relativistischer freier Fall

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

Hallo

Ich bekomme je nach dem folgende unterschiedliche drei Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze für den freien Fall im homogenen Gravitationsfeld:

(nicht relativistisch)

(spezielle Relativitätstheorie)

(allgemeine Relativitätstheorie)

Die Graphen der Funktionen aus der ART und der SRT sind sich in ihrem Verlauf zwar sehr ähnlich, aber gibt es einen tieferen Grund wieso sie sich unterscheiden und warum ich nicht exakt dieselben Funktionen erhalte?
Gibt es in der ART einen speziell relativistischen Limes für schwache Felder, so dass ich die Funktion aus der SRT erhalte?

Bei der Lösung zur ART habe ich die äußere Schwarzschild-Metrik verwendet und das Ergebnis anschließend für kleine Abstände über der Planetenoberfläche entwickelt, da ich ja ein homogenes Feld haben möchte.

Bei der Lösung zur speziellen Relativitätstheorie habe ich das Minkowski-Kraftgesetz angewendet.

Außerdem habe ich gut ein Dutzend Quellen gefunden bei denen in der speziellen Relativitätstheorie die Lösung angegeben wird, welche ich herausbekommen habe. Lediglich 2 Quellen haben mit der speziellen Relativitätstheorie das Ergebnis aus der allgemeinen Relativitätstheorie herausbekommen. Bei diesen beiden Quellen kann ich den Rechenweg allerdings nicht ganz nachvollziehen.

Des Weiteren habe ich versucht in der ART durch eine Näherung das Ergebnis der SRT herauszubekommen, was mir aber nicht gelungen ist.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18206

Ich gehe davon aus, dass du v(t) in allen Fällen als v bzgl. eines bei R=const. ruhenden Beobachters interpretierst. Was ist dann dein t? Das Problem ist, dass dieses t in der ART nicht mehr für alle Beobachter bei unterschiedlichem R - auch wenn sie relativ zueinander in Ruhe sind - das selbe ist, da t hier abhängig wird vom Gravitationspotential bzw. (eigtl. korrekt) von der Metrik.

Die Rechnung gemäß der SRT kann diesem Effekt sicher nicht Rechnung tragen, und sie kann dir auch nicht sagen, wie groß dieser Effekt ist. D.h. eine Rechnung gemäß der SRT ist möglicherweise nur "zufällig näherunsgweise richtig"; der Gültigkeitsbereich der Näherung kann mittels der SRT nicht eingegrenzt werden. Wenn du also eine gute Quelle zur Berechnung gemäß der ART hast, dann solltest du diese verwenden.

Ja, es gibt einen Limes schwacher Gravitationsfelder in der ART; das findet du meist unter dem Stichwort "Newtonsche Näherung" oder evt. "post-Newtonsche Näherung" und wird z.B. verwendet, um die Periheldrehung des Planeten Merkur zu berechnen.

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

Hallo TomS
Erst einmal danke für deine Antwort.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18206

Dein erstes Problem ist das t in v(t). Du berechnest ja sozusagen ein v zu bestimmten Zeiten t, d.h. aber ein an verschiedenen Orten. Ist dieses v(t) jetzt bezogen auf einen einzigen ruhenden Beobachter am Punkt R, der das fallende Objekt zu verschiedenen Zeiten t an verschiedenen Radien r(t) und dort mit verschiedenen Geschwindigkeiten v(t), also sozusagen v(r) sieht? Oder handelt es sich um die Geschwidnigkeit, die verschiedene Beobachter B, B', ... jeweils in ihrem Bezugssystem (t,r), (t',r), ... messen, wobei r jedesmal verschieden ist, aber sich das t jeweils ebenfalls auf ihr Bezugssystem bezieht? Du siehst sicher, dass dies bzgl. der Interpretation von r und t einen Unterschied macht.

Unglücklicherweise ist v in der ART keine global gültige Größe mehr, d.h. ein frei fallendes Objekt hat zunächst bzgl. zweier unterschiedlicher Beobachter i.a. eine unterschiedliche Geschwindigkeit. Die beiden werden aber i.A. keine Übereinstimmung bzw. Umrechnung mehr erreichen, wenn sie nicht am selben Ort sitzen. D.h. betrachtet man zwei relativ zueinander ruhende Beobachter B und B' bei r und r', so wird der erste Beobachter B zwei Geschwindigkeiten v(r) bei sich und v(r') am Ort des anderen Beobachters messen, der zweite Beobachter B' misst dagegen v'(r) und v'(r'), wobei i.A. v(r) und v'(r) nicht übereinstimmen müssen.

Extremes Beispiel: Fall ins schwarze Loch SL. Man kann berechnen, dass der Ereignishorizont ES des SL eine sogenannte lichtartige Fläche ist, d.h. sich mit Lichtgeschwidnigkeit "bewegt". Er stellt ja die Grenze zwischen den Lichtstrahlen dar, die gerade noch nicht ins SL fallen, und denen, die gerade noch nicht entkommen. Er besteht also sozusagen aus den Lichtstrahlen, die bzgl. der Singularität "verharren". Daraus folgt nun, dass ein "imaginärer" ruhender Beobachter am EH selbst lichtartig ist und sich somit bzgl. aller massiver Objekte und insbs. bzgl. denen, die gerade an ihm vorbei ins SL fallen, mit c bewegt. Kurz gesagt: alle Objekte überqueren aus Sicht des EH den EH mit exakt c. Aber aus Sicht eines außenstehenden Beobachters wissen wir, dass sich ein frei ins SL fallende Objekt dem EH nur asymptotisch nähert und dort sozusagen "eingefroren stehen bleibt". D.h. dass diese beiden Beobachter - einer am EH, einer außerhalb - ganz exterm unterschiedliche Geschwindigkeiten des jeweiligen Objektes am EH selbst messen, nämlich einmal v=c, einmal v=0.

D.h. du musst außerdem noch dazusagen, wo dieses v jeweils gemessen wird, so dass dieses v zu einer lokalen Größe wird. Betrachte dazu ein Koordinatensystem, in dem r als Radialkoordinate verwendet wird, und berechne v(r). Dann handelt es sich bei diesem v(r) um genau die Geschwindigkeit an der Radialkoordinate r.

Welche Quellen zur ART verwendest du denn? Es müsste eigtl. einige Skripte geben, in denen der radiale freie Fall durchgerechnet wird.

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

@TomS

Vielen Dank ich denke ich habe es verstanden.
Ich bin nochmal die einzelnen Schritte alle durchgegangen.

Eine Frage hätte ich aber noch.
Ist es unter speziell relativistischen Gesichtspunkten sinnvoller anzunehmen, dass das fallende Objekt in seinem momentanen Ruhesystem stets eine konstante Beschleunigung g oder gamma*g erfährt? Dabei ist gamma der Lorentzfaktor und die geschwindigkeit v ist die Relativgeschwindigkeit zum Planeten auf den das Objekt fällt. Letzteres habe ich mir überlegt, weil ja der Planet aus Sicht des Objekts mit zunehmender Geschwindigkeit schwerer wird. Die Schwerebeschleunigung setzt sich zusammen aus g=G*M/R². Dabei ist G die Gravitationskonstante, M die Masse des Planeten und R der Planetenradius. Das fallende Objekt sieht aber eine Masse gamma*M.
Ist der Gedanke richtig?

Des Weiteren möchte ich gern wissen, ob ich das Ergebnis, welches ich im Eröffnungsbeitrag vor der klammer mit "Spezielle Relativitätstheorie" (also das mit der wurzel im Nenner) erhalte, wenn ich annehme, dass das Objekt stets die konstante Beschleunigung g spürt. Ich habe dann einfach die Viererbeschleunigung ins Beobachtersystem transformiert. Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich das richtig mache, allerdings bin ich jetzt verunsichert, weil jemand anderes meint, dass man dann die lösung mit dem tangenshyperbolicus raus hat. Ich komme aber auf die Lösung mit dem Tangenshyperbolicus, wwenn ich die beschleunigung gamma*g transformiere.
Ich zeige die Rechnung mal am besten:
Der einfachheithalber reduzier ich die drei Raumkomponenten auf eine.
Die Bewegung erfolgt in x-richtung.

Ein Objekt soll in seinem Ruhesystem die konstante beschleunigung g erfahren. Dies bedeutet für die viererbeschleunigung

Nun transformier ich diese ins Beobachter System, welches sich mit v relativ zum Objekt bewegt.
Ich habe einfach auf den vektor die inverse Lorentztransformation angewendet und erhalte dann:

Außerdem gilt:

Löst man letzteres auf, erhält man die entsprechende funktion.
Soweit richtig?