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Ali2011
Anmeldungsdatum: 25.02.2011
Beiträge: 1
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 Ali2011 Verfasst am: 25. Feb 2011 15:33 Titel: Gravitationskraft/potential in einer 2-Schichten Kugel |
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Meine Frage:
Hallo!
Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe:
Zu berechen ist das Gravitationspotential und die Gravitationsbeschleunigung U(r) und g(r) (r = Radius der Kugel) in einer Kugel mit 2 Schichten in Abhängigkeit vom Radius.
Gegeben sind:
Kern mit Dichte 10000 kg/m3 und einem Radius von 3000 km und einem Mantel mit Dichte 5000 kg/m3 und einer Tiefe von 3000 km.
Meine Ideen:
Leider habe ich noch keinen Ansatz. Ich vermute, dass ich zwei Gleichungen brauche (eine für r = 0 bis r = Kern/Mantel Grenze und eine r = Grenze bis Oberfläche)
Nur für die innere Kugel, dem Kernn gilt wohl:
 = -\frac{4\pi }{3}*G*p*r)
Doch darin ist noch gar nicht der Einfluss des Mantel inbegriffen?
Wie die Formel für den Mantel aussehen soll, weiss ich leider nicht. Vermutlich gibt es einen abnehmden Term, weil man sich vom Kern entfernt und dessen Abfluss abnimmt?
etwa:  = \frac{G*M}{r} )
Ich hoffe, ihr wisst weiter!
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 25. Feb 2011 16:22 Titel: |
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Das Feld im Innern dieser Kugel?
Kannst Du den Fakt verwenden, daß im Innern (an der Stelle r < R) einer homogenen Kugel (R) eine Gravitationskraft herrscht, die der an der Oberfläche einer entsprechenden Kugel r gleicht; was einer linearen Abnahme g(r) entspricht beziehungsweise dem Umstand, daß das Innere einer Hohlkugel kräftefrei ist? Wenn ja, dann kann man das resultierende Feld als Summe der "drunterliegenden" Kugelteile aufschreiben. Wenn nein, steht eine Herleitung an (POISSON Gleichung, Kugelkoordinaten).
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geophis
Anmeldungsdatum: 25.02.2011
Beiträge: 1
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| geophis Verfasst am: 25. Feb 2011 16:49 Titel: |
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Ja, das Feld soll innerhalb der Kugel berechnet werden.
Unser Problem besteht im Prinzip darin, dass wir eigentlich eine inhomogene Kugel haben.
[img]http://img690.imageshack.us/i/15389394.png/[/img]
Das Innere einer Kugel ist nur in der Mitte kräftefrei, da sich die Kräfte dort aufheben, gilt auch für eine Kugelschale. Wir möchte allerdings das Gravitationspotential in abhängigkeit des Radius berechnen.
Den Vorschlag die darunterliegenden Kugelteile zu summieren ist soweit gut, das haben wir uns auch schon gedacht, aber das Problem ist, dass die darüberliegenden Teile der Kugel der Kraft nach Innen entgegenwirken also nach aussen.
| Beschreibung: |
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| Angeschaut: |
2402 mal |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 25. Feb 2011 18:41 Titel: |
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| geophis hat Folgendes geschrieben: | | Das Innere einer Kugel ist nur in der Mitte kräftefrei, da sich die Kräfte dort aufheben, gilt auch für eine Kugelschale. |
Bin mir nicht sicher, ob der Hinweis oben deutlich genug war: Das gesamte Innere einer beliebigen konzentrischen Hohlkugel (Kugelschale) mit homogener Masseverteilung ist - bezüglich dieser Masse - kräftefrei. Dazu muß, in Hinblick auf die Kugelschalen, ergänzt werden, daß das Außenfeld bei r einer beliebigen radialsymmetrischen Masseverteilung identisch ist mit dem Feld einer Punktmasse M bei null, also im Abstand r.
Daraufhin läßt sich die gewünschte Berechnung von g(r) durch entsprechende konzentrische Zerlegung der gegebenen Kugel relativ leicht bewerkstelligen. Können wir dazu vielleicht die innerste Kugel mit 1, die nächste Schale mit 2 usw. bezeichnen? Damit hätte man sogar für Modellerweiterungen ) vorgebaut?
Also fangen wir innen an mit  und  = \rho_1) . Denke Dir die entsprechende innerste Kugel mit Radius r. Alle darüberliegenden Kugelschhalen sind irrelevant! Nur die homogene Kugel r erzeugt die diesem Abstand entsprechende Kraft respektive Fallbeschleunigung g(r). Wie lautet sie? Man ist quasi außerhalb / auf einer Massekugel ) . Was sagt uns NEWTON zur Gravitation dort auf einen Probekörper  , also ) beziehungsweise zur Fallbeschleunigung  = \frac{F'(r)}{m'} ) ?
Nächster Schritt dann  und  = \rho_2) . Welche Masse befindet sich jetzt insgesamt innerhalb der gedachten Kugel(r)?
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Al2011b
Gast
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| Al2011b Verfasst am: 26. Feb 2011 20:04 Titel: |
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Danke für deine Hilfe Franz,
Ist dieser Beziehung für den Mantel korrekt?
 = \frac{G*4\pi*(r^{3}-r_{1}^{3}) * \varrho_{2}}{3r^2}+\frac{4\pi}{3}*r_{1}*\varrho_{1})
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 26. Feb 2011 20:11 Titel: |
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Links müßte stimmen.
Rechts geht es doch um den Einfluß der inneren Kugel auf einen Punkt außerhalb dieser; kannst Du doch mit Gesamtmasse M_1 und Abstand r rechnen, g_Innenkugel(r) = G M_Innenkugel / r²
Vermutlich hast Du r und r_1 dort versehentlich gekürzt.
Im weiteren Verlauf würde ich mir die Kurve g(r) mal ansehen und mit Ergebnissen der Geophysik vergleichen.
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Ali2011b
Gast
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| Ali2011b Verfasst am: 26. Feb 2011 20:46 Titel: |
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Hmm, ja Du hast recht, da fehlt noch die Abnahme des Einflusses des Kerns wenn man sich im Mantel von diesem wegbewegt.
Ich habe jetzt noch den letzten Term hinzugefügt, der diese Abnahme wiedergeben soll; je weiter man vom Kern entfernt, desto grösser der Einfluss des Terms:
 = \frac{G*4\pi*(r^{3}-r_{1}^{3}) * \varrho_{2}}{3r^2} + \frac{4\pi}{3}*r_{1}*\varrho_{1} - \frac{G*4\pi*r^{3}*\varrho_{1}}{3(r-r_{1})^2})
Der mittlere Term gibt die Graviationsbeschleunigung direkt an der Kern/Mantel Grenze wieder.
Wäre nett, wenn du nochmal drüber schauen könntest.
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Al2011c
Gast
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| Al2011c Verfasst am: 26. Feb 2011 20:55 Titel: |
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Korrektur: im mittleren Term ist das G verloren gegangen!
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 26. Feb 2011 21:05 Titel: |
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Den rechten Term verstehe ich nicht und der davor ist nach wie vor falsch, insbesondere fehlt die r - Abhängigkeit.
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Al2011d
Gast
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| Al2011d Verfasst am: 26. Feb 2011 21:12 Titel: |
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Ohje im letzten Term hat sich der Fehlertäufel breit gemacht
Er muss wohl eher so aussehen:
)
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 26. Feb 2011 21:25 Titel: |
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Vielleicht nochmal einen Schritt zurück. Aus welchen Anteilen setzt sich g_2(r) zusammen? Schreib das mal einzeln formelmäßig auf! Bist eigentlich Millimeter vorm Ziel. 
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Al2011e
Gast
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| Al2011e Verfasst am: 26. Feb 2011 21:44 Titel: |
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Ohje werde noch verrückt von der Aufgabe 
Für g_1(r) hatte ich folgendes ermittelt:
 = \frac{4\pi}{3}*r*G*\varrho_{1})
Also dachte ich mir für g_2(r) brauche ich zum einen g_1(r) an der Stelle r = r1 (also an der Grenze der inneren zur äusseren KUgel)
Dies ist der mittlere Term. Und dieser ist meiner Meinung nach unabhängig von r, da er ja schon für eine bestimmte Stelle angegeben wird.
Da der Einfluss des inneren Kerns mit steigendem r abnimmt, habe ich dann noch diesen Term ergänzt:
bei r = r_1 ist er Null, da man dann direkt auf der inneren Kugel "steht", je weiter man sich von dieser entfernt, desto grösser wird er (diesen und den mittleren kann man natürlich noch zusammenfassen)
Und der linke Term
 * \varrho_{2}}{3r^2})
Beschreibt die Zunahme der Beschleunigung durch den Mantel des äusseren Teils.
Wäre nett, wenn du mich noch die letzten Milimeter ins Ziel schieben könntest
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Al2011f
Gast
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| Al2011f Verfasst am: 26. Feb 2011 22:01 Titel: |
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Noch eine Anmerkung. In der Tat kann es bisher noch nicht stimmen. Laut Artikel "Gravity of Earth" (engl Wikipedia) sollte g zwischen 3000 und 6000 km ungefähr konstant bleiben. Der linke und rechte Term sollten sich also ungefähr ausgleichen. Tun sie bei mir aber nicht. Der rechte wächst viel schneller.
Ich bin am Ende mit meinem Latein 
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 26. Feb 2011 22:26 Titel: |
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Vielleicht siehst Du den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr? Wenn Du zum Beispiel g_1(r1) schreibst, also an der Oberfläche der inneren Kugel bist, und mit  erweiterst, hast Du das alte NEWTONsche Gravitationsgesetz =\frac{G M_1}{r_1^2}) . Und diese Geschichte hast Du eventuell aus dem Auge verloren: Außerhalb einer (zentralsymmetrischen) Masse kannst Du einfach =\frac{G M}{r^2}) schreiben; egal,wie sich das ) innen konkret gestaltet; aus der inneren Kugel ist gewissermaßen ein Massepunkt geworden.
Wenn Du Dich jetzt weiter weg von dieser inneren Kugel begibst, also in die äußere Schicht, dann hast Du natürlich nicht mehr den Abstand r_1 zum Mittelpunkt, sondern r. Damit ist der erste Term, steht wohl auch schon oben \cdot \frac{1}{r^2}=\frac{4\pi G}{3}\rho_1 r_1^3 \cdot \frac{1}{r^2}) .
Und jetzt kannst Du Dich in aller Arschruhe dem zusätzlichen Einfluß der äußeren Schicht an der Stelle r widmen. Als Zerlegung bietet sich an: Eine komplette Kugel bis r aus dem Material 2. (Welchen Beitrag bringt diese?) Und davon abzuziehen, rauszuschälen eine innere Kugel (bis r_1) vom Material 2 -> macht zusammen die Schale bis r. Klaro? 
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Al2011f
Gast
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| Al2011f Verfasst am: 27. Feb 2011 15:24 Titel: |
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Ah okay danke, dass war mir wirklich nicht ganz bewusst, dass die innere Masse wieder zu einer Punktmasse wird.
| Zitat: | | Und jetzt kannst Du Dich in aller Arschruhe dem zusätzlichen Einfluß der äußeren Schicht an der Stelle r widmen. Als Zerlegung bietet sich an: Eine komplette Kugel bis r aus dem Material 2. (Welchen Beitrag bringt diese?) Und davon abzuziehen, rauszuschälen eine innere Kugel (bis r_1) vom Material 2 -> macht zusammen die Schale bis r. Klaro? |
Genau das habe ich doch schon gemacht?
 = \frac{Gm_{2}}{r^2} = \frac{G*4\pi*(r^{3}-r_{1}^{3}) * \varrho_{2}}{3r^2} )
Die zusammengesetzte Formel liefert jetzt übrigens recht realistische Werte. In 3000 km Tiefe sind es 8,4 m/s^2 und an der Oberläche ca. 9,4 m/s^2 (r = 6000 km), beim Erdradius von ca. 6400 km spuckt die Formel 9,8 m/s^2 aus.
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 27. Feb 2011 16:10 Titel: |
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Wenn Du gestattest, würde ich versuchen, Dein Ergebnis nochmal aufschreiben, und zwar so, daß die Abhängigkeit vom Radius g(r) besonders hervortritt
=\frac{4\pi G}{3}\left[\left(\rho_1-\rho_2\right) r_1^3 \cdot \frac{1}{r^2}+\rho_2\cdot r\right]) .
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