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Teddy05
Anmeldungsdatum: 22.09.2014
Beiträge: 4
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 Teddy05 Verfasst am: 22. Sep 2014 22:24 Titel: Schwingungsdauer und Auslenkung beim physikalischen Pendel |
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Meine Frage:
Hallo,
ich habe einige Frage über das physikalische Pendel. Gibt es eigentlich die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Auslenkung?
Meine Ideen:
Es gilt für die Auslenkungen, die <15 Grad ist:
Aber wie kann ich die Schwingungsdauer berechnen, wenn die Auslenkung z.B 30 Grad ist? Und gibt es direkte oder indirekte Proportionalität bei der Auslenkung die >15 Grad?
Danke  |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 23. Sep 2014 00:31 Titel: |
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Die bekannten Formeln zum Pendel beruhen auf dem Modell des harmonischen Oszillators. Dieses Modell wird dabei annähernd erreicht für sehr kleine Auslenkungen (ohne eine genaue "Grenze": Je kleiner, desto besser).
Für größere Auslenkungen funktioniert das Modell nicht, es gibt keine einzelne Sinusschwingungen mehr, keine Schwingungsdauer im bisherigen Sinn usw. Die Theorie dieser andersartigen (nichtlinearen oder anharmonischen) Schwingungen zeigt Überlagerungen mit verschiedenen Frequenzen, die ihrerseits u.a. von den Amplituden abhängen. (Interessant ist dort zum Beispiel auch ein andersartiges Resonanzverhalten.) |
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 23. Sep 2014 08:32 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | keine Schwingungsdauer im bisherigen Sinn. |
Selbstverständlich schwingt auch ein Pendel bei großen Ausschlägen periodisch, mit einer wohldefinierten Schwingungsdauer. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 23. Sep 2014 10:27 Titel: |
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Das ist richtig, mit den entsprechenden Werten der Jacobi'schen elliptischen Funktionen - abhängig von den jeweiligen Anfangsbedingungen. Es scheint mir jedoch wichtig, daß dem Fragesteller vermittelt wird, daß hier Schluß ist mit den vertrauten sinusförmigen Bewegungen bzw. den Frequenzen und die "Periodendauer" damit eine andere, allgemeinere Bedeutung erlangt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 23. Sep 2014 13:15 Titel: |
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Wie so oft ist die deutsche Wikipedia grottig schlecht.
Ich denke man muss zwei wesentliche Punkte beachten. Zum einen muss ggf. die Idealisierung eines ausdehungslosen Massenpunktes aufgegeben werden. Zum zweiten, und das ist wesentlich wichtiger, muss die lineare Näherung für kleine Winkel theta aufgegeben werden. D.h. man muss die exakte DGL
lösen bzw. daraus die Pendeldauer ableiten. Das Ergebnis lautet
 =\frac{\sqrt{2}}{\omega}\int_{-\theta_0}^{\theta_0}\frac{d\theta}{\sqrt{\cos\theta - \cos\theta_0}} )
und dies kann mittels geeigneter Substitution in ein elliptisches Integral erster Art umgeformt werden:
 =\frac{4}{\omega}K\left(\sin\frac{\theta_0}{2}\right))
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 26. Sep 2014 07:13 Titel: |
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OT
Diese Hinweise sind, wie immer, sehr interessant, erreichen aber meines Erachtens den Fragesteller nicht mehr.
Werfen wir mal einen Blick in ein weitverbreitetes Tafelwerk Sek. II, "Mechanische Schwingungen". Im Kern steht dort
y = y_max * sin (omega * t + varphi_0)
v = y_max * omega * cos (omega * t + varphi_0) und so weiter; ein paar Bezeichnungen und Beispiele. Das ganze setzt sich fort bei Wechselströmen, Wellen et. Mehr nicht!
Der heutige ordentliche / fleißige / durchschnittliche Abiturient identifiziert also nach meinem Eindruck Schwingungen mit harmonischen Schwingungen und das reicht eigentlich auch - solange nur gebetsmühlenartig an deren Grenzen erinnert wird.
mfG |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 26. Sep 2014 07:21 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | - solange nur gebetsmühlenartig an deren Grenzen erinnert wird. |
Genau ;-)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 26. Sep 2014 17:06 Titel: |
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Vielleicht kann man es anschaulich ganz gut an einem Phasendiagramm erklären:
 http://www.joachim-bolz.de/projekte/mnuvortrag/mp2_s.gif
Auf der Abszisse ist der Ausschlag aufgetragen, auf der Ordinate seine zeitliche Änderung (Ableitung). Bei harmonischen Schwingungen ist z.B. der Ausschlag eine Sinusfunktion der Zeit und seine Ableitung eine Cosinusfunktion. Bekanntlich wird auf diese Weise ein Kreis parametrisiert (geometrische Def. von Sinus und Cosinus am Einheitskreis!), mit unterschiedlichen Amplituden ist es eine Ellipse mit Schwerpunkt im Ursprung.
Wie das beim math. Pendel ist, erkennt man, indem man den Pfeilen folgt: Nahe beim Ursprung erhält man Ellipsen. Weiter außen entarten diese immer mehr. Wenn man es schließlich schnell genug macht (also den Startpunkt auf der Ordinate weiter oben wählt), bekommt man eine ganz andere Form, es kommt zum Überschwung.
Ich habe leider auf die Schnelle kein besseres Diagramm gefunden. Praktisch wäre natürlich, das Phasendiagramm eines harmonischen Oszillators daneben zu haben.
@Teddy05: Man kann das elliptische Integral, das TomS angegeben hat (und das du auch in Standardwerken der Mechanik findest), als Reihe entwickeln. Dann ist die Lösung
^2 \sin^2 \tfrac{\phi_0}{2} + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4 \tfrac{\phi_0}{2} + \left( \frac{1\cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right)^2 \sin^6 \tfrac{\phi_0}{2} + \dots \right))
Die nächste Näherung ist also:
 ) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 27. Sep 2014 09:17 Titel: |
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Danke für die Idee mit dem Phasendiagramm
| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Praktisch wäre natürlich, das Phasendiagramm eines harmonischen Oszillators daneben zu haben. |
Bitteschön: http://mathworld.wolfram.com/PhasePortrait.html
Man erkennt sehr schön, dass beide für kleine Amplituden in sehr guter Näherung übereinstimmen.
Wichtig ist, dass man die Koordinaten versteht; x entspricht dem Winkel, y der Winkelgeschwindigkeit.
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Teddy05
Anmeldungsdatum: 22.09.2014
Beiträge: 4
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| Teddy05 Verfasst am: 28. Sep 2014 01:06 Titel: |
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Danke alle für die Hilfe , ich hab noch einige Frage.
Ich verstehe nicht, wieso die Ergebnis von meinem Experiment und von der Berechnung anders ist. Beim Experiment ist die Schwingungsdauer gleich, obwohl ich die große Auslenkungen verwendet habe (20,30,40,50). Aber das gerechnete Ergebnis zeigt, dass die Schwingungsdauer kleiner wird, wenn die Auslenkungen größer sind. Welche Eigentlich ist richtig? und kann man bitte erklären, warum das so ist?
Danke sehr alle |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 28. Sep 2014 01:19 Titel: |
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| Teddy05 hat Folgendes geschrieben: | | Aber das gerechnete Ergebnis zeigt, dass die Schwingungsdauer kleiner wird, wenn die Auslenkungen größer sind. |
umgekehrt, siehe oben |
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Teddy05
Anmeldungsdatum: 22.09.2014
Beiträge: 4
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| Teddy05 Verfasst am: 28. Sep 2014 08:26 Titel: |
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aber wieso das Ergebnis zwischen ihnen anders ist? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 28. Sep 2014 08:32 Titel: |
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| Teddy05 hat Folgendes geschrieben: | | Beim Experiment ist die Schwingungsdauer gleich, obwohl ich die große Auslenkungen verwendet habe (20,30,40,50). |
Berechne doch mal beide Funktionen, d.h. einmal ohne und einmal mit Korrekturtermen, und mach dir die Größenordnung der Abweichung klar. Dann überleg' dir mal, wie präzise deine Messung bzw. wie groß dein Messfehler ist.
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 28. Sep 2014 12:12 Titel: |
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Beim Experiment sind die Zeiten auch größer, wenn die Auslenkung größer wird. Nur: Überleg dir mal, wie klein die Korrekturterme sind! Sagen wir, deine Auslenkung ist 90°, d.h.  . Dann sollte die Periodendauer laut Formel gerade mal um ca. 15% größer sein.
Teddy05, wie viele Periodendauern wurden denn mit welcher Stoppgenauigkeit gemessen? Aus Erfahrung kann ich dir sagen, dass die Genauigkeit beim Stoppen (vorausgesetzt, die Stoppuhr ist entsprechend präzise) ca. 0,05s beträgt. Das hängt natürlich auch von der Messmethode ab: Am genauesten ist es meistens, den Nulldurchlauf zu stoppen, also Start und Stopp in dem Punkt, in dem das Pendel die Gleichgewichtslage durchläuft. Sagen wir, dein Pendel ist 1m lang. Dann hast du eine Periodendauer von ziemlich genau 2s. Bei Auslenkungen von 50° ist die Korrektur etwa ^2}{16} \approx 0{,}048 = 4{,}8\,{}^0\!\!/\!\!_{\,0}) (OT: wieso akzeptiert LaTeX \% nicht?), d.h. etwa 0,1s. Wenn du Glück hast, ist das nachweisbar, wenn du schon eine Periode stoppst. Sagen wir, du stoppst 20 Perioden, dann hast du eine relative Unsicherheit der Periodendauer von etwa 0,13%. Nimm nun den kleinsten Winkel 20°: Für ihn beträgt die Korrektur etwa 0,7%. Selbst diese Abweichung sollte sich damit deutlich nachweisen lassen.
TomS, danke für die Phasendiagramme! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 28. Sep 2014 15:37 Titel: |
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Ich hab's nochmal im Winkelbereich [0,180] geplottet. Die quadratische Näherung in Phi ist bei 50 Grad schon nicht mehr so gut. Aber man erkennt, dass die Abweichungen noch sehr klein sind.
Bzgl. der Messgenauigkeit natürlich am besten ein Pendel mit möglichst kleiner Frequenz benutzen. Dann wie gesagt die Nulldurchgänge stoppen. Und ggf. mehrere Schwingungsperioden nutzen. Das resultiert zwar in einer kleinen Messungenauigkeit des maximalen Auslenkwinkels, da dieser aufgrund der Reibung leicht abnimmt. Du hast aber dafür eine deutlich höhere Präzision bei der Zeit, da sich die Messunsicherheit von absolut 0.05 sek. nicht mehr auf 1 sek. sondern z.B. auf 10 sek. bezieht.
http://m.wolframalpha.com/input/
Plot K[Sin[(2*Pi*x)/(2*360)]] from 0 to 180
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 28. Sep 2014 21:41 Titel: |
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OT
| Jayk hat Folgendes geschrieben: |  (OT: wieso akzeptiert LaTeX \% nicht?) |
Was spricht gegen diverse \text...{%} Varianten? |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 29. Sep 2014 00:58 Titel: |
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OT:
| franz hat Folgendes geschrieben: | | Was spricht gegen diverse \text...{%} Varianten? |
Ich war nicht mal auf die Idee gekommen, das zu probieren, weil ich damit gerechnet habe, dass LaTeX % wie normalerweise als Kommentarzeichen interpretiert.^^ Normalerweise muss man \% eingeben für ein Prozentzeichen, aber hier im Forum hat der Parser gemeckert, dass das End-of-File zu schnell erreicht wurde...
Aber % funktioniert tatsächlich. |
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Teddy05
Anmeldungsdatum: 22.09.2014
Beiträge: 4
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| Teddy05 Verfasst am: 03. Okt 2014 14:02 Titel: |
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@Jayk
Die nächste Näherung ist also:
 )
aber es gilt für Fadenpendel oder? ist das auch so bei physikalischen Pendel?
 )
Wie kann man  ) bekommen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 03. Okt 2014 14:43 Titel: |
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Die erste Möglichkeit wäre eine Störungsreihe der DGL im kubischen Term. Dabei ist nicht von vorneherein klar, ob das vernünftig funktioniert.
Die zweite Möglichkeit wäre die direkte Taylorentwicklung von K.
Die dritte Möglichkeit wäre, den Cosinus im Integral, das auf K führt, zu entwickeln. Dabei ist nicht klar, ob die weiteren Terme ihrerseits direkt integrierbar sind.
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