| Autor |
Nachricht |
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
 TruEnemy Verfasst am: 02. Dez 2012 09:33 Titel: Thermodynamisches System im Magnetfeld - Suszeptibilitäten |
 |
|
Hallo!
Meine Frage:
Ein thermodynamisches System befinde sich in einem Magnetfeld H und
habe die Magnetisierung M. Welches Vorzeichen haben die Suszeptibilitäten:
_{T, V} )
_{S, V} )
Hinweis: Man leite die entsprechenden Maxwell-Relationen ab und erinnere
sich an die entsprechende Berechnung der spefizischen Wärmekapazitäten.
Mein Ansatz:
Um ehrlich zu sein, habe ich mit Magnetfeldern und Magnetisierungen in
der Thermodynamik bisher so gut wie nichts am Hut gehabt. Ich kenne
wobei chi hier einfach eine Verhältnisgröße ist. Aus den partiellen Ablei-
tungen oben folgere ich naiver Weise mal, ob auch richtig oder falsch
 = -S dT - p dV + \chi_T dH ) oder
 = T dS - p dV + \chi_S dH ) oder
 = T dS - S dT - p dV + \chi dH )
Den Hinweis finde ich komisch. Um die Maxwell-Relationen herleiten zu
können, brauche ich ja zuerst ein Mal das Differential von M, um dann
den Satz von Schwarz anwenden zu können (so zumindest haben wir
in der Vorlesung die anderen Maxwell-Relationen hergeleitet). Aber was
hier nun die Berechnung der spezifischen Wärmekapazitäten sucht ...  
Danke!
Grüsse!
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
 |
pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
|
| pressure Verfasst am: 02. Dez 2012 11:39 Titel: |
|
|
|
Die Frage sollte eher lautet, wie tritt die Magnetisierung im totalen Differential der inneren Energie auf? |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 02. Dez 2012 17:05 Titel: |
|
|
Nun, als Quelle dient mir aktuell nur Wikipedia, worin steht:
 = TdS - pdV + \mu dN + HdM )
 = - SdT - pdV + \mu dN - M dH )
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe
Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 02. Dez 2012 17:18, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 02. Dez 2012 19:07 Titel: |
|
|
Wenn ich mir eine exemplarische Herleitung einer Maxwell-Beziehung
http://de.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Beziehung#exemplarische_Herleitung
noch ein Mal so anschaue, wüsste ich ehrlich gesagt nicht, was mir das
diese Spielerei bezüglich der Vorzeichen der Suszeptibilitäten bringen würde.
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
spinator
Gast
|
| spinator Verfasst am: 02. Dez 2012 20:05 Titel: |
|
|
| TruEnemy hat Folgendes geschrieben: | Wenn ich mir eine exemplarische Herleitung einer Maxwell-Beziehung
de.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Beziehung#exemplarische_Herleitung
noch ein Mal so anschaue, wüsste ich ehrlich gesagt nicht, was mir das
diese Spielerei bezüglich der Vorzeichen der Suszeptibilitäten bringen würde. |
Die Maxwell-Beziehung brauchst Du nur zur Berechung der Differenz der Suszeptibilitäten.
Für die anderen beiden Vorzeichen mußt Du die Extremaleigenschaft von E im thermodynamischen Gleichgewicht benutzen. |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 02. Dez 2012 20:16 Titel: |
|
|
Unter dem Stichwort Extremaleigenschaft meinst Du wohl, dass bei einem
ageschlossenen thermodynamischen System im GGW die (innere) Energie
bei konstanter Gesamtentropie minimal ist, d.h., dass  ist, oder?
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
spinator
Gast
|
| spinator Verfasst am: 02. Dez 2012 21:10 Titel: |
|
|
| TruEnemy hat Folgendes geschrieben: | Unter dem Stichwort Extremaleigenschaft meinst Du wohl, dass bei einem
ageschlossenen thermodynamischen System im GGW die (innere) Energie
bei konstanter Gesamtentropie minimal ist, d.h., dass ist, oder? |
Äh, so ungefähr. Ich meine, daß E(S,V,M) eine konvexe Funktion ist. |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 02. Dez 2012 21:42 Titel: |
|
|
Konvexe Funktion, mhm. Also ... was haben wir nun:
 = \left( \frac{\partial}{\partial S} E \right)_{V, M} + \left( \frac{\partial}{\partial V} E \right)_{S, M} + \left( \frac{\partial}{\partial M} E \right)_{S, V} = T dS - pdV + H dM )
_{S, V} = H )
_{S, V} = \left( \frac{\partial}{\partial M} H\right)_{S, V} = \frac{1}{\chi_S} )
_{S, V} = \chi_S )
So, da E im GGW minimal ist (konvexe Funktion) also
dE kleiner gleich Null ist, ist die zweite partielle Ableitung
von E nach M (was chi ist) automatisch größer Null. Stimm's?
Ich nun nur nicht, wie ich formal chi_T herleite. Benutze ich
da dann einfach das Differential der freien Energie?
 = - SdT - pdV - M dH )
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
spinator
Gast
|
| spinator Verfasst am: 02. Dez 2012 22:24 Titel: |
|
|
| TruEnemy hat Folgendes geschrieben: | So, da E im GGW minimal ist (konvexe Funktion) also
dE kleiner gleich Null ist,
|
Oje. Ich muß sagen, ich bin ein bißchen ratlos. Habt ihr das in der Vorlesung nicht behandelt? Schwänzt Du? Habt Ihr kein Skript?
| Zitat: | ist die zweite partielle Ableitung
von E nach M (was chi ist) automatisch größer Null. Stimm's?
|
Das stimmt.
| Zitat: | Ich nun nur nicht, wie ich formal chi_T herleite. Benutze ich
da dann einfach das Differential der freien Energie?
|
Du mußt zeigen, daß auch F(T,V,M) = E - TS bezüglich M konvex ist.
(Wenn Ihr das nicht schon in der Vorlesung gemacht habt.)
| Zitat: |  = - SdT - pdV + \mu dN - M dH ) |
Vorsicht, das ist nicht das Differential der freie Energie, wie ich sie oben
geschrieben habe. |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 02. Dez 2012 22:33 Titel: |
|
|
 = \left( \frac{\partial}{\partial T} F \right)_{V, H} + \left( \frac{\partial}{\partial V} F \right)_{T, H} + \left( \frac{\partial}{\partial H} F \right)_{T, V} = -S dT - p dV - M dH )
_{T, V} = - M )
_{T, V} = -\left(\frac{\partial}{\partial H} M \right)_{T, V} = - \chi_T )
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 02. Dez 2012 22:38 Titel: |
|
|
Sorry, habe deinen Post erst nach meiner letzten Antwort gesehen.
| spinator hat Folgendes geschrieben: | | Oje. Ich muß sagen, ich bin ein bißchen ratlos. Habt ihr das in der Vorlesung nicht behandelt? Schwänzt Du? Habt Ihr kein Skript? |
Haben wir WAS denn genau nicht in der Vorlesung behandelt? Du wirfst
mir einfach das Wort "Extremalbedingung" vor die Füße, ich kenne das
nicht und Google gibt mir dazu auch kaum etwas Brauchbares, nur komi-
sche mathematische Sätze. Sorry, ich fühle mich aber etwas angegriffen,
wenn man mir vorwirft, ich würde die Vorlesung schwänzen.
| Zitat: | | Du mußt zeigen, daß auch F(T,V,M) = E - TS bezüglich M konvex ist. (Wenn Ihr das nicht schon in der Vorlesung gemacht habt.) |
Nein, haben wir nicht gemacht, die Begriffe "konvex, konkav" kamen nie vor.
| Zitat: | Vorsicht, das ist nicht das Differential der freie Energie, wie ich sie oben
geschrieben habe. |
So ist es aber unter http://de.wikipedia.org/wiki/Freie_Energie angegeben.
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
spinator
Gast
|
| spinator Verfasst am: 02. Dez 2012 23:08 Titel: |
|
|
| TruEnemy hat Folgendes geschrieben: |
Sorry, ich fühle mich aber etwas angegriffen,
wenn man mir vorwirft, ich würde die Vorlesung schwänzen.
|
Entschuldigung, das war nicht meine Absicht.
| spinator hat Folgendes geschrieben: | | TruEnemy hat Folgendes geschrieben: | ist die zweite partielle Ableitung
von E nach M (was chi ist) automatisch größer Null. Stimm's?
|
Das stimmt.
|
Wobei, wenn ich es recht bedenke, die magnetische Suszeptibiltät bei Diamagneten bekanntlich negativ ist.
Irgendwas scheint doch nicht zu stimmen; sorry. |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 02. Dez 2012 23:11 Titel: |
|
|
Schon OK. Etwas spät ist es auch  Nur will ich heute unbedingt
noch auf die Lösung kommen. Sind beide Rechnungen denn for-
mal richtig? Ich muss nur noch das Vorzeichen begründen, oder?
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 02. Dez 2012 23:42 Titel: |
|
|
Verwirrung.  = T dS - p dV + H dM ) ist das
Ausgangsdifferential,  = T dS - p dV - MdH )
ist eine Legendre-TF.  = -S dT - pdV - M dH )
ist also die Legendre-TF von dE*. Aber egal was ich nun verwende ...
 = \left( \frac{\partial}{\partial T} F^* \right)_{V, H} + \left( \frac{\partial}{\partial V} F^* \right)_{T, H} + \left( \frac{\partial}{\partial H} F^* \right)_{T, V} = -S dT - p dV - M dH )
_{T, V} = - M )
_{T, V} = -\left(\frac{\partial}{\partial H} M \right)_{T, V} = - \chi_T )
ICH kann hier halt nur mit der zweiten Ableitung arugmentieren: E ist eine
konvexe Funktion, somit ist die erste Ableitung von E gleich und die zweite
größer Null. Aber wieso ist E eine konvexe Funktion? Weil E immer minimal
sein will. Reicht das denn nicht, um die Vorzeichen herzuleiten/begründen?
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 03. Dez 2012 08:13 Titel: |
|
|
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
spinator
Gast
|
| spinator Verfasst am: 03. Dez 2012 20:06 Titel: |
|
|
Nochmal zur Aufgabe:
E(S,V,M) ist also nicht konvex. Gut zu wissen.
Offenbar muß man die Energie des Magnetfeldes mit berücksichtigen.
Ich setze also dE = TdS - pdV + HdB. H und B sind hier eigentlich Felder, aber egal.
Jetzt ist E(S,V,B) konvex, oder ich versteh die Welt nicht mehr. Dann ist
mit
folgt
Et voila...
| TruEnemy hat Folgendes geschrieben: |
ICH kann hier halt nur mit der zweiten Ableitung arugmentieren: E ist eine
konvexe Funktion, somit ist die erste Ableitung von E gleich und die zweite
größer Null. Aber wieso ist E eine konvexe Funktion? Weil E immer minimal
sein will. Reicht das denn nicht, um die Vorzeichen herzuleiten/begründen? |
Man muß unterscheiden: E(S,V,B) gibt die Energie nur im Gleichgewicht. Daneben gibt es zu jedem Tripel (S,V,B) viele Nicht-Gleichgewichts-Zustände, die eben eine höhere Energie haben. Daraus kann man schließen, daß E(S,V,B) konvex ist. Wie das genau geht, sollte in jedem vernünftigen Buch über Thermodynamik stehen.
Mich wundert, daß Du sagst, Ihr hättet das nicht gehabt, denn ich wüßte nicht, wie man die Aufgabe ohne das lösen soll. Wenn Ihr die Aufgabe besprochen habt, kannst Du das ja mal hier erkären; das würde mich interessieren. |
|
|
TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
|
| TruEnemy Verfasst am: 14. Dez 2012 11:13 Titel: |
|
|
Zunächst muss ich mich noch für Deine Antwort bedanken, und mich danach dafür
entschuldigen, dass ich nicht mehr geschrieben habe. Ich war einige Tage krank.
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
