Erhaltungssätze

ASIL · Gast

Meine Frage:
Ein System von Teilchen mit Massen

, i=1,...,N ist gegeben. Auf das i-te Teilchen kann sowohl eine äußere Kraft

wirken, als auch die Summe der Wechselwirkungskräfte

. Dabei ist

die Kraft, die das j-te Teilchen auf das Teilchen i ausübt. Hierfür soll das 3. Newtonsche Gesetz (actio=reactio) gelten, und die Richtung von

soll diejenige der Verbindungsgeraden zwischen Teilchen i und Teilchen j sein.
a) Zeige: Wenn alle äußeren Kräfte null sind, also

=0 für i=1,...,N, dann ist der Gesamtdrehimpuls

eine Erhaltungsgröße.
b) Kann es auch den Fall geben, dass die äußeren Kräfte nicht verschwinden und der Drehimpuls L dennoch erhalten ist?
c) Zeige: Wenn alle Kräfte konservativ sind, z.B. :

und

, dann ist die Gesamtenergie:

Meine Ideen:
Ich finde die Aufgabe wirklich sehr verwirrend und bräuchte dringend Hilfe dabei.
Also, erstmal die a):
Wie komme ich auf die Summen-Formel für den Gesamtdrehimpuls? Ich würde jetzt mit der Formel L=rxp ansetzen, aber wie soll ich weitermachen?
Und kann ich mit dL/dt=M=0 zeigen, dass L eine Erhaltungsgröße ist?

Ich freue mich über jeden, der mir helfen möchte smile

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8584

Der Drehimpuls des i-ten Teilchens ist

.
Der Gesamtdrehimpuls dann die Summe aller Einzeldrehimpulse.

Und ja, um zu zeigen dass es eine Erhaltungsgröße ist, musst du zeigen dass dL/dt=0.

ASIL · Gast

a) Das heißt ich setzte jetzt an "dL/dt=" und leite dann erstmal L ab (Muss ich da den ganzen Term mit der Summe ableiten oder reicht es fürs i-te Teilchen??) und irgendwie kommt dann null? Aber da benutze ich ja nirgends die Tatsache, dass die äußeren Kräfte alle null sind?

Oder arbeite ich da mit dem Drehmoment und sage: dL/dt=M=rxF ? Und wenn alle äußeren Kräfte null sind, gilt ja F=0, also rxF=rx0, also dL/dt=0? Aber irgendwie wäre das ja zu einfach oder??

b) Kann ich die b) dann mit Hilfe der a) beantworten oder müsste ich die eigentlich auch schon so wissen?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8584

Ja, Du musst die Ableitung explizit ausrechnen, und ja, wenn Du das machst, wirst Du vermutlich sehen wie (b) zu beantworten ist.

ASIL · Gast

Okay, schon mal vielen Dank, dass du mir hilfst jh8979.

Also, ich bin jetzt dabei L abzueleiten.
Dafür wollte ich das Summenzeichen vorerst weglassen und dann an den abgeleiteten Term wieder dazufügen.

Also:

Gut... was mir jetzt noch einfällt: Die äußeren Kräfte sind null, das heißt es wirkt keine Beschleunigung (F=m*a) und deshalb fällt der "vordere" Term weg und ich habe nur noch:

. Irgendwie müsste ich das doch auch noch auf null bekommen oder?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8584

Das

ist ein Kreuzprodukt, kein Skalarprodukt. Und die Äußeren Kräfte sind zwar Null, aber nicht die zweite Ableitung von r_i, da noch die Kräfte zwischen den Teilchen wirken...

ASIL · Gast

Okay, das heißt ich hab's komplett falsch abgeleitet? unglücklich

ich weiß jetzt echt nicht, wie ich weitermachen soll... Keine Ahnung wie ich anders ableiten soll, bzw. wie ich die Kräfte miteinbringe, wenn nicht über F=m*a

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8584

ueber F=m*a ist schon richtig, aber F sind nicht nur die Äußeren Kräfte, sondern die Summe über alle Kräfte, also die Äußeren und die WW zwischen den Teilchen.

ASIL · Gast

Aber hebt sich die WW nicht auf, weil auf jedes Teilchen "von links und rechts" die gleiche Kraft wirkt?
Wie komme ich jetzt auf die richtige Ableitung? Ich habe das Kreuzprodukt einfach als Mal angesehen, wie geht es denn richtig?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8584