Wie lange braucht der Stein für seinen Weg auf die Erde?

Quetzalcoatl · Anmeldungsdatum: 16.09.2014 Beiträge: 29

Hey Leute!!

Ich habe mal eine Frage:

Wenn ich einen Stein in einem radialsymmetrischen Gravitationsfeld habe, also a(r) = GM/r², wie lange braucht er dann bis er auf dem Boden aufschlägt?
Ich mein, wie kann man den Abstand r in r(t) setzen?
Denn nur dadurch kann man das nötige integral für die Geschwindigkeit (v(r(t)) aufstellen, sodass man dann Integral(v(r(t))) hat, sodass man dann s(r(t)) erhält.
Nur wie erhält man r(t)?

JTR

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18164

Nun, es gibt mehrere Möglichkeiten

1) Lösen der Newtonschen Bewegungsgleichung F = ma für r(t), Berechnung von v(t) sowie Bestimmung der Falldauer. Das ist recht kompliziert, da i) die DGL für r(t) aufgrund a(t) von zweiter Ordnung und ii) aufgrund der Form von F(r) nichtlinear ist.

2) Verwenden des Energiesatzes E = T + U = const. Die kin. Energie T enthält v, und wg. E = const. kann man direkt nach v(r) auflösen.

Die Falldauer berechnet man dann gemäß

Quetzalcoatl · Anmeldungsdatum: 16.09.2014 Beiträge: 29

Also meinst du dann, dass

, dass dann in das Integral einfügen, und ausrechnen?
Aber dann kommt ja so etwas wie

heraus...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18164

Schreib doch mal deine komplette Rechnung auf. Das sieht irgendwie nicht richtig aus.

Quetzalcoatl · Anmeldungsdatum: 16.09.2014 Beiträge: 29

TomS:
Ach mist, ja klar:
Ich hab in dem Integral von dr/v(r) das v(r) durch

ersetzt. dann hast du ja nichts anderes als

.
Und dann hab ich den Vorfaktor

vergessen! Big Laugh

Somit ist ist das Integral dann

.
Dann muss man natürlich noch Obergrenze minus Untergrenze rechnen, aber da ist es ja klar was da herauskommt, weswegen ich das jetzt nicht auch noch hinschreiben will!^^

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18164

Das stimmt M.E. immer noch nicht.

Ich hab' dich evtl. oben mit der zweimaligen Verwendung von T verwirrt. Hab' das korrigiert. Sorry.

Quetzalcoatl · Anmeldungsdatum: 16.09.2014 Beiträge: 29

@TomS:
Aber v(r) ist ja bekanntlich sqrt(GM/r).
Dann setzt du das einfach in deinem Integral(dr/v(r)) ein, erhältst Integral(Wurzel(r/GM))dr und hast dann t(r) = 2/3*Wurzel(r³/GM).
(Ich setze jetzt für den nächsten Schritt r = R+h.)
Dann noch Obergrenze minus Untergrenze, und du erhälst 2/3*((Wurzel((R+h)³)-Wurzel((R³))/Wurzel(GM) = t(h)

Ich hab jetzt keinen Bock auf den Editor, sorry.

Aber wenn du das jetzt mal mit einigen Werten ausrechnest, siehst du einfach, dass ich irgendwas gravierendes verkehrt gemacht hab, oder, was ich wirklich nicht glaube, dass du nen Denkfehler drin hast, denn:
Wenn du einen Stein aus 5 Metern höhe runterfallen lässt, braucht er knapp eine Sekunde bis nach unten. Wurzel(2*5m : 9,81m/s²)
Wenn ich das jetzt allerdings in meine Formel einsetze, kommt da 6,324 *10^-4 Sekunden raus, und das kann ja so irgendwie nicht stimmen!
Entweder ich muss die Integralgrenzen aders setzen, wodurch ich jedoch ein negatives Ergebnis erhalten würde, da R<R+h, oder ich kann nicht mehr rechnen! Big Laugh

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18164

Ich verstehe nicht, was du rechnest. Ich denke, dass bereits dein Ansatz nicht korrekt ist.

Also zunächst mal gehe ich aus von der allgemeinen Formel

Dann setzen wir den Energiesatz im Gravitationsfeld an

Für den freien Fall aus der Ruhe von r_a bis r folgt

Auflösen nach v(r) liefert zunächst

Und das musst du jetzt in die obige Formel für die Fallzeit einsetzen

Quetzalcoatl · Anmeldungsdatum: 16.09.2014 Beiträge: 29

Ich hab für v(r) einfach Wurzel(GM/r) genommen, und dann bei dt/dr für dr eingesetzt dann sofort über r integriert.
Ich hab die ganze Zeit verplant, dass ja Die Lageenergie U nicht komplett in die kinetische Energie T umgewandelt wird, weil beim Boden ja schluss ist. (Das hab ich die ganze Zeit nicht bedacht.)

Aber ich hab mir das Integral gerade mal bei Wolframalpha geben lassen! Big Laugh

Es sieht furchtbar aus! Big Laugh

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18164

Quetzalcoatl · Anmeldungsdatum: 16.09.2014 Beiträge: 29

TomS:
Klar, aber du brauchst ja die Ober- und Untergrenze für das Integral, und somit auch den Boden, das meinte ich.

In deinem Integral ist dein

nur eine Konstante, ne? also

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18164

Ja, natürlich brauche in Grenzen.

r_a ist irgendein Abstand vom Erdmittelpunkt, und r ist irgendein Abstand kleiner r_a. Ich kann das Integral durchaus für eine punktförmige Zentralmasse bis r = 0 betrachten. Und ich muss nicht mit einer Fallhöhe h über dem Erdboden bei r_E argumentieren.

Da dein Ansatz falsch ist, ich aber nie mit Höhe, Boden u.ä. argumentiert habe, kann darin auch nicht die Ursache für deinen Fehler liegen. Dein Ansatz für die Fallgeschwindigkeit ist falsch. Und meines Erachtens liegt dein Fehler darin, dass du den Tem mit r_a - das entspricht dem Startpunkt - nicht berücksichtigt hast.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18164