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Gouwo
Gast
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 Gouwo Verfasst am: 13. Jun 2012 09:27 Titel: gedämpfter harmonischer Oszillator |
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Hallo,
Ich habe ein paar Fragen zu einer unserer Turoriumsaufgaben.
Hier die Aufgabe:
"Ein gedämpfter harmonischer Oszillator schwingt mit einer Schwingungsdauer von 1s. Nach fünf Perioden hat der Oszillator nur noch 1% der ursprünglichen Amplitude.
b) Welchen Energieanteil verliert der Oszillator pro Periode
c) Welche Schwingungsdauer hätte der Oszillator ohne Dämpfung
d) Welche Schwingungsdauer hätte der Oszillator unter Resonanzbedingungen.
e) Berechnen sie die Resonanzüberhöung in Bezug auf die Größe (Fa/D)
zu b)
Hier haben wir aufgeschrieben:
T)^2}{(A(n)T)^2} = 0,1585)
Wofür steht denn hier das A(n+1) bzw. das A(n)?
zu c)
Da versteh ich zB. nicht wo die 2 vor dem Delta herkommt.
Außerdem haben wir an der Stelle aufgehört, aber das ist doch noch keine Schwingungsdauer oder?
zu d)
hier haben wir einfach f0=omega0 gesetzt, aber auch das ist doch falsch oder? Mal abgesehen davon das auch das Ergebnis nicht stimmt und es eigentlich 0,99 s sein müssten.
zu e)
Da haben wir nur die Formel aufgeschrieben, aber ich hab keine Ahnung wo die herkommt. Ist die Formel allgemein gültig für Resonanzüberhöhung oder nur in diesem speziellen Fall?
Vielen Dank im Voraus für die Mühe meine Fragen zu beantworten. |
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Gouwo
Gast
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| Gouwo Verfasst am: 14. Jun 2012 10:27 Titel: . |
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Kann mir keiner Helfen  |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 14. Jun 2012 11:01 Titel: Re: gedämpfter harmonischer Oszillator |
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Mal sehen, was sich machen läßt.
allgemein
\ y(t) = y_0 e^{-\delta t}\cdot sin \left(\omega t + \varphi_0\right))
\ \omega^2=\omega_0^2 - \delta^2)
\ \frac{y(t+T)}{y(t)}=e^{-\delta \cdot T})
\ E\sim y^2\sim e^{-2\delta \cdot t})
T ist bekannt.
Aus (3) }{y(0)}=e^{-5 \cdot \delta \cdot T}=0{,}01) ergibt sich durch Logarithmieren 
und mit (4) der gefragte Energieverlust für b), die 0,1585 oben.
Aus (2) das  .
Rechne soweit erstmal nach. |
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Gouwo
Gast
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| Gouwo Verfasst am: 15. Jun 2012 10:42 Titel: gedämpfter harmonischer Oszillator |
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Ja also dann ergibt sich:
Das jetzt in Gleichung 4 eingesetzt:
wenn ich für t=1s einsetze, was bestimmt falsch ist oder?
Was ich nicht verstehe ist was du mit "Aus (2) das  " meinst.
Und wieso man bei Gleichung (4) -2 im Exponent stehen hat?
Bin aber schon schlauer als vorher  thx |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 15. Jun 2012 12:34 Titel: Re: gedämpfter harmonischer Oszillator |
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In Gl.(4) kommt durch das Quadrieren die zusätzliche 2 in den Exponenten.
Deine Rechnung stimmt. Ich würde jedoch keine Zwischenwerte nehmen, sondern erst ganz am Schluß Zahlen einsetzen - wegen der Genauigkeit.
Aus (4) folgt ^2+\delta^2) usw. |
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Gouwo
Gast
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| Gouwo Verfasst am: 16. Jun 2012 17:33 Titel: Re: gedämpfter harmonischer Oszillator |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | In Gl.(4) kommt durch das Quadrieren die zusätzliche 2 in den Exponenten.
Deine Rechnung stimmt. Ich würde jedoch keine Zwischenwerte nehmen, sondern erst ganz am Schluß Zahlen einsetzen - wegen der Genauigkeit.
Aus (4) folgt usw. |
Aber muss dann nicht auch bei der Gleichung der Faktor 2 mit drin sein, so wie bei Aufgabe c)? Also müsste es dann nicht heißen:
^2+2*\delta^2)
Wofür muss ich das überhaupt ausrechnen? Oder soll das jetzt schon für Aufgabenteil c) sein? |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 16. Jun 2012 19:05 Titel: |
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Das war für Frage c) mit 
Nochmal die Grundformeln
Freie gedämpfte Schwingung (F)
\ \ddot y+ 2 \delta \dot y +\omega_0^2 y=0 )
\ y(t) = y_0 e^{-\delta t}\cdot sin \left(\omega t + \varphi_0\right))
\ \omega^2=\omega_0^2 - \delta^2)
Erzwungene gedämpfte Schwingung (E)
\ \ddot y+ 2 \delta \dot y + \omega_0^2\ y=f\cdot cos\ \omega t )
\ y(t) = y_0 \cdot cos \left(\omega t - \varphi_0\right))
\ y_0=...)
\ tan \varphi_0 = ...)
\ \omega_{Resonanz}^2=\omega_0^2-2\delta ^2)
\ \frac{\pi \omega_0^2}{\delta T\left( \omega_0^2-\delta^2\right)} ) Resonanzüberhöhung
Anmerkung: Die verwendeten Parameter (insbesondere  ) werden unterschiedlich definiert, je nachdem, ob man einfache Bewegungsgleichungen oder einfache Lösungsformeln wünscht. Ich habe mich für die zweite Variante entschieden, insbesondere auch, weil ich die Deine Aufzeichnungen ganz oben nicht verstanden habe. |
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Gouwo
Gast
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| Gouwo Verfasst am: 18. Jun 2012 09:13 Titel: Re: gedämpfter harmonischer Oszillator |
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Ja damit ist c) auch soweit klar, danke...
Auch die Formeln helfen mir bei der Vorbereitung auf die Klausur sehr weiter 
Aber muss ich bei C) laut der Frage nicht eine Schwingungsdauer ausrechnen... und Omega ist doch keine Schwingungsdauer oder?
Bei d) weiß ich leider immer noch überhaupt nicht, was da zu tun ist.
Und bei e) da muss ich die Formel E5 nehmen, richtig?
Aber was bedeutet das "Im Bezug auf die Größe Fa/D?
Was ändert sich dadurch an der Formel? |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 18. Jun 2012 09:43 Titel: Re: gedämpfter harmonischer Oszillator |
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| Zitat: | | C) laut der Frage nicht eine Schwingungsdauer ausrechnen? |
erstmal: allgemein
für d) die unter (E4) erwähnte Resonanzfrequenz benutzen.
e) müßte ich mir noch ansehen |
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Gouwo
Gast
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| Gouwo Verfasst am: 23. Jun 2012 08:54 Titel: gedämpfter harmonischer Oszillator |
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Sehr gut jetzt kommen sogar vernünftige und logische Zahlen raus
Also ergibt sich bei c)
für 
und bei d)
und dann:
Ist das denn soweit richtig?
Und hast du schon nen Ansatz für d)? |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 23. Jun 2012 17:28 Titel: Re: gedämpfter harmonischer Oszillator |
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| Gouwo hat Folgendes geschrieben: | | d) Welche Schwingungsdauer hätte der Oszillator unter Resonanzbedingungen. |
Verstehe ich nicht. Wenn "Resonanzbedingungen" bedeuten soll, daß eine eine äußere periodische Erregung vorliegt mit einer Frequenz  , dann schwingt sich der Oszillator auf genau diese Frequenz ein (mit einer Phasenverschiebung) - entsprechend Formel (E1) und  .
Bloß, diese Frequenz ist nicht gegeben. 
Wie kommst Du eigentlich darauf?
| Zitat: | | es eigentlich 0,99 s sein müssten. |
Zuletzt bearbeitet von franz am 26. Jun 2012 17:17, insgesamt einmal bearbeitet |
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Gouwo
Gast
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| Gouwo Verfasst am: 26. Jun 2012 10:24 Titel: Re: gedämpfter harmonischer Oszillator |
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für
Und die 6,35 ist Omega0. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 26. Jun 2012 17:20 Titel: |
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Und was hat das mit irgendeiner Resonanz zu tun?
Haben wir ganz vorne eigentlich die komplette Aufgabe? |
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Gouwo
Gast
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| Gouwo Verfasst am: 27. Jun 2012 11:18 Titel: gedämpfter harmonischer Oszillator |
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Ne a) und f) fehlen...
a) ist "Berechnen sie die Dämpfungskonstante" (das haben wir ja aber eh schon in b) gemacht)
und f) "Welche Dämpfungskonstante müsste gewählt werden um eine Amplitudenvergrößerung zu vermeiden". |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 27. Jun 2012 19:25 Titel: Re: gedämpfter harmonischer Oszillator |
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Entschuldige bitte Gouwo meinen Aussetzter!
Das Ergebnis hattest Du ja bereits: Im Falle  liegt der Resonanzfall vor.
Bleibt noch | Zitat: | | e) Berechnen sie die Resonanzüberhöung in Bezug auf die Größe (Fa/D) |
Darunter versteht man üblichwerweise das Verhältnis Resonanzamplitude : maximale statische Auslenkung
}{A(0)}=\frac{\omega_0}{2\delta \sqrt{1-\frac{\delta ^2}{\omega_0^2}}}) |
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Gouwo
Gast
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| Gouwo Verfasst am: 29. Jun 2012 22:08 Titel: gedämpfter harmonischer Oszillator |
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Kein Problem
Ah super... und hier muss man dann ja nur noch die gegebenen Werte einsetzten, dann hat man das alles...
Auf jeden Fall vielen Dank... du hast mir sehr geholfen |
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