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Kra-Wumm
Anmeldungsdatum: 20.12.2011
Beiträge: 6
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 Kra-Wumm Verfasst am: 20. Dez 2011 15:17 Titel: Eisteilchen in Erdatmosphäre |
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Hallo Forum. Ich hoffe ich bin richtig hier mit meiner Frage.
Es geht um ein kugelförmiges Eisteilchen in der Erdatmosphäre. Das Teilchen hat den Radius r=2mm und es verdampft kontinuierlich (Masse pro Zeit pro Fläche). Logischerweise wird ja die Oberfläche kleiner und es verdampft dann langsamer. Jetzt soll ich die Verdampfungsrate in Abhängigkeit der Zeit berechnen und beshreiben wie sich der Radius des Teilchens ändert. Dabei soll angenommen werden dass das Teilchen nicht durch die Verdampfung gekühlt wird.
Gegeben ist die Verdampfungsrate 
Soo.
Dann dachte ich mir, die Rate mit der es verdampft ist:
 . Wobei A die Oberfläche ist.
Für A gilt dann:
}^2)
Dann dachte ich mir, die gesamte bis zum Zeitpunkt t verdampfte Masse ist:
}=Z*A*t=Z*4*\pi*r_{(t)}^2*t)
Die nächste Überlegung war, dass }) gleich der Masse für t=0 abzüglich der Masse zum Zeitpunkt t sein sollte:
}=M_{(t=0)}-M_{(t)})
Für die Masse gilt ja:
 , wobei  die Dichte ist.
Dann wäre }) berechenbar, und:
}=\varrho*\frac{4*\pi}{3}*r_{(t)}^3)
Der Ansatz war jetzt folgende Gleichung nach }) aufzulösen:
}^2*t=M_{(t=0)}-\varrho*\frac{4*\pi}{3}*r_{(t)}^3)
Nur leider ist das recht komplex wenn man nach r(t) auflösen möchte, deshalb erstmal die Frage ob ich bis dato nicht eventuell schon auf einem Holzweg wandere?
MfG |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 20. Dez 2011 16:30 Titel: Re: Eisteilchen in Erdatmosphäre |
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| Kra-Wumm hat Folgendes geschrieben: | [...]
Dann dachte ich mir, die gesamte bis zum Zeitpunkt t verdampfte Masse ist:
[...] |
Hier müsstest du eigentlich richtig integrieren, da A=A(t) gilt und dann hast du für die verdampfte Masse:
M(t')=Z int(A,t=0..t')
Das ist aber gar nicht nötig, da ja die Verdampfungsrate gefragt ist, was die zeitliche Ableitung der verdampfenden Masse sein sollte, also einfach:
Z*A(t)
Herauszufinden ist natürlich, wie sich A(t) entwickelt.
dazu würde ich eine (konstante) Dichte o einführen, sodass gilt:
d/dt(oPir³)= ZPir²
[sämtliche Vorfaktoren in o]
Diese DGL wäre für das AWP r(t=0)=2 mm zu lösen. |
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Kra-Wumm
Anmeldungsdatum: 20.12.2011
Beiträge: 6
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| Kra-Wumm Verfasst am: 20. Dez 2011 21:23 Titel: |
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Mmh, das klingt natürlich logisch. Ich werde das morgen mal probieren. Danke dir!
MfG |
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demtroeder
Gast
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| demtroeder Verfasst am: 21. Dez 2011 12:09 Titel: |
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| Zitat: | dazu würde ich eine (konstante) Dichte o einführen, sodass gilt:
d/dt(oPir³)= ZPir²
[sämtliche Vorfaktoren in o] |
Das scheint mir ein wichtiger Punkt zu sein, allerdings verstehe ich nicht, was du genau meinst.
Könnte der Schritt nochmal erklärt werden? |
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Kra-Wumm
Anmeldungsdatum: 20.12.2011
Beiträge: 6
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| Kra-Wumm Verfasst am: 21. Dez 2011 14:14 Titel: |
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Hmm, wir haben Differentialgleichungen bis jetzt nicht wirklich behandelt, nur so sporadisch. Mein Versuch liefert mirt jedenfalls ein irgendwie unlogisches Ergebnis.
Zuerst habe ich das mal ausführlich aufgeschrieben:
=4*\pi*Z*r^2)
Dann habe ich durch 4 geteilt, bin mir aber nicht sicher ob das so richtig was wenn ich dann einfach das in der Klammer durch 4 teile...:
=Z*\pi*r^2)
Dann multipliziere ich das dt rüber und integriere, dann erhalte ich:
Und dann umgestellt:
})
Dann müsste ich noch 0,002m addieren, damit das ganze bei t=0 auch 2mm beträgt. Problem ist nur das der Radius dann zunimmt...Alternativ könnte man das ganze von 0.002m abziehen, aber das geht nicht aus der Formel hervor...
Außerdem würde ich keine lineare Funktion erwarten, wenn ich mir das so vorstelle.
Hab ich da irgendwo nen Fehler gemacht?
MfG |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 21. Dez 2011 18:58 Titel: |
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| Kra-Wumm hat Folgendes geschrieben: | [...]
Dann multipliziere ich das dt rüber und integriere[...] |
Nein, das funktioniert so nicht.
Du musst zunächst auf der linken Seite mit der Kettenregel die Ableitung nach t bilden, kannst dann etwas kürzen und erhältst eine sehr einfache DGL.
Darüber hinaus bewirkt Z eine Abnahme der Masse, sodass ich es negativ wählen würde. |
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Selbes Problem
Gast
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| Selbes Problem Verfasst am: 21. Dez 2011 22:03 Titel: |
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Ich habe dieselbe aufgabe bekommen und habe ein kleines Problem.
Wie bekomme ich das r0 in diese gleichung? also den Radius zu beginn?
Ich würde über selbvigen Ansatz wie oben genannt wurde gehen... halt, dass die verdampfte Masse=M0-M(t) so M0 könnte ich durch r0 ausdrücken... problem nur: dann habe ich ein r0³ also 3 potenzen zu hoch |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 21. Dez 2011 22:12 Titel: |
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| Selbes Problem hat Folgendes geschrieben: | Ich habe dieselbe aufgabe bekommen und habe ein kleines Problem.
Wie bekomme ich das r0 in diese gleichung? also den Radius zu beginn?
[...] |
Das ist dein Anfangswertproblem. Wenn du eine Differentialgleichung 1. Ordnung hast, dann ist deine Lösung immer bis auf eine Konstante eindeutig. Diese musst du mit der Bedingung r(t=0)=2 mm (oder was ihr da hattet) bestimmen. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 21. Dez 2011 22:20 Titel: |
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| demtroeder hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | dazu würde ich eine (konstante) Dichte o einführen, sodass gilt:
d/dt(oPir³)= ZPir²
[sämtliche Vorfaktoren in o] |
Das scheint mir ein wichtiger Punkt zu sein, allerdings verstehe ich nicht, was du genau meinst.
Könnte der Schritt nochmal erklärt werden? |
Ja ich kann es versuchen:
Wir nehmen eine Dichte o.
Dann ist die Masse o mal Volumen. Das Volumen einer Kugel ist r³Pi 4/3.
Also:
M=r³oPi4/3
Auf der anderen Seite haben wir eine Abnahme der Masse pro Zeit, proportional zur Oberfläche mit Proportionalitätsfaktor Z. Die Oberfläche einer Kugel ist r²4Pi
Also
dM/dt= -ZPir²4
Diesen Ausdrück können wir auch erhalten, indem wir die Darstellung über die Dichte o nehmen und zeitlich ableiten:
d/dt(r³o/3)=-Zr²
Nun ist auf die linke Seite die Kettenregel anzuwenden. Man erhält eine Differentialgleichung erster Ordnung in t. r² kürzt sich heraus - also ist sie analytisch lösbar. |
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wayne88
Gast
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| wayne88 Verfasst am: 22. Dez 2011 15:29 Titel: |
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Hallo zusammen,
d/dt(r³o/3)=-Zr²
Da aber der linke Teil dieser Gleichung unabhängig von t ist, würde eine Ableitung nach t 0 liefern, oder bin ich da falsch?
Habe mir überlegt, dass man beide Seiten über t integrieren könnte, mit dem Ergebnis:
=> r³*o / 3 = -Zr² * t
Nach r umgestellt:
r = -Z*3*t / o
Allerdings bin ich mir unklar, inwiefern ich das AWP mit einbeziehen kann... |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 22. Dez 2011 15:50 Titel: |
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| wayne88 hat Folgendes geschrieben: | Hallo zusammen,
d/dt(r³o/3)=-Zr²
Da aber der linke Teil dieser Gleichung unabhängig von t ist, würde eine Ableitung nach t 0 liefern, oder bin ich da falsch?
[...] |
Da liegst du natürlich falsch!
Wenn dr/dt=0 wäre, dann wäre ja auch Z=0 (da dann keine Änderung des Volumens und somit der Masse auftreten würde), was der Aufgabenstellung widerspricht. Gesucht ist ein r(t) also ist auch dieses zu Bestimmen.
Hinweis (Kettenregel):
d/dy(A²(x))=2A(x) dA/dx
und r(t) ungleich 0. |
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wayne88
Gast
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| wayne88 Verfasst am: 22. Dez 2011 20:40 Titel: |
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Mhh, also ehrlich gesagt, komme ich hier nicht weiter.
Die Kettenregel ist mir prinzipiell wohl bekannt, aber r(t) nach d/dt ableiten ist mir komplett neu und auch dein hinweis bringt mir gerade nicht viel. Aber trotzden danke, dass du zu helfen versuchst! |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 23. Dez 2011 00:33 Titel: |
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[quote="wayne88"][...] aber r(t) nach d/dt ableiten ist mir komplett neu[...]/quote]
du meinst nach t ableiten!
Wir schreiben r(t) anstatt r, um klar zu machen, das wir eine unbekannte Abhängigkeit in r von t haben, diese wollen wir herausfinden.
Da wir r(t) nach Anwendung der Kettenregel und nach Kürzen durch r² aber nur noch in der ersten Ableitung haben, also ein
dr/dt = rhs
können wir auch nur diese erste Ableitung bestimmen. Ihr Wert ist dann durch die rechte Seite der Gleichung gegeben (hier rhs = Z/o, wenn ich das so richtig sehe).
Um r(t) zu bestimmen müssen wir diese Gleichung integrieren. Dazu machen wir Trennung der Variablen und integrieren von r=r(t=0) bis r(t), und auf der anderen Seite von t=0 bis t.
Also:
Trennung der Variablen:
dr=rhs dt
Integration auf beiden Seiten, links über r, rechts über t. |
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