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Krachi
Anmeldungsdatum: 26.02.2012
Beiträge: 215
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 Krachi Verfasst am: 13. Okt 2012 17:35 Titel: Wozu die 4. Dimension? |
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Hallo zusammen!
Wir haben gerade lineare Algebra (Abijahrgang), im dreidimensionalem Raum. Ich habe mehrmals schon über Andwendungen im vierdimensionalem Raum gehört. Warum und wo macht man das (Anwendungsgebiete)? Die vierte Dimension entzieht sich doch der menschlichen Vorstellungskraft, warum also so abstrakt rechnen? Physikalische und technische Beispiele wären echt cool!  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18198
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| TomS Verfasst am: 13. Okt 2012 18:07 Titel: |
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Na ja, rechnen kann man mit beliebig vielen, sogar unendlich vielen Dimensionen. Die Frage ist, was es bedeutet.
In der Relativitätstheorie stellt man fest, das man eine sehr kompakte und elegante mathematische Notation erhält, wenn man die Zeit t als neue Koordinate mit hinzunimmt:
)
Wozu ist das gut?
U.a. kann man zunächst Drehungen der räumlichen Komponenten beschreiben; "Drehungen" die die Zeit mit einbeziehen repäsentieren sogenannte Boosts, also Transformationen zwischen Bezugssystemen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit.
Dann kan man die Länge eines rein räumlichen Vektors bestimmen. Eine wesentlich interessantere Eigenschaft ist aber das "Längenquadrat" eines vierdimensionalen Vektors
|^2 = (ct)^2 - |\vec{x}|^2)
Anführungszeichen wegen des Minus-Zeichens; s² kann kleiner Null sein!
Um die Bedeutung alles zu verstehen muss man sich aber wirklich mit Relativitätstheorie beschäftigen
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5063
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| DrStupid Verfasst am: 13. Okt 2012 19:39 Titel: Re: Wozu die 4. Dimension? |
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In der Computergrafik wird gern mit vier Dimensionen gearbeitet, um mit Matrizenoperationen (die von GPUs sehr schnell berechnet werden) auch Translationen im dreidimensionalen Raum realisieren zu können.
Ansonsten kann man so ziemlich aus allem ein mehr als dreidimensionales Problem machen, was von mehr als drei Parametern abhängt. Beispielsweise kann man stöchimetrische Rechnungen in der Chemie als Vektorgleichungen formulierungen, wobei so viele Dimensionen auftreten, wie chemische Elemente beteiligt sind. Für Menschen ist das zwar nicht so handlich, wie eine intuitive Lösung, aber Computer kommen damit um so besser klar. |
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MI
Anmeldungsdatum: 03.11.2004
Beiträge: 828
Wohnort: München
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| MI Verfasst am: 13. Okt 2012 22:14 Titel: |
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Vielleicht noch ein drittes Beispiel (jetzt ohne speziellen Fokus auf vier Dimensionen, sondern eher 1,2,3,... Dimensionen):
Was DrStupid sagt, ist mathematisch der Knackpunkt. Wenn du viele Variablen hast, die sich in gewisser Weise gleich verhalten, dann packt man die in der Mathematik gerne zusammen, weil das eine einfachere, weil kompaktere, Darstellung erlaubt.
Ein Beispiel:
Du betrachtest zwei Teilchen, die sich ganz normal nach den newtonschen Gesetzen bewegen. Für jede Komponente jedes Teilchens gelten die newtonschen Bewegungsgleichungen - also hast du insgesamt drei Gleichungen für jede Komponente eines deiner Teilchen, also zusammengerechnet sechs. Jetzt kannst du einfach sagen: Okay, ich habe nicht zwei Teilchen im dreidimensionalen, sondern ein Teilchen im sechsdimensionalen Raum (siehe bspw. DrStupid).
Bis jetzt ist das natürlich nur ein komischer Rechentrick - aber jetzt stell dir vor, deine beiden Teilchen sind durch eine Stange verbunden. Dann musst du die Stange immer berücksichtigen, wenn du die Flugbahn haben möchtest. Mathematisch heißt das aber nur, dass deine sechs Gleichungen abhängig sind. Wenn du jetzt die Koordinaten geschickt wählst, dann kannst du eine Gleichung eliminieren. Du rechnest dann quasi mit einem Teilchen in fünf Dimensionen, was aber deine beiden Teilchen in drei Dimensionen beschreibt - und in der fünfdimensionalen Formulierung musst du die Stange nicht mehr berücksichtigen. Die steckt schon in der Reduktion von sechs auf fünf Dimensionen!
Auch hier gilt das, was DrStupid gesagt hat:
| Zitat: | | Menschen ist das zwar nicht so handlich, wie eine intuitive Lösung, aber Computer kommen damit um so besser klar. |
In dem Fall nicht nur Computer, sondern auch Menschen, wenn sie's per Hand ausrechnen wollen. Allerdings stellt sich das Problem niemand als "ein Teilchen in fünf Dimensionen" vor, sondern eher als Problem mit zwei Teilchen und einer Zwangsbedingung (der Stange). Aber mathematisch fasst du das alles eben in fünfdimensionale Vektoren (vektorwertige Funktionen) zusammen.
Langer Rede kurzer Sinn:
Die Abstraktion wird gemacht, um irgendwie effizienter zu werden, entweder beim Rechnen, oder weil die mathematische Formulierung damit eleganter wird und man das ganze damit einfacher überblicken kann.
Außerdem muss man nichts neues erfinden, sondern kann das, was man schon kennt, nur leicht modifiziert sofort auf die neuen Probleme anwenden.
Gruß
MI |
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D2
Anmeldungsdatum: 10.01.2012
Beiträge: 1723
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| D2 Verfasst am: 14. Okt 2012 12:08 Titel: |
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| MI hat Folgendes geschrieben: |
Ein Beispiel:
Du betrachtest zwei Teilchen, die sich ganz normal nach den newtonschen Gesetzen bewegen. Für jede Komponente jedes Teilchens gelten die newtonschen Bewegungsgleichungen - also hast du insgesamt drei Gleichungen für jede Komponente eines deiner Teilchen, also zusammengerechnet sechs. Jetzt kannst du einfach sagen: Okay, ich habe nicht zwei Teilchen im dreidimensionalen, sondern ein Teilchen im sechsdimensionalen Raum (siehe bspw. DrStupid).
Bis jetzt ist das natürlich nur ein komischer Rechentrick - aber jetzt stell dir vor, deine beiden Teilchen sind durch eine Stange verbunden. Dann musst du die Stange immer berücksichtigen, wenn du die Flugbahn haben möchtest. Mathematisch heißt das aber nur, dass deine sechs Gleichungen abhängig sind. Wenn du jetzt die Koordinaten geschickt wählst, dann kannst du eine Gleichung eliminieren. Du rechnest dann quasi mit einem Teilchen in fünf Dimensionen, was aber deine beiden Teilchen in drei Dimensionen beschreibt - und in der fünfdimensionalen Formulierung musst du die Stange nicht mehr berücksichtigen. Die steckt schon in der Reduktion von sechs auf fünf Dimensionen!
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5. Dimension
Kaluza-Klein-Theorie von 1919
"Nach dem Kaluza-Klein-Modell ist also die ART und der Elektromagnetismus als effektive
4-dimensionale Theorie der ursprünglich 5-dimensionalen Theorie zu verstehen. Es
ist interessant, zu betrachten, wie der Elektromagnetismus in diesem Modell auftaucht.
Während üblicherweise der Elektromagnetismus in der ART durch den entsprechenden
Energie-Impuls-Tensor berücksichtigt wird, ist der Elektromagnetismus hier als Eigenschaft
der Geometrie des Raumes aufgetaucht."
"2.2 String-Theorie
Während die Extra-Dimension in der Kaluza-Klein-Theorie postuliert wurde, taucht sie
in der String-Theorie auf eine fundamentalere Weise auf. Die Grundidee besteht darin,
das gesamte Spektrum der Elementarteilchen durch ein Objekt, den String, welcher
geschlossen oder offen sein kann, zu ersetzen."
http://web.physik.rwth-aachen.de/~hebbeker/lectures/sem0607/dardashti_ausarbeitung.pdf |
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