Leiterplatte Widerstand Potential berechnen

Widderchen · Anmeldungsdatum: 08.04.2015 Beiträge: 193

Meine Frage:
Hallo,

Eine rechteckige Platte der Leitfähigkeit

befinde sich in der x-y-Ebene in dem Gebiet

. Durch eine externe Batterie der Spannung U und einer Elektrode am oberen Rand der Platte werde ein linear anwachsendes Potential der Form

aufrechterhalten. Die Normalkomponente des Stroms verschwinde an allen anderen drei Rändern. Berechne:

a) das Potential Phi(x,y) an jedem Punkt auf der Platte in Form einer Fourier-Reihe.

b) die Stromverteilung j an der Platte.

c) den elektr. Widerstand R der Anordnung, wenn h die Dicke der Platte ist und

.

Meine Ideen:
Zu a):

Zunächst habe ich die Laplace-Gleichung

über den Produktansatz böse

x) \cdot Y(y) "> und erhalte die zu lösende Dgl.

böse

x)} = - \frac{Y´´(y)}{Y(y)} = -s^2 ">, wobei s eine noch zu bestimmende Konstante ist. Diese DGl habe ich in die beiden Dgl

X''(x) + s^2 X (x) = 0 \,\,\,\,\, Y''(y) - s^2 Y (y) = 0 getrennt.

Die Lösungsansätze dieser Dgls lauten:

böse

x) = a_1 \cos(sx) + a_2 \sin(sx) \,\,\, Y(y) = b_1 \cosh(sy) + b_2 \sinh(sy) "> .

Anschließend habe ich die Randbedingungen genutzt, nämlich dass die partiellen Ableitungen des Potentials in x=0 y=0 und x=L_x verschwinden müssen. Nach langem Rechnen erhalte ich dann den Ausdruck:

Allerdings steht in einem Hinweis, dass die Catalansche Konstante in diesem Ergebnis auftauchen sollte. Das alternierende Vorzeichen habe ich in der Lösung, aber keine quadratische n-Abhängigkeit im Nenner!

Wo liegt der Fehler?? Kann mir jemand behilflich sein?

Viele Grüße
Widderchen

Widderchen · Anmeldungsdatum: 08.04.2015 Beiträge: 193

Hallo,

ich habe Aufgabenteil erneut durchgerechnet und bin zu dem oben genannten Ergebnis gekommen.
Allerdings besitzt die tatsächliche Lösung für Phi noch den Summanden

(vgl. den Summanden

) in der Fourier-Reihen-Darstellung. Doch das gegebene Potential ist hier eine asymmetrische Funktion (da von x abhängig), also müsste a_0 = 0 gelten, das habe ich auch rechnerisch geprüft.

Hinzu kommt das Problem, dass die Catalanische Zahl

nicht in meiner Lösung aufgefunden werden kann. Ist mein Lösungsansatz also falsch??

Könnte mir jemand schrittweise erklären, wie man dieses Problem löst? Mir gehen allmählich die Ansätze aus. grübelnd

Über jede Hilfe wäre ich dankbar.

Viele Grüße
Widderchen