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Cosmic
Anmeldungsdatum: 24.10.2011
Beiträge: 14
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 Cosmic Verfasst am: 24. Okt 2011 21:19 Titel: Geradlinig gleichförmige Bewegung im Koordinatensystem |
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Guten Abend,
ich habe hier eine Physik Aufgabe die ich nicht ganz verstehe. Der Physikunterricht liegt schon einige Zeit zurück und ich habe auch kein Buch zur Hand.
Aufgabe:
Zwei Autos bewegen sich mit konst. Geschwindigkeiten v(x)=40km/h und v(y)= 60km/h senkrecht zueinander auf eine Kreuzung zu. Um 12:00 Uhr beträgt der Abstand der Autos zur Kreuzung x=6km bzw. y=4km.
Berechnen Sie den Abstand der Fahrzeuge als Funktion der Zeit. Welchen Abstand haben die Autos um 12:00 Uhr?
Also, zeichnet man das Ganze, dann hat man ein rechtwinkliges Dreieck im Koordinatensystem, wobei man mit Pythagoras ja ganz einfach den Abstand der Punkte x u. y berechnen könnte.
Warum nun das mit Abstand als Funktion der Zeit. Soll ich eine Funktion finden in die man eine beliebige Zeit einsetzen kann und man erhält den Abstand?
Ist 12:00 Uhr= 12 h?
Ich habe mal eine solche Funktion probiert zu "basteln", mit der Formel:
s=v*t und Pythagoras
Betrag von Abstand xy=d(t)=(v(x)*t)^2+(v(y)*t)^2
Ich nehme an das ist falsch, aber ich kapier es nicht wirklich wie diese Funktion auszusehen hätte.
Macht es Sinn die gegebenen Werte von v und t in s=v*t einzusetzen und wozu brauch ich den Abstand der Autos von der Kreuzung?
Kann mir da bitte jemand etwas auf die Sprünge helfen, z.B. durch Erklärung des Ansatz. Das wäre toll und danke im voraus.
PS: und verzeiht bitte meine relative Unkenntnis bezüglich der Thematik, wie gesagt hatte seit Jahren kein Physik und auch nie in der Oberstufe |
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erkü
Anmeldungsdatum: 23.03.2008
Beiträge: 1414
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| erkü Verfasst am: 25. Okt 2011 13:53 Titel: Re: Geradlinig gleichförmige Bewegung im Koordinatensystem |
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| Cosmic hat Folgendes geschrieben: | ...
Also, zeichnet man das Ganze, dann hat man ein rechtwinkliges Dreieck im Koordinatensystem, wobei man mit Pythagoras ja ganz einfach den Abstand der Punkte x u. y berechnen könnte. |
Der 'olle Pythagoras' hilft so gut wie in allen Lebenslagen ! 
| Zitat: | | Warum nun das mit Abstand als Funktion der Zeit. Soll ich eine Funktion finden in die man eine beliebige Zeit einsetzen kann und man erhält den Abstand? |
Genau !
| Zitat: | | Ist 12:00 Uhr= 12 h? |
Nein. 12:00 Uhr ist ein Zeitpunkt. Ich bezeichne ihn mit t_0.
12 h ist eine Zeitspanne Δt
| Zitat: | Ich habe mal eine solche Funktion probiert zu "basteln", mit der Formel:
s=v*t und Pythagoras
Betrag von Abstand xy=d(t)=(v(x)*t)^2+(v(y)*t)^2
...
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Ich hoffe, Du meintest
 = x^2(t) + y^2(t))
Kannst Du folgende Beziehung nachvollziehen ?
& = & x_0 - v_x\,(t - t_0) \\ y(t)& = & \cdots )
Servus
_________________
Das Drehmoment ist der Moment, wo es zu drehen anfängt. :punk: |
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Cosmic
Anmeldungsdatum: 24.10.2011
Beiträge: 14
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| Cosmic Verfasst am: 25. Okt 2011 21:46 Titel: noch mehr Fragen |
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Vielen Dank für die aufschlussreiche Antwort!
Ja ich kann diese Beziehung nachvollziehen, sie besagt das der Abstand von Fahrzeug x zur Kreuzung in Abhängigkeit zur Zeit sich zusammen setzt aus:
Abstand x zur Kreuzung-Geschwindigkeit von x * Zeitpunkt t- Zeitpunk t_0
t wäre bei dieser Aufgabe ja 0, weil der Abstand zum Zeitpunk t_0=12Uhr gesucht ist oder?
Ich habe nun das ganze eingesetzt und ausgerechnet, habe jedoch ein Problem mit den Einheiten, was ist denn [km-km/h*Uhr]?
bzw. das kann man doch garnicht voneinander subtrahieren, weil kein gemeinsamer Nenner, richtig?
oder ist t-t_0=delta t und somit in h? und dann kürzt sich das h und es sind km-km???
sind 0Uhr-12Uhr=12h???
kommt mir etwas dubios vor, aber sonst wäre die Einheit beim Endergebnis ja murks.  |
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Cosmic
Anmeldungsdatum: 24.10.2011
Beiträge: 14
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| Cosmic Verfasst am: 25. Okt 2011 21:50 Titel: |
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Oder aber ist t=12Uhr und t_0=12Uhr und somit t-t_0=0h und kann man dann diese h mit km/h kürzen?
Danke für Antworten schonmal in voraus!!! |
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erkü
Anmeldungsdatum: 23.03.2008
Beiträge: 1414
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| erkü Verfasst am: 25. Okt 2011 22:25 Titel: Re: noch mehr Fragen |
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| Cosmic hat Folgendes geschrieben: | | Vielen Dank für die aufschlussreiche Antwort! |
| Zitat: | ...
t wäre bei dieser Aufgabe ja 0, weil der Abstand zum Zeitpunk t_0=12Uhr gesucht ist oder? |
Nein, t = 12 Uhr und damit (t - t_0) = 0 !
Die Abstände zum Kreuzungspunkt sind dann einfach x_0 und y_0.
| Zitat: | Ich habe nun das ganze eingesetzt und ausgerechnet, habe jedoch ein Problem mit den Einheiten, was ist denn [km-km/h*Uhr]?
bzw. das kann man doch garnicht voneinander subtrahieren, weil kein gemeinsamer Nenner, richtig?
oder ist t-t_0=delta t und somit in h? und dann kürzt sich das h und es sind km-km??? |
Natürlich ist das Letzte richtig !
| Zitat: | | sind 0Uhr-12Uhr=12h??? |
Nicht 12 h sondern - 12 h
12:15 Uhr - 12:00 Uhr = 15 min = 1/4 h
oder
11:45 Uhr - 12:00 Uhr = - 15 min = - 1/4 h
Und ich denke, dass bei dieser Aufgabe zu prüfen ist, ob die Autos ohne (zentralen) Crash über die (Gott sei's gelobt und gepfiffen !) 'unbeampelte' Kreuzung kommen.
(Ich hasse Ampeln; insbesondere die, die nachts unnütz durch die Gegend funzeln.)
_________________
Das Drehmoment ist der Moment, wo es zu drehen anfängt. :punk: |
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Cosmic
Anmeldungsdatum: 24.10.2011
Beiträge: 14
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| Cosmic Verfasst am: 25. Okt 2011 23:05 Titel: |
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Alles klar!
Vielen Dank nochmal dafür, dass du dir die Mühe gemacht hast meine Fragen zu beantworten und Licht ins Dunkel zu bringen.
Einen schönen Abend wünsche ich. |
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Cosmic
Anmeldungsdatum: 24.10.2011
Beiträge: 14
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| Cosmic Verfasst am: 26. Okt 2011 00:05 Titel: |
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Also
die Aufgabe geht noch weiter mit b.)
Wann ist der Abstand beider Fahrzeuge minimal?
d.h. 1. Ableitung von:
=\sqrt{(x_{0}-v_{x}(t-t_{0}))^{2}+(y_{0}-v_{y}(t-t_{0}))^{2}})
bilden und dann d(t)=0 setzten, Wert ausrechnen
und dann in die Ausgangfunktion einsetzen um einen y-Wert zu erhalten
und anschließend mit 2.Ableitung durch einsetzen die hinreichende Bedingung überprüfen d(t)''>0
richtig?
Aber nun zum Verständnis:
Gesucht ist der Zeitpunkt t bei dem der Abstand minimal ist, was genau heißt das?
Muss jetzt die Gleichung irgendwie nach t umgestellt werden bevor das Minimum berechnet wird oder..., weil die Frage ist ja hier nach dem WANN nicht nach dem Abstand? Wie komme ich darauf was hier (t-t_0) ist?
Wäre sehr dankbar für Antwort(en)! |
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erkü
Anmeldungsdatum: 23.03.2008
Beiträge: 1414
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| erkü Verfasst am: 26. Okt 2011 01:27 Titel: |
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| Cosmic hat Folgendes geschrieben: | Also
die Aufgabe geht noch weiter mit b.)
Wann ist der Abstand beider Fahrzeuge minimal?
d.h. 1. Ableitung von:
bilden und dann d(t)=0 setzten, Wert ausrechnen
und dann in die Ausgangfunktion einsetzen um einen y-Wert zu erhalten
und anschließend mit 2.Ableitung durch einsetzen die hinreichende Bedingung überprüfen d(t)''>0
richtig? |
Noch nicht ganz.
1. =0 ) Das ist die Bestimmungsgleichung für den Zeitpunkt t des minimalen Abstands d.
| Zitat: | Aber nun zum Verständnis:
Gesucht ist der Zeitpunkt t bei dem der Abstand minimal ist, was genau heißt das? |
Siehe oben.
| Zitat: | | Muss jetzt die Gleichung irgendwie nach t umgestellt werden |
Ja und t bestimmen.)
| Zitat: | bevor das Minimum berechnet wird oder..., weil die Frage ist ja hier nach dem WANN nicht nach dem Abstand? Wie komme ich darauf was hier (t-t_0) ist?
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1. Nach dem expliziten Wert des minimalen Abstands ist hier zunächst nicht gefragt.
Den erhält man aber, wenn man mit dem berechneten t in die Funktion d(t) geht.
2. Tip: Setze t - t_0 = τ und rechne zunächst alles mit τ, auch die Ableitung nach τ (t_0 ist eine Konstante).
Das WANN ist dann τ + t_0.
3. Die Bildung der 2.Ableitung ist unnötig und dürfte etwas komplexer werden.
(Aber zur Übung vielleicht doch sinnvoll.)
Der Abstand d kann nur ein lokales Minimum annehmen.
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Das Drehmoment ist der Moment, wo es zu drehen anfängt. :punk: |
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Cosmic
Anmeldungsdatum: 24.10.2011
Beiträge: 14
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| Cosmic Verfasst am: 26. Okt 2011 15:23 Titel: |
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Erstmal Vielen Dank für deine Mühe.
Ich werde dennoch daraus nicht ganz schlau.
d(t) abgeleitet ist doch d'(t)=0 , weil das alles konstanten sind oder?
und was mache ich jetzt mit t=f(x_0,y_0,v_x,v_y)
Wie soll ich da t bestimmen? bzw. was ist f(x_0,y_0,v_x,v_y), also ich weiß das es die Funktion dieser Abstände und Geschwindigkeiten ist, dennoch wie kommen ich jetzt auf ein Ergebnis für t?
Kann man f(x_0,y_0,v_x,v_y) auch anders schreiben? |
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erkü
Anmeldungsdatum: 23.03.2008
Beiträge: 1414
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| erkü Verfasst am: 26. Okt 2011 18:04 Titel: |
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| Cosmic hat Folgendes geschrieben: | Erstmal Vielen Dank für deine Mühe.
Ich werde dennoch daraus nicht ganz schlau.
d(t) abgeleitet ist doch d'(t)=0 , weil das alles konstanten sind oder? |
Der Abstand d ist eine Funktion der Zeit t. D.h., er ändert sich mit der Zeit. Das bedeutet, dass die 1.Ableitung nicht gleich null sein kann. Nur die Ableitung einer Konstanten ergibt null.
und
Wenn Du meinen Tip mit t - t_0 = τ befolgst, erhältst Du:
 = \sqrt{(x_0 - v_x \cdot \tau)^2 + (y_0 - v_y \cdot \tau)^2})
Von dieser Funktion bilde nun die erste Ableitung nach τ.
Wenn der Abstand d minimal ist, ist die 1.Ableitung gleich null, d'(τ) = 0.
Mit 0 = d'(τ) hast Du die Bestimmungsgleichung für τ.
Führe diese Rechenschritte aus und stell sie hier rein. Dann sehen wir weiter.
| Cosmic hat Folgendes geschrieben: | ...
Kann man f(x_0,y_0,v_x,v_y) auch anders schreiben? |
Frage ist für mich unverständlich.
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Das Drehmoment ist der Moment, wo es zu drehen anfängt. :punk: |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 26. Okt 2011 19:01 Titel: |
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Also ich würde das ja nicht so kompliziert machen mit t-t0, sondern würde die Zeitrechnung mit t0=0 beginnen lassen. Das ist genau dasselbe wie erkü mit der Substitution (t-t0)=tau gemacht hat, ist aber für schlichte Gemüter besser zu verstehen.
Um das Ableiten ein bisschen einfacher zu gestalten, würde ich mir überlegen, ob nicht auch d² mimimal ist, wenn d minimal ist. Ein Maximum von d kommt bei dem beschriebenen Szenario sowieso nicht vor, so dass sich die Überprüfung per zweiter Ableitung erübrigt. |
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Cosmic
Anmeldungsdatum: 24.10.2011
Beiträge: 14
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| Cosmic Verfasst am: 26. Okt 2011 22:44 Titel: |
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So ich hoffe ich habs nicht falsch gemacht...
Wurzel und Exponent heben sich gegenseitig auf:
=(6km-40km/h*\tau)+(4km-60km/h*\tau))
Mit Differential- und Faktorregel abgeleitet:
=(0-40km/h*\tau')+(0-60km/h*\tau')=40km/h*\tau'+60km/h*\tau'
<br />
<br />
d'(\tau)=0
<br />
<br />
0=40km/h*\tau'+60*\tau' |:40 |:60
<br />
<br />
0=2\tau')
kann das sein? Ist das zu einfach geschrieben '=\tau') ?
Ich hoffe ich mache mich hier mit meinen eingerosteten Mathematikfähigkeiten nicht zum Affen
Und ich kann es garnicht oft genug sagen: DANKE für die Hilfe! 
Zuletzt bearbeitet von Cosmic am 26. Okt 2011 22:50, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 26. Okt 2011 22:49 Titel: |
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| Cosmic hat Folgendes geschrieben: | | Wurzel und Exponent heben sich gegenseitig auf: |
Nein, das ist Quatsch. Du kannst die Wurzel nur aus einem Quadrat ziehen, aber nicht so ohne Weiteres aus einer Summe von Quadraten. |
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Cosmic
Anmeldungsdatum: 24.10.2011
Beiträge: 14
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| Cosmic Verfasst am: 26. Okt 2011 22:52 Titel: |
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Was mache ich denn dann mit der Wurzel?
Oder lasse ich sie einfach stehen?
Zuletzt bearbeitet von Cosmic am 26. Okt 2011 22:56, insgesamt einmal bearbeitet |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 26. Okt 2011 22:56 Titel: |
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Wenn Du meinen zuvor gegebenen Hinweis nicht nutzen willst, dann leitest Du das d(tau) nach tau ab, setzt die Ableitung Null und löst nach tau auf. Für die Ableitung nutzt Du die Kettenregel. |
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Cosmic
Anmeldungsdatum: 24.10.2011
Beiträge: 14
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| Cosmic Verfasst am: 26. Okt 2011 23:02 Titel: |
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Aber wird mit der Kettenregel nicht die ganze Ableitung zu 0, weil 40 bzw. 60 abgeleitet zu 0 wird und damit ein Faktor des Produkts 0 ist? Bei der Produktregel passiert das nicht.
Oder was mache ich falsch? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 26. Okt 2011 23:07 Titel: |
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Erinnere Dich an die Differentiationsregeln:
1. Die Ableitung einer Summe ist gleich der Summe der Ableitungen der einzelnen Summanden
2. Die Ableitung einer Konstanten ist Null
3. Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten |
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Cosmic
Anmeldungsdatum: 24.10.2011
Beiträge: 14
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| Cosmic Verfasst am: 26. Okt 2011 23:18 Titel: |
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wäre die Ableitung demnach:
=\sqrt{2*(-40*\tau')+2*(-60*\tau')}) ?
nochmal zu meiner Frage:
Bei der Kettenregel wird doch alles 0, weil ein Faktor 0 wird oder gilt bei -40 und -60 die Faktorregel, sprich sind sie konstante Faktoren? |
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Cosmic
Anmeldungsdatum: 24.10.2011
Beiträge: 14
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| Cosmic Verfasst am: 26. Okt 2011 23:22 Titel: |
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also:
Danke das du dich meiner annimmst!
Ich mache morgen hier weiter, muss
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 26. Okt 2011 23:45 Titel: |
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| Cosmic hat Folgendes geschrieben: | wäre die Ableitung demnach:
?
nochmal zu meiner Frage:
Bei der Kettenregel wird doch alles 0, weil ein Faktor 0 wird oder gilt bei -40 und -60 die Faktorregel, sprich sind sie konstante Faktoren? |
Nein, die Ableitung ist falsch. Da solltest Du nochmal ins Mathebuch schauen.
Was um Himmels Willen ist (tau)'? Und warum haben die Geschwindigkeiten plötzlich keine Einheten mehr? Warum rechnest Du überhaupt mit Zahlenwerten? Das ist doch mit Größensymbolen viel übersichtlicher und geht auch schneller. |
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erkü
Anmeldungsdatum: 23.03.2008
Beiträge: 1414
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| erkü Verfasst am: 26. Okt 2011 23:49 Titel: |
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| Cosmic hat Folgendes geschrieben: | wäre die Ableitung demnach:
? |
1. Was soll hier τ' ?
2. Wie würdest Du denn folgendes nach x ableiten:
^2+c \cdot x^2} = [(a + b\cdot x)^2 + c \cdot x^2]^{1/2}) (y steht für d und x für τ)
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Das Drehmoment ist der Moment, wo es zu drehen anfängt. :punk: |
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Cosmic
Anmeldungsdatum: 24.10.2011
Beiträge: 14
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| Cosmic Verfasst am: 30. Okt 2011 13:11 Titel: |
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Also ich habs nochmal abgeleitet und so weit wie möglich vereinfacht und komme zu folgendem Ergebnis:
=\frac{1}{\sqrt{3-3\tau}})
Hier nochmal alle Rechenschritte:
=\sqrt{(x_0-v_x\cdot\tau)^2+(y_0-v_y\cdot\tau)^2})
=[(x_0-v_x\cdot\tau)^2+(y_0-v_y\cdot\tau)^2]^\frac{1}{2})
=\frac{1}{2}[2\cdot[(1-1\cdot\tau)\cdot1]+2\cdot[(1-1\cdot\tau)\cdot1]]^\frac{-1}{2})
Ist das nun richtig? Ich hoffe doch...
und verzeiht bitte das ich erst jetzt wieder antworte...
Zuletzt bearbeitet von Cosmic am 30. Okt 2011 13:38, insgesamt einmal bearbeitet |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 30. Okt 2011 13:33 Titel: |
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Du scheinst die Kettenregel nicht zu verstehen. Wie gesagt, guck' mal ins Mathebuch. Im Übrigen stellst Du hier zwei unterschiedliche Ergebnisse für d' vor; glaubst Du, dass beide gleichzeitig richtig sind? |
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Cosmic
Anmeldungsdatum: 24.10.2011
Beiträge: 14
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| Cosmic Verfasst am: 30. Okt 2011 13:41 Titel: |
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das untere d'(t) ist das obere weiter vereinfacht, habs jetzt auch korrigiert.
Kettenregel: f(x)=u(v(x)) ; f'(x)=u'(v(x))*v'(x)
was habe ich da denn nicht richtig angewendet?
u wäre hier x_0-v_x
v(x) wäre Tau
bei y_0-v_y*Tau analog
oder etwa nicht? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 30. Okt 2011 14:02 Titel: |
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| Cosmic hat Folgendes geschrieben: | | das untere d'(t) ist das obere weiter vereinfacht, |
Wie hast Du das denn geschafft? Mal abgesehen, dass das schon dimensionsmäßig nicht stimmen kann, mach mal die Probe:
Auf beiden Seiten den Kehrwert bilden:
Beide Seiten quadrieren
)
Und das soll dasselbe sein?
und
Irgendwie ist das doch lächerlich, oder?
Zur Kettenregel:
Da Du meinem Rat nicht folgen willst, anstatt d abzuleiten d² abzuleiten, musst Du halt ein weiteres Glied in Deine Kette einfügen.
- Zunächst die Wurzel ableiten ergibt (1/2)*1/Wurzel.
- Dann den Radikanden, bestehend aus zwei Summanden, ableiten. Jeder Sumand besteht aus einer Klammer zum Quadrat. Abgeleitet ergibt das jeweils die Klammer.
- Dann den Inhalt der Klammer ableiten. Das ergibt in der einen Klammer vx und in der anderen Klammer vy.
Und jetzt musst Du die Ergebnisse jeder der obigen Operationen miteinander multiplizieren, Nullsetzen und nach tau auflösen. |
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Cosmic
Anmeldungsdatum: 24.10.2011
Beiträge: 14
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| Cosmic Verfasst am: 30. Okt 2011 22:45 Titel: |
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Tut mir leid das ich dich verwirrrt habe, aber ich habe meinen Beitrag einige male geedited, weil ich Fehler entdeckt habe also:
abgeleitet und vereinfacht kommt nach meiner Rechnung raus:
=\frac{1}{2\cdot\sqrt{8-8\tau)}})
Könntest du bitte deinen Beitrag zur Kettenregel mal näher erläutern, da mir nich genau klar ist was du mir sagen magst mit | Zitat: | | ...musst Du halt ein weiteres Glied in Deine Kette einfügen. |
Wärst du vielleicht so lieb und würdest mir die Ableitung mal vorrechnen, da ich deinen Ausführungen nicht ganz folgen kann, z.B. | Zitat: | | dann den Radikanden, bestehend aus zwei Summanden, ableiten. Jeder Sumand besteht aus einer Klammer zum Quadrat. Abgeleitet ergibt das jeweils die Klammer. |
Frage am Beispiel: (a+b)^2=2*a'+b'^2-1
Deiner Erklärung zufolge wäre (a+b)^2=(a+b)???
aber ist das nicht falsch oder verstehe ich etwas falsch? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 31. Okt 2011 01:42 Titel: |
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| Cosmic hat Folgendes geschrieben: | (a+b)^2=2*a'+b'^2-1
Deiner Erklärung zufolge wäre (a+b)^2=(a+b) |
Sofern a und b Funktionen der unabhängigen Variablen sind, nach der abgeleitet werden soll, so ist nach meiner Erklärung, die nichts anderes beinhaltete als die Kettenregel, die Ableitung von (a+b)^2
^2\right) '=2(a+b)\cdot (a'+b'))
Ich kann Dir nur eines raten: Beschäftige Dich mit der Mathematik und versuche, die einfachsten mathematischen Grundregeln zu verinnerlichen. Du wirst in der Physik auf keinen grünen Zweig kommen, wenn Du die Mathematik nicht beherrschst. Denn leider Gottes lässt sich die Physik nur mit der Mathematik beschreiben. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 31. Okt 2011 02:16 Titel: |
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Damit Du nun endlich Ruhe gibst, leite ich Dir die hier in Frage stehende Funktion auch noch ab. Versuche mal, die Kettenregel hieran nachzuvollziehen.
^2+(y_0-v_y\cdot t)^2})
^2+(y_0-v_y\cdot t)^2}}\cdot \left( 2(x_0-v_x\cdot t)(-v_x)+2(y_0-v_y\cdot t)(-v_y)\right) ) |
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