der Rollweite? Die Beschleunigungsstrecke hast du doch in der Aufgabe gegeben... |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 02. Jul 2016 20:55 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | Das Fahrzeug rollt noch unendlich lange unendlich weit...
Wie das denn? |
Dieser Widerspruch zum realen Fahrverhalten besteht durchaus und das weist daraufhin, daß das Modell Luftwiderstand ~ v² nur begrenzt brauchbar ist (meinetwegen für normale Fahrgeschwindigkeiten) und bei sehr langsamer Bewegung ergänzt oder ersetzt werden muß durch die bekannte Rollreibung ... C’est la vie.
So, es geht los!!  |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1212
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| hansguckindieluft Verfasst am: 03. Jul 2016 14:37 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: |
Dieser Widerspruch zum realen Fahrverhalten besteht durchaus und das weist daraufhin, daß das Modell Luftwiderstand ~ v² nur begrenzt brauchbar ist (meinetwegen für normale Fahrgeschwindigkeiten) und bei sehr langsamer Bewegung ergänzt oder ersetzt werden muß durch die bekannte Rollreibung ... |
man könnte bei sehr langsamen Geschwindigkeiten auch einen Luftwiderstand ~ v annehmen. Komischerweise ist dann zwar die Anhaltzeit immer noch unendlich, nicht aber der Anhalteweg (uneigentliches Integral mit t=> unendlich).
Gruß |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 03. Jul 2016 20:43 Titel: |
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Immer im Spiel sind die Rollreibung gegen den Boden, die Reibung in den Lagern usw., die letztendlich vom Gewicht abhängen und das Fahrzeug ohne Antrieb wie erwartet zum Halten bringen. (Die Luftreibung ~ v² dominiert vermutlich bei höheren Geschwindigkeiten und an Stokes glaube ich in diesem Zusammenhang nicht.) |
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BO90
Gast
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| BO90 Verfasst am: 05. Jul 2016 10:19 Titel: Danke |
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Danke an alle.
eine letzte Frage habe ich noch:
ein Integral ist immer genauer als eine berechnung mit mittelwerten richtig?
In diesem Fall war die Berechnung mit der Formel mit v hoch, leider erst auf der 5. Kommastelle ungenau, Von daher haette ich gleich die mittelwertformel benutzen koennen...
danke vielmals fuer eure hilfe! |
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