Masse-Feder-System

GalvanisFrösche · Anmeldungsdatum: 05.06.2015 Beiträge: 22

Meine Frage:
Hallo Physiker,

ich bin neu hier und habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Eine Masse m_1 ist an eine Feder mit Ruhelänge a und Federkonstante k gebunden, die wiederum an eine Masse m2 gebunden ist. Die zweite Masse ist über eine identische Feder mit dem Boden verbunden. Die Massen können sich reibungsfrei entlang einer Stange senkrecht zum Boden bewegen und unterliegen der Schwerkraft.
Stellen Sie die Lagrange-Funktion des Systems auf und bestimmen Sie die Matrizen der kinetischen und der potentiellen Energie für Schwingungen um die Ruhelage.
Hier die Originalskizze der Aufgabenstellung:

http://www.fotos-hochladen.net/uploads/sheet7verschoqwe72g0zfp.jpg

Meine Ideen:
Die kinetische Energie:

und die potentielle Energie:

dann folgt die Lagrangefunktion:

Daraus folgt:

Daraus erhält man zwei Bewegungsgleichungen:

Leider weiss ich aus einer anderen Quelle dass die Bewegungsgleichungen lauten müssen:

Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?

Vielen Dank für jegliche Hilfe

erkü · Anmeldungsdatum: 23.03.2008 Beiträge: 1414

GalvanisFrösche · Anmeldungsdatum: 05.06.2015 Beiträge: 22

Das wird nicht erklärt: nur folgendes....

http://img5.fotos-hochladen.net/uploads/1axtcn6edq0f.jpg

grübelnd

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8578

Mal davon abgesehen von ein paar Tipp(?)fehlen in Deinen Bewegungsgleichungen:
Deine potentielle Energie ist falsch.

GalvanisFrösche · Anmeldungsdatum: 05.06.2015 Beiträge: 22

Sry für den einen Tippfehler:

So solltes es lauten.

Wie lautet dann die potentielle Enerige, wenn nicht:

Khaleb · Anmeldungsdatum: 01.05.2015 Beiträge: 64

1) wo steckt (im potential) Deiner lagrangefunktion die feder der masse m2
2) wo kommt in der potentiellen energie die ruhelage a der feder vor
3) wo kommt im potential die gravitation der erde vor?
Mir fehlt fas alles.
Am besten langsam vorgehen.
Potentielle energie der feder zwischen m2 und boden, potentielle energie der feder zwischen m1 und m2, potential der masse m2 auf grund der erdanziehung, potential der masse m1 auf grund der erdanziehung.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8578

GalvanisFrösche · Anmeldungsdatum: 05.06.2015 Beiträge: 22

1) Die Masse m_2 hat die Masse m.
2) Ich dachte die kommt erst in der Lösung der Bewegungsgleichung vor.. Keine Ahnung, wie könnte man die Ruhelage einbringen??
3)Im Potential könnte man in der Tat einfügen:

dann hätte man auch über a die Ruhelage eingebracht smile

GalvanisFrösche · Anmeldungsdatum: 05.06.2015 Beiträge: 22

Das Potential hatte ich mir folgendermaßen hergeleitet:

Wegen:

Daraus folgt:

Fehler?

und dann habe ich nur überlegt wie sich die Lage bei zwei bewegten Masse verändert und habe für

Khaleb · Anmeldungsdatum: 01.05.2015 Beiträge: 64

Welche bedingung müssen x1 und x2 erfüllen damit die feder zwischen m1 und m2 entspannt ist , also keine kraft ausübt und damit keine energie gespeichert hat ?

GalvanisFrösche · Anmeldungsdatum: 05.06.2015 Beiträge: 22

Beide müssen sich in Ruhelage befinden...

Khaleb · Anmeldungsdatum: 01.05.2015 Beiträge: 64

Kannst du das in eine formel fassen und in der angabe nachschauen ob die dir was darüber verrät?

GalvanisFrösche · Anmeldungsdatum: 05.06.2015 Beiträge: 22

Potential Feder m_2 und Boden:

Potential Feder m_1 und m_2:

Potential m_2 Erdanziehung:

Potential m_1 Erdanziehung:

Khaleb · Anmeldungsdatum: 01.05.2015 Beiträge: 64

Falls das noch zu viele schritte auf einmal sind: welche länge l soll die feder laut angabe haben, damit sie entspannt ist ? du verwechselst da was, a bezieht sich auf die feder ganz alleine, ohne gravitation oder so

GalvanisFrösche · Anmeldungsdatum: 05.06.2015 Beiträge: 22

Die Länge a.

Khaleb · Anmeldungsdatum: 01.05.2015 Beiträge: 64

Wie hängt die länge der feder zwischen m1 und m2 mit x1 und x2 zusammen? l = f(x1,x2) ? Also x1 ist die höhe der masse 1 über dem boden und x2 ist die höhe der masse 2 über dem boden und die feder ist an einem ende mit der masse 1 verbunden und am anseren ende mit der masse 2. Das ist jetzt unabhängig davon ob die feder entspannt ist oder nicht!

Khaleb · Anmeldungsdatum: 01.05.2015 Beiträge: 64

Als nächstes wollen wir dann einen ausdruck für die in einer feder gespeicherten potentiellen energie finden, als funktion ihrer länge l und mit der ruhelage a und der federkonstante k als parameter also einen formel v = V( l, k, a). Wenn die länge l gleich a ist ist die feder entspannt und v = 0, die potentielle energie steigt mit dem quadrat der differenz der länge von der ruhelänge und zwar mit dem proportionalitätsfaktor k, wie würdest du das in eine formel packen?

erkü · Anmeldungsdatum: 23.03.2008 Beiträge: 1414

Khaleb · Anmeldungsdatum: 01.05.2015 Beiträge: 64

Erkü, bei dir sind die federn entspannt und damit ohne gespeicherte energie wenn sie länge null haben, aber laut angabe und wie galvanisfrösche geschrieben hat sollte die energie null sein wenn die federn die länge a haben. Und ausserdem bestimmt x1 nicht direkt eine federlänge. Herumraten ist nicht beispiel lösen. Man muss das auf ganz kleine schritte herunterbrechen und jeden einzelnen davon verstehen. Erst wenn man sehr geübt sit sollte man wenn überhaupt mehrere schritte zusammenfassen.

Khaleb · Anmeldungsdatum: 01.05.2015 Beiträge: 64

Also, die potentielle energie einer feder mit federkonstante k und der länge l die bei der länge a entspannt und damit energielos ist lautet

wie gewünscht ist die potentielle energie bei l=a genau null. l -a ist was galvanisfrösche oben als x bezeichnet. Jetzt muss man noch den zusammenhang zwischen den längen der beiden federn und x1 sowie x2 finden und dann einsetzen.

erkü · Anmeldungsdatum: 23.03.2008 Beiträge: 1414

@ Khaleb

Die Nulllänge von Federn und sonstige Nulllagen (Ruhelagen) interessieren mich nicht.
Zunge

Ich konzentriere mich auf die (absoluten) Wechselgrößen !

Khaleb · Anmeldungsdatum: 01.05.2015 Beiträge: 64

Ist jetzt nur die frage wieso deine formel dann falsch ist, denn von x1 alleine hängt leider keine federlänge und damit auch kein federpotential ab.
Wenn später was wegfällt schafft das der lagrangeformalismus von ganz alleine.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8578

GalvanisFrösche · Anmeldungsdatum: 05.06.2015 Beiträge: 22

Khaleb · Anmeldungsdatum: 01.05.2015 Beiträge: 64

Aus der schlampigen zeichnung geht das nicht hervor, da gibts weder koordinatensysteme mit pfeilen, nicht mal eine richtung ob x2 jetzt nach oben oder nach unten gezählt werden soll.Ich interpretiere x2 als die höhe der masse m2 über grund um x1 als die höhe der masse 1 über grund, d.h ich habe ein koordinatensystem wo

nach oben zeigt und vom boden aus weggezählt wird. Natürlich kann man jederzeit transformieren, d.h. Ich kann auf koordinaten übergehen wo bei

vond dort weggezählt wird wo beide federn entspannt sind, also von a und 2a weg, und wieder nach oben positiv. Oder ich kann von den beiden punkten Der gleichgewichtslage wegzählen, wobei die feder zwischnen m2 und boden von beiden massen nach u ten gedrückt wird, und von dort ausgehend die feder zwischen m1 und m2 von der gewichtskraft der masse m1 zusammengepresst. Das sind einfache koordinatentransformationen und als solche ein eigener rechenschritt. Ich bevorzuge zuerst mal die allererste intepratation.
Als gilt für die Feder zwischen m2 und boden l = x2 und

und für die in der feder zwischen m1 und m2 l = x1-x2 und für die gespeicherten energie gilt

. Wie das in der angabe gemeint ist must du allerdings selbst wissen. Die von mir gewählten koordinaten sind halt die höhen über grund und die potentiale sind die tatsächlich in den federn gespeicherten energien und nicht irgendwelche abstrakten rechengrössen.

GalvanisFrösche · Anmeldungsdatum: 05.06.2015 Beiträge: 22

Ok ich nehme deinen Vorschlag an und wähle das KO-System so. Dann habe ich folgende Potentiale:

oder ist das zu viel / zu wenig?

Das Gesamtpotential wäre dann

Khaleb · Anmeldungsdatum: 01.05.2015 Beiträge: 64

Das gravitationspotential ist, wenn man das gravitationsfeld näherungsweise als konstant auffasst, mgh mit h als höhe über dem bezugsniveau. Als bezugsniveau würde ich wieder den erdboden nehmen, damit wird für masse1 das gravitationspotential

und analog

,Oder?

GalvanisFrösche · Anmeldungsdatum: 05.06.2015 Beiträge: 22

Khaleb · Anmeldungsdatum: 01.05.2015 Beiträge: 64

Jetzt kan man, wenn man lustig ist, noch koordinatentransformationen durchführen, zum beispiel könnte man die

auf die rubelagen beziehen die sich dort befinden wo die beschleunigungen verschwinden. Unter umständen kanmn man auch

realtiv zu

messen mit der länge der feder zwischen m1 und m2 in rubelage als nullpunkt, was dann die formel für die kinetische enrgie ändert. Und man kann die potentiellen energien renormieren indem man konstante terme hinzufügt oder abzählt, wenn sich dadurch etwas vereinfacht. Laut angabe sind ja matrizen der kinetischen und der potentiellen energie gefragt, also matrizen von quadratischen formen der zeitableitungen der koordinaten bzw. Der koordinaten, oder ?

GalvanisFrösche · Anmeldungsdatum: 05.06.2015 Beiträge: 22

Khaleb · Anmeldungsdatum: 01.05.2015 Beiträge: 64

Also du hast jetzt zwar die bewegungsgleichungen in matrixform aufgeschrieben, aber als matrizen der kinetischen energie und der potentiellen energie hätte ich mir etwas erwartet wie

und

erwartet, oder? grübelnd

(konstanten in der potentiellen energie kann man durch renormierung wegbringen)

GalvanisFrösche · Anmeldungsdatum: 05.06.2015 Beiträge: 22

Khaleb · Anmeldungsdatum: 01.05.2015 Beiträge: 64

Ich seh in deinem ersten posting nicht dass man die gleichungen auch lösen soll, da steht nur dass man die matrizen der energien bestimmen soll. Ich denke die glieder erster ordnung in der potentiellen energie meiner formel (die

) bekommt man mit einer transformation

weg( in der kinetischen energie ändert sich dadurch nix weil die konstanten

bei der zeitableitung rausfallen), und die entstehenden neuen konstanten glieder eliminiert man wieder mit einer renormierung der potentiellen energie weg ( in dem man sie einfach weglässt), würd mich interessieren was da rauskommt. Also man setzt die

als unbekannte an und bestimmt sie so dass die linearen glieder in den

wegfallen.

GalvanisFrösche · Anmeldungsdatum: 05.06.2015 Beiträge: 22

Khaleb · Anmeldungsdatum: 01.05.2015 Beiträge: 64

Galvanisfrosch, die potentielle energie soll sich vereinfachen zu

also nur produkte von

enthalten und keine terme mit

alleine durch die koordinatenverschiebung. Rauskommen sollte meiner meinung nach dass du in die gleichgewichtslagen verschieben musst, denk ich. smile

(und in den bewegungsgleichungen haben dir doch diese konstanten terme Irgendwie nicht gefallen, oder?)

GalvanisFrösche · Anmeldungsdatum: 05.06.2015 Beiträge: 22

Khaleb · Anmeldungsdatum: 01.05.2015 Beiträge: 64

Du setzt in der Formel für die potentiell energie

ein und bestimmts die

dann so dass die linearen glieder in den

verschwinden.

GalvanisFrösche · Anmeldungsdatum: 05.06.2015 Beiträge: 22

Khaleb · Anmeldungsdatum: 01.05.2015 Beiträge: 64

Also, in beiden möglichkeiten streichts du In deiner formel für V zuerst alle terme die konstant sind, also nicht von

und

abhängen. Deine begründung dafüri ist: ich renormiere die potentielle energie um einen konstanten wert, eben die summe aller eben gestrichenen terme.

Dann kommt möglichkeit 1: du bist an den konkreten werten der

interessiert. Dann musst du zuerst die summe der terme die nur

in der ersten potenz haben herausnehmen (koeffizientenvergleich) und null setzen und bekommst die erste gleichung für die

. das selbe machst du mit den termen die nur

in der ersten potenz enthalten und bekommst die 2.gleichung. Dieses lineare gleichungssystem löst du und bekommst die beiden

. Jetzt hast du die komplette punkttransformation. Die potentielle energie mit diesen werten hat dann keine linearen terme in

. Wenn du die werte für

in die ursprüngliche bewegungsgleichung einsetzt solltest du sehen dass an dieser stelle die beschleunigung verschwindet und du genau auf die gleichgewichtslage transformiert hast.

Möglichkeit 2 ist die faule: du bist an den konkreten werten der

nicht interessiert. Du nimmst an das sich ergebende gleichungssystem für die

von oben sei lösbar und du hättest die werte ausgerechnet und streichst mit dieser begründung die terme die linear in

sind weil die

ja genau das null werden der summe dieser terme bewirken.

Jedenfalls sieht dann die potentielle enenergie folgendermassen aus (genau deine obige formel nur sind die konstanten und die in

linearen terme gestrichen):

schaut doch gleich viel einfacher aus, nicht? Wenn du damit die bewegungsgleichungen bildest siehts du dass bei

die beschleunigung verschwindet und das daher die gleichgewichtslage ist. Ah ja, und Diese formel der potentiellen energie musst du noch in matrixform bringen.

GalvanisFrösche · Anmeldungsdatum: 05.06.2015 Beiträge: 22

Gut Danke dann kam man tatsächlich auf die oben erwähnte Bewegungsgleichung