Potentielle Energie im System mit Umlenkrollen?

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Aufgabe zur Klausurvorbereitung in einem Buch gefunden, bei der es Potentielle Energie geht. Das betreffende System hat zwei Umlenkrollen.
Hier der Aufgaben-Text und die Zeichnung des Systems: http://www.upl.co/uploads/Epot-mit-Umlenkrolle.png

Leider sind keine Lösungen da und ich komme irgendwie nicht voran.

Könnt ihr mir helfen?

Grüße
Scaer93

Meine Ideen:
zu a)
habe ich schon drüber nachgedacht, jedoch weiß ich nicht, wie ich x_2 durch x_1 ausdrücken soll, denn laut Bild ist x_1 ? x_2 + c. Da fehlt noch der Teil von den Massen.
Mehr kann ich hier leider nicht beisteuern:-(

zu b) Ich weiß, dass V = -Erste Ableitung der Kraft. Daher würde ich V nach x_1 Integrieren und das dann 0 setzten. Im Anschluss nach X_1 umformen. Aber Summe heißt doch immer mind. 2 Kräfte, wo hole ich die zweite her?

zu c. Sollte sich dann ja aus a) und b) ergeben. Wird vermutlich eine Gespiegelte Wurzelfunktion sein, die je nach Alpha, beta und gamma im 1 oder 3 Quadranten verläuft, oder?

Packo · Gast

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Hi,

das Fragezechen sollte eigentlich ein Ungleich sein. Mit dem "Teil der Masse" meine ich nicht die Masse selber, sondern die Länge der Masse. Für mich sieht das auf dem Bild einfach so aus, als ob man noch Maße der Masse brauch, um x_1 und x_2 auszudrücken.

Oder etwa nicht? Denn x_1 ist nicht gleich x_2 + c, jedenfalls auf dem Bild.

Kannst du mir weiterhelfen?

Packo · Gast

Das ist doch nicht so schwer.
Ich schreibe für die Seillänge L anstatt l

also

daraus

Das Potenzial

und da kann man noch eine beliebige Konstante γ addieren.

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Ja, dass was du schreibst sieht gut aus. Leider sehe ich nicht, wie du auf die Beziehung für L=2*sqrt(x_2^2 + d^2) kommst.

L setzt sich ja aus x_1 und dem Dreieck zwischen A und B zusammen. Aber wie ich dann auf den Ausdruck von dir komme ist mir nicht klar.

Könntest du das noch mal erklären?

Danke und Grüße

Packo · Gast

Tut mir Leid. Es muss natürlich heißen:

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Ah, dann ist das ja klar. Hab schon gedacht, ich wäre jetzt völlig doof.

So kann ich natürlich umformen und bekomme dann folgendes:

m_1*g*x_1 - m_2*sqrt(0,25*(L-x_1)^(2) - d^(2) ) - gamma

Dann müsste ich ja für a) noch sagen:
Setzte Gamme beliebig,
Setzte -alpha = m_1*g
Setzte beta=m_2

Dann sieht das genau so aus, wie in meiner Aufgabe.
Stimmt's so?

zu b)

Da Kraft = negative Ableitung des Potentials, müsste ich mein V doch gleich 0 setzten und dann nach x_1 Auflösen?
Leider klappt das nicht. Ich habe ja mehrere x_1 und bekomme es nicht isoliert, wegen den gammas, betas und Alphas.

Kannst du mir da noch mal helfen?

Die Beziehung zwischen m_1 und m_2 müsste sich dann ja automatisch ergeben.

Danke und Grüße
[/latex]

Packo · Gast

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Ja, da hast du recht. Da habe ich mich vertippt.

Es ändert aber ja nichts daran, dass wenn ich mit den Konstanten Alpha, beta und gamma rechne (also so, wie V in der Aufgabe steht), am Ende nicht zu x_1 = ... komme, da ich immer irgendwo die Konstanten im Weg habe.

Stimmt denn das, was ich vorher geschrieben habe? V einfach 0 setzten?

ich komme dann nämlich auf:
0,25*beta^(2)*L^2-0,5beta^(2)Lx_1+0,25beta^(2)x_1^(2)-2gamma*alpha*x_1-alpha^(2)x_1^(2)=gamma^(2)+beta*d^(2)

Könntest du mir da noch helfen?

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Leider habe ich immer noch das Problem, die Gleichung nach x_1 umzustellen. Irgendwo bleibt immer ein x_1 stehen.

Könntet ihr Lieben Menschen aus dem Forum hier mir noch mal helfen?

Packo · Gast

In der Gleichgewichtslage muss nicht V=0 sein sondern das Potenzial muss dort einen Extremwert annehmen.
Du musst also V(x1) nach x1 ableiten und gleich 0 setzen.

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Danke sehr für die Antwort.

Das war mir mittlerweile auch aufgefallen, jedoch bleibt auch in der Ableitung das Problem bestehen.

a=alpha, b=beta und g=gamma

Ich habe V(x)= -ax-b*sqrt(0,25*(L-x)^(2)-d^(2))-g

Die Ableitung nach x wäre:

V(X)'= -a-b*sqrt(0,25*(L-x)^(2)-d^(2)) * (0,5*x - 0,5*L) = 0

<=> -b*sqrt(0,25*(L-x)^(2)-d^(2)) * (0,5*x - 0,5*L) = a
<=> sqrt(0,25*(L-x)^(2)-d^(2)) * (0,5*x - 0,5*L) = -a/b
<=> (0,25*(L-x)^(2)-d^(2)) * (0,5*x - 0,5*L)^(2) = (-a/b)^(2)

und ab hier habe ich dann immer das Problem, dass irgendwo immer ein x bleibt.

Könntest du mir da noch mal helfen?

Packo · Gast

Ableiten geht ein wenig anders (siehe Schulmathematik).

Wir haben:

daraus x1 = ...
und auch direkt

die Antwort auf die letzte Frage.

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Ja, danke sehr. jetzt kommen sinnige Dinge heraus.

Nur frage ich mich, warum du jetzt beim Potential andere Vorzeichen hast, als vorher bei deinem Post auf Seite 1?

Woran liegt das?
Du schreibst ja: mgx_1 - mgx_2 jetzt hast du aber -mgx_1 + mgx_2

Gruß

Packo · Gast

Richtigstellung der Vorzeichen.
In der Aufgabe wird mit V die potenzielle Energie (und nicht das Potenzial) bezeichnet.
x1 und x2 sind gegenläufig. d.h. x1= -k*x2 (mit k>0).
Wenn man also x2 durch x1 ausdrückt, muss man die Lösung

einsetzen und erhält

mit der Ableitung

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Ja, jetzt ist alles klar. Der Fehler mit den Vorzeichen bei mir war ziemlich dumm. Ich löse die Aufgaben immer auf einem Schmierzettel zunächst und das "Schmieren" ist dort wirklich Programm. Die vom Nachdifferenzeiren stammende -1 habe ich der falschen Zeile zugeordnet...

Vielen Dank für die Hilfe.

Gruß