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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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 Jayk Verfasst am: 04. März 2014 23:13 Titel: Eindeutigkeit der Hamiltonfunktion |
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Ich habe ein Problem, zu dem ich leider nirgends eine Lösung finde (ich schreibe das mal gleich dazu: Mich interessiert hier erst mal nur klassische Mechanik). Die Hamiltonfunktion ist ja definiert als
 = \sum_i p_i \dot q_i - L ,)
wobei die verallgemeinerten Geschwindigkeiten  durch die verallgemeinerten Impulse auszudrücken sind. Mein Problem ist: Wodurch ist garantiert, dass dies möglich ist?
Die Lagrangefunktion ist ja im Normalfall ) mit  . Damit wären die konjugierten Impulse  . Zusammenfassend könnte man das auch so schreiben:  (p und dot-q sind hier Vektoren aus dem  , _{i, j} \in \mathbb R^{f \times f}) ). Wodurch ist dann garantiert, dass dieses lineare Gleichungssystem eindeutig nach  aufgelöst werden kann? Sprich: Wodurch ist garantiert, dass  ?
Ich vermute, es hat etwas mit der Art der Zwangsbedingung zu tun, durch die die verallgemeinerten Koordinaten festgelegt werden. Ist das richtig? Wenn ja, hat vielleicht jemand einen Tipp, wie man zur Eindeutigkeit der Darstellung durch die Impulse kommt?
Außerdem ist das Problem hier ja schon etwas speziell. Wie allgemein darf man werden? Ich habe ja noch die Vermutung, dass diese Eindeutigkeit viel mehr etwas mit den Eigenschaften der Legendre-Transformation zu tun hat (die ja nur auf konvexe Funktionen angewandt werden kann). |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8586
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| jh8979 Verfasst am: 04. März 2014 23:22 Titel: Re: Eindeutigkeit der Hamiltonfunktion |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Wodurch ist dann garantiert, dass dieses lineare Gleichungssystem eindeutig nach aufgelöst werden kann? Sprich: Wodurch ist garantiert, dass ? |
So allgemein ist das vermutlich gar nicht garantiert und auch gar nicht immer der Fall. Das ist z.B. eines der Probleme bei der Quantisierung des EM-Feldes:  taucht nicht in der Lagrangefunktion auf.
Allerdings sieht man leicht, dass dies z.B. immer garantiert ist fuer "klassische" Probleme der Form: )
(in beliebigen Dimensionen mit zeit- und geschwindigkeitsunabhängigen Zwangsbedingungen)
I.A. kann das ganze vermutlich jedoch selbst in der klassischen Mechanik sehr kompliziert werden. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 04. März 2014 23:53 Titel: Re: Eindeutigkeit der Hamiltonfunktion |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Wodurch ist dann garantiert, dass dieses lineare Gleichungssystem eindeutig nach aufgelöst werden kann? Sprich: Wodurch ist garantiert, dass ? |
So allgemein ist das vermutlich gar nicht garantiert und auch gar nicht immer der Fall. Das ist z.B. eines der Probleme bei der Quantisierung des EM-Feldes: taucht nicht in der Lagrangefunktion auf. |
Das ist doch aber nicht schlimm, oder? Dann ist eben der entsprechende Impuls null, aber dann verschwindet ja der ganze Summand in der Hamiltonfunktion (weil mit null multipliziert). Also klar, das von mir formulierte Problem ist dann nicht lösbar, aber das ergibt sich ja dann auch gar nicht erst.^^
An den Fall habe ich natürlich nicht gedacht. Du schreibst "man sieht leicht"... WIE leicht? Ich werde morgen mal versuchen, genannte Zwangsbedingungen ins Spiel zu bringen, aber bereits jetzt war der Rechenaufwand z.B. für die  ganz schön hoch (ich hatte dann gemerkt, dass ich natürlich nicht einfach m=1 setzen darf, da ja mehrere Teilchen beteiligt sein können, daher hatte ich mein Ergebnis nicht gepostet, aber ich hatte schon eins für diesen Fall und selbst in diesen einfacheren Fall sehe ich nicht so leicht, wieso das Problem lösbar ist). |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8586
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| jh8979 Verfasst am: 04. März 2014 23:58 Titel: Re: Eindeutigkeit der Hamiltonfunktion |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: |
Das ist doch aber nicht schlimm, oder? Dann ist eben der entsprechende Impuls null, aber dann verschwindet ja der ganze Summand in der Hamiltonfunktion (weil mit null multipliziert). Also klar, das von mir formulierte Problem ist dann nicht lösbar, aber das ergibt sich ja dann auch gar nicht erst.^^
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In der klassischen Mechanik in der Tat nicht, aber in der QM schon, da man dort etwas wie [p,x]=i*hbar haben will. Aber da Du erstmal vom klassischen ausgingst hast Du vermutlich recht und das war kein gutes Beispiel (nur das erste das mir in der Hinsicht einfiel).
| Zitat: |
An den Fall habe ich natürlich nicht gedacht. Du schreibst "man sieht leicht"... WIE leicht? |
Sehr leicht (es reicht ein Satz um es zu zeigen). Was zum Nachdenken für dich  |
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