Dämpfung von Schwingungen

Lotha · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 6

Ich hab folgendes Problem bei der Herleitung von der Dämpfung von Schwingungen. Gegeben hab ich, das die Bewegungsgleichung : m(x'')+ = c(x')+ D(x) = 0
m ist die Masse, c Stärke des Dämpfers und D Federhärte.
Die Striche in den Klammern sind die 1. oder 2. Ableitung von x.
Nun habe ich die Gleichung

Lambda ist die Abklingskonstante.
Hier sind meine Ableitungen: http://img148.imageshack.us/i/ableitung.jpg/
Nun hab ich folgendes Problem, wenn ich in die Bewegungsgleichung die erste und zweite Ableitung einsetze sollte ich nach längerem rechnen auf:

und

Aber ich komme nicht darauf wie ich die sinus und cosinusfunktionen wegbekomme oder wie ich auf diese Lösungen komme.
Kann mir da einer Helfen und nen Tipp geben ?

Lotha

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Nochmal kurz: Du willst von der Bewegungsgleichung

her die Abklingzahl und die Schwingungsfrequenz ableiten?

Sagen Dir komplexe Zahlen, EULERsche Beziehung oder Exponentialansatz

etwas?

Man könnte auch vorher angepaßte Größen wählen

Und halt (nach Möglichkeit) mit

weiter (vermeidet den Winkelzirkus).

Lotha · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 6

Danke dir, wenn ich dann mit

weiterrechne und davon die Ableitungen ziehe und diese einsetze, kann ich dann einfach die e-Funktion rauschmeißen und kann ich für dieses a auch sagen, dass das die Abklingkonstante ist? Und dann muss ich nicht mehr mit den ganzen sinus und cosinus funktion rechnen oder? Wie ich auf die Abklingkonstante kommen soll, dass diese a/2m ist, ist mir auch schleierhaft,denn ich hab in der oberen Gleichung ja noch Anfangsschwingungfrequenz.

Lotha

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Einfache Umbenennung (vorerst völlig bedeutungslos)

und

. Wenns Dich irritiert, laß es sein.

Eingesetzt in

und, wie richtig erkannt, die e-Funktion "rausgeschmissen" erhält man eine Bestimmungsgleichung für a mit verschiedenen Lösungen.

Lotha · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 6

Und dann hab ich ja :

Kann ich die Lösung dann durch die Lösung von quadratischen Gleichungen (mitternachtsformel) herausbekommen? Oder muss man dann anders vorgehen um die Lösungen für a zu bekommen?

Lotha

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Wie löst man quadratische Gleichungen?

Lotha · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 6

Also

wenn ich mir das so anschaue hats eine änliche form, wie die ich suche nur die zahlen in der wurzel stehen verkehrtherum und vorne müsste die 2 unten stehen dann würde es passen, wie gehe ich da am besten weiter vor?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

OK

Dämfungsteil / Schwingungsteil.
Ist Dir

ein Begriff?

Lotha · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 6

Also jetzt in die Gleichung die imaginäre Zahl mit einbauen?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Ja!
Mit der Wurzel im Prinzip so

... langsam dürfte der Sinn der oben vorgeschlagenen Abkürzungen dämmern. smile

Lotha · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 6

Jo, mit den Brüchen ist es leicht unübersichtlicher.
Also mal umändern.

so und nun weiter :

sieht schon besser aus, wie kommt man nun von da aus zur herleitung der frequenzgeschwindigkeit?