Thermodynamik und Integrale

butcher · Anmeldungsdatum: 24.09.2004 Beiträge: 6

Hallo zusammen,

habe ein kleines Problem.

Zuerst mal die Beschreibung der physikalischen Randbedingungen:

Mit einem Schraubenverdichter soll in einem konstanten Volumen der Druck der Luft von p1=pamb auf p2=11 bar erhöht werden. Dabei ist gegeben der Volumenstrom des Verdichters. Angenommen wird der Zustand der Luft vor Eintritt in den Behälter mit Normbedingungen.
Gesucht wird die Zeit, bis dieser Vorgang abgeschlossen ist.

Ich habe folgende Überlegungen und Rechnungen angestellt:

Die Masse ermittelt sich aus dem Integral des Volumen nach d(Rho) (Dichte). Dies ist gleich dem Massestrom mal der Zeit. Ich will nach der Zeit auflösen.

Aus der Zustandsgleichung für ideale Gase folgt: Rho=p/(R*T)
Unter der Annahme T=konst. ergibt die Ableitung: d(Rho)=dp/(R*T)

Dies in das Integral eingesetzt und aufgelöst führt zu: V/(R*T)*(p2-p1)=Massestrom*t. Der Massestrom kann als Dichte mal Volumenstrom und damit als p1*Volumenstrom/(R*T) geschrieben werden.

Somit ergibt sich t=V*(p2-p1)/p1*Volumenstrom

Wenn ich T nicht konst. lasse, muss die Quotienten-Regel herhalten und die Ableitung der Dichte ergibt: d(Rho)=1/R*(Tdp-pdT)/T²=
dp/(R*T)-pdT/(R*T²)

Setze ich dies ins Integral ein, stehen im Integral sowohl dp als auch dT. Wie dies elegant auslösen kann, weiß ich nicht und wäre für jede Hilfe dankbar

Bruce · Anmeldungsdatum: 20.07.2004 Beiträge: 537

Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann liegt das folgende Problem vor:

Der Luftdruck in einem Behälter mit dem festen Volumen V soll von p1 auf p2
erhöht werden. Dazu leitet man Luft durch einen Schraubenverdichter (wie das
Ding funktioniert, ist für dein Problem wahrscheinlich nebensächlich und mir
auch gar nicht bekannt) in den Behälter. Der Verdichter komprimiert die Luft
(ich nehme mal an auf p2 ??) und diese komprimierte Luft strömt in den Behälter.

Was ich hier nicht verstehe: Was ist der Volumenstrom des Verdichters ?
Ist das die Luftmenge, die pro Zeiteinheit durch den Eingang in den Verdichter
einströmt oder die Luftmenge, die pro Zeiteinheit aus dem Verdichter in den
Behälter einströmt. Ich sehe keinen zwingenden Grund, warum beide Luftmengen
gleich sein sollten.

Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann läuft dein Problem darauf hinaus,
unter der Voraussetzung, das das ideale Gasgesetz PV=nRT hier angemessen ist
(thermisches Gleichgewicht bei Strömungen?), die DGL

zu lösen. Die Zeitableitungen des Drucks und der Temperatur sind noch nicht bekannt
und müssen aus der Problemstellung abgeleitet werden.

Willst Du jetzt wissen, wie man diese DGL bei bekannten Zeitableitungen für P und T
löst oder suchst Du noch diese Zeitableitungen?

Gruß von Bruce.

Gast

Hi Bruce,

also der Volumenstrom ist hier die Luftmenge, die pro Zeiteinheit in den Behälter einströmt.

Ich suche eigentlich noch die Zeitableitungen für p und T.

Bruce · Anmeldungsdatum: 20.07.2004 Beiträge: 537

Und dieser Volumenstrom ist konstant,
d.h in den Behälter fließt in jeder Sekunde
die gleiche Anzahl von Luftmolekülen, oder nicht?

@edit
Ach ja, ich habe noch vergessen zu fragen, mit welcher Temperatur
das Gas aus dem Verdichter in den Behälter einströmt. Soll die auch
aus dem idealen Gasgesetz berechnet werden. Wenn die Temperatur
des einstömenden Gases höher ist als die des Gases im Behälter,
dann gibt es tatsächlich was zu rechnen, ansonsten ist das Problem
doch simpel, oder?

Die Differentialgleichung da oben (Beitrag vorher) wird dich leider
keinen Schritt weiter führen. Damit kommst Du nicht weiter als
mit dem idealen Gasgesetz!

Gruß von Bruce.