| Autor |
Nachricht |
xXxXx
Gast
|
 xXxXx Verfasst am: 18. Dez 2010 14:52 Titel: Pferd vs Schnecke auf Gummiseil |
 |
|
Meine Frage:
Ich habe hier ein (finde ich) ziemlich cooles Rätsel:
An einem Pfosten ist ein 1m langes "Gummiseil" befestigt, an dessen Ende sich ein Pferd befindet. Das Pferd bewegt sich nun mit konstanter Geschwindigkeit von 1 m/s unendlich lange, sodass das Gummiseil gedehnt wird (es dehnt sich gleichmäßig, also an jedem "Punkt" gleich "viel", was jetzt eigentlich schon fast ein Tipp ist).
Von dem Pfosten weg startet gleichzeitig mit dem Pferd eine Schnecke. Sie sitzt auf dem Gummiseil und bewegt sich darauf (!) mit konstanten 1 mm/s in Richtung Pferd (was am Anfang ja 1m weg ist).
Frage: Holt sie das Pferd ein? Wenn ja: wann? Wenn nein: warum?
Meine Ideen:
Ich glaube, ich habe die Lösung gefunden, wenn die Diskussion mal ein bisschen gelaufen ist, stelle ich sie zur Debatte, wobei ich mir eigentlich ziemlich sicher bin, dass sie richtig ist.
Ach ja: solche Kommentare wie "die Schnecke kratzt vorher ab" etc. sind nicht erwünscht |
|
 |
franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
|
| franz Verfasst am: 18. Dez 2010 14:58 Titel: |
|
|
Man sollte vielleicht ergänzen, daß sich das Pferd für diesen Zweck radial fortbewegt. Die Geschichte war übrigens zu SACHAROWs Zeiten schon angejahrt, ein evergreen.  |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
|
| DrStupid Verfasst am: 18. Dez 2010 15:20 Titel: Re: Pferd vs Schnecke |
|
|
| xXxXx hat Folgendes geschrieben: | | Holt sie das Pferd ein? Wenn ja: wann? |
Ich biete exp(1000)-1 Sekunden.
Ob die Schnecke das Pferd einholt, hängt übrigens davon ab, wie es sich bewegt. Würde das Band nicht linear, sondern beispielsweise exponentiell gedehnt werden, dann könnte die Schnecke das Pferd ab einem bestimmten Abstand nie mehr einholen. Dieser Fall liegt beispielsweise bei der Expansion des Universums vor. Da kriecht das Licht genau wie die Schnecke durch einen Raum, der exponentiell gedehnt wird und kann uns nicht erreichen, wenn es außerhalb unseres sichtbaren Universums startet. |
|
|
xXxXx
Gast
|
| xXxXx Verfasst am: 18. Dez 2010 18:22 Titel: |
|
|
@DrStupid: Das gleiche hab ich aus. Aber: wie berechnet man das denn, wenn es nicht linear ist? Ich komm grad nicht drauf.
@franz: schade, und ich dachte, ich könnte mal was interessantes zu diesem Forum beitragen  Weißt du vielleicht, ob die Aufgabe vielleicht irgendeinen Namen hat? |
|
|
VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
|
| VeryApe Verfasst am: 18. Dez 2010 20:47 Titel: |
|
|
ich biete nach kurzen überlegen folgendes.
Der Vergrößerungsfaktor des seils.
Zerlegt man jetzt das Grundseil 1Meter in lauter kleine ds->0 Einheiten.
Dann gilt:
k kann über den Zeitraum dt konstant angenommen werden da dt ebenfalls gegen 0 geht.
die Schnecke muß einen um k*ds vergrößerten weg zurücklegen um das selbe ds ohne Dehnung zu erreichen.
Die Summe aller ds ergibt 1 Meter, die Summe aller dt ergibt die Zeit wann die Schnecke den Ursprungs 1 Meter erreicht hat und das Pferd eingeholt hat
*v_{Schnecke}}*dt})
s=1 |
|
|
franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
|
| franz Verfasst am: 18. Dez 2010 21:30 Titel: |
|
|
Hallo XxXxXxX,
entschuldige bitte die vorlaute Bemerkung! Ich habe mich gefreut die Frage nach vielen Jahren wiederzusehen; kenne dazu aber nur eine angefrühstückte DGL. Und noch ein Wunsch: Läßt sich der Titel noch etwas aussagekräftiger machen (Richtung Gummiseil als Hauptbestandteil)?
Guten Abend, VeryApe!
Wo steckt bitte die Anfangslänge des Gummiseils?
mfG |
|
|
xXxXx
Gast
|
| xXxXx Verfasst am: 19. Dez 2010 00:14 Titel: |
|
|
@franz: das sollte kein Vorwuf sein 
die Anfangslänge hat VeryApe glaube ich nur nicht allgemein hingeschrieben. Es ist die 1 im "Vergrößerungsfaktor k"
Was mir aber nicht ganz einsichtig wird, ist die Umformung nach ds (von Gleichung 2 zu Gleichung 3 bei VeryApe's Beitrag). Wieso ist vSchnecke im Nenner? Ist ja auch physikalisch betrachtet unlogisch: Wenn die Schnecke schneller läuft, würde sie hier ja länger brauchen, oder? Ich will nicht unhöflich sein: vielleicht wars nur ein Leichtsinnsfehler.
@franz: dass mit der "angefrühstückten DGL" hört sich interessant an, willst du den Ansatz vielleicht mal kurz umreißen |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
|
| DrStupid Verfasst am: 19. Dez 2010 00:26 Titel: |
|
|
| xXxXx hat Folgendes geschrieben: | | wie berechnet man das denn, wenn es nicht linear ist? |
Der Einfachheit definiere ich mal die relative Position der Schnecke auf dem Gummiband
mit der absoluten Position s der Schnecke und der Länge l des Gummibandes. Dann gilt für die Änderung von x
mit der Geschwindigkeit v der Schnecke relativ zum Gummiband. Da muss man jetzt die Zeitabhängigkeit von l einsetzen, über die Zeit integrieren, das Ergebnis gleich 1 setzen und nach der Zeit umstellen. Bei exponentieller Ausdehnung
)
bedeutet das
}} = {v \over {k \cdot l_0 }} \cdot \left[ {1 - \exp \left( { - k \cdot t} \right)} \right]} = 1)
und die Auflösung nach der Zeit ergibt
)
Da das für
nicht definiert ist, bleibt das Ziel unerreichbar, wenn die Fluchtgeschwindigkeit k·lo nicht kleiner als v ist und genau das ist für Licht außerhalb des sichtbaren Universums der Fall. |
|
|
franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
|
| franz Verfasst am: 19. Dez 2010 00:46 Titel: |
|
|
Käfer auf Gummiband.
 Käfer relativ zum Band (Eigengeschwindigkeit)
=L_0+v_B\cdot t) Bandlänge,  Zuggeschwindigkeit
}) Geschwindigkeit des festen Punktes ) auf dem Band
Geschwindigkeit des Käfers = Geschwindigkeit seiner "Unterlage" bei Position x + Eigengeschwindigkeit
=v_P(t,x)+v_0= \frac{v_B\cdot x}{L_0+v_B\cdot t}+v_0)
....... Ich sehe gerade die Lösung oben.
Käferposition =\int_0^t \left(\frac{v_B\cdot x}{L_0+v_B\cdot t}+v_0\right)dt) |
|
|
xXxXx
Gast
|
| xXxXx Verfasst am: 19. Dez 2010 13:18 Titel: |
|
|
Erst mal danke an alle, jetzt blick ich durch 
Mal noch was anderes: DrStupid hat vorhin das mit Expansion des Universums erwähnt. Die Analogie ist soweit einsichtig, aber wieso dehnt sich das Universum exponentiell? Ein Kollege von mir meinte, dass das damit zu tun hat, dass Dunkle Materie mit dem Raum entsteht (dann wäre es auch klar). Ich dachte aber, dass man eigentlich keine Ahnung hat was diese Dunkle Materie überhaupt ist. Kann mir vielleicht irgendeiner sagen, wie weit man bis jetzt auf diesem Gebiet fortgeschritten ist? |
|
|
VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
|
| VeryApe Verfasst am: 19. Dez 2010 17:53 Titel: |
|
|
| Zitat: | | Was mir aber nicht ganz einsichtig wird, ist die Umformung nach ds (von Gleichung 2 zu Gleichung 3 bei VeryApe's Beitrag). Wieso ist vSchnecke im Nenner? Ist ja auch physikalisch betrachtet unlogisch: Wenn die Schnecke schneller läuft, würde sie hier ja länger brauchen, oder? Ich will nicht unhöflich sein: vielleicht wars nur ein Leichtsinnsfehler. |
sorry da hab ich vschnecke in falschen frac Term reinkopiert
Das bezog sich auf das Seil mit 1 meter ursprungslänge |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
|
| DrStupid Verfasst am: 19. Dez 2010 20:27 Titel: |
|
|
| xXxXx hat Folgendes geschrieben: | | wieso dehnt sich das Universum exponentiell? |
Die exponentielle Ausdehnungn ist nur eine Näherung für den Spezialfall eines zeitlich konstanten Hubble-Parameters. Tatsächlich ist der aber zeitabhängig. Wenn man es genau wissen will, dann muss man die Einsteinschen Feldgleichungen lösen und diejenigen Lösungen auswählen, die mit astronomischen Beobachtungen übereinstimmen. Das ist mir leider viel zu kompliziert, aber eine sehr gute Näherung liefert schon die klassische Mechanik:
Angenommen die Masse des Universums ist homogen und kugelsymmetrisch verteilt. Dann gilt nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz für den Radius dieser Masseverteilung:
Die einfachste Lösung dieser Differentialgleichung ist
^{{2 \over 3}} )
Wenn man die daraus folgende Zeitabhängikeit der Dichte
mit den Ergebnissen der relativistischen Modelle oder experimentellen Beobachtungen vergleicht, dann ergibt sich eine (zumindest für mich) überraschend gute Übereinstimmung. Wenn ich die so erhaltene Gleichung für die Expansion in meine Gummibandgleichung einsetze, dann erhalte ich
^{{2 \over 3}} \cdot dt} = 3 \cdot {v \over {r_0 }} \cdot t_0^{{\textstyle{2 \over 3}}} \cdot \left( {t^{{\textstyle{1 \over 3}}} - t_0^{{\textstyle{1 \over 3}}} } \right) = 1)
und das ergibt für t in jedem Fall eine Lösung:
^3 )
Das bedeutet, dass man in dem oben beschriebenen klassischen Friedmann-Universum theoretisch beliebig weit sehen kann, wenn man genug Zeit hat. Dass das sichtbare Universum trotzdem begrenzt ist, liegt im Wesentlichen daran, dass wir nicht beliebig weit in die Vergangenheit zurück sehen können. Momentan ist für uns an der kosmischen Hintergrundstrahlung Schluss.
Darüber hinaus scheint sich die Expansion des Universums zu beschleunigen und da kommt dann tatsächlich die Dunkle Energie (nicht die Dunkle Materie) ist Spiel. Das ist eine physikalische Interpretation der von Einstein eingeführten kosmologische Konstante, die ihrerseits eine Integrationskonstante ist, die bei der Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen anfällt. |
|
|
planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
|
| planck1858 Verfasst am: 19. Dez 2010 20:28 Titel: |
|
|
Oh man, das sieht jetzt aber echt schon ganz shcön kompliziert aus. 
_________________
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
|
|
xXxXx
Gast
|
| xXxXx Verfasst am: 20. Dez 2010 19:05 Titel: |
|
|
|
Ich schließe mich Planck1885 an; erstmal die erste Gleichung: welcher Radius ist das; bzw. was ist lambda?? |
|
|
xXxXx
Gast
|
| xXxXx Verfasst am: 20. Dez 2010 20:06 Titel: |
|
|
ach so!!! 
ja, die differenzialgleichung mitsamt Lösung hab ich jetzt kapiert. Aber was ist t0; und wieso dehnt sich das ganze aus??? müssten die sich nicht im Massenmittelpunkt treffen. Ich glaub das ist jetzt ne ziemlich blöde frage und sie zeigt, dass ich von diesem Thema eigentlich keine Ahnung habe. Aber vielleicht schafft's ja irgendein pädagogisches Genie, es mir zu erklären  ;-) |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
|
| DrStupid Verfasst am: 20. Dez 2010 21:36 Titel: |
|
|
| xXxXx hat Folgendes geschrieben: | | Aber was ist t0 |
Das ist irgendein beliebiger Zeitpunkt, z.B. heute und ro ist der dazughörige Radius der homogenen Materiekugel (oder irgend ein Abstand in ihrem Inneren).
| xXxXx hat Folgendes geschrieben: | | und wieso dehnt sich das ganze aus??? |
Das ist nun einmal die Eigenschaft dieser speziellen Lösung des Newtonschen Gravitationsgesetzes und die experimentelle Beobachtung zeigt, dass sie das Univerum, in dem wir leben, recht gut beschreibt.
| xXxXx hat Folgendes geschrieben: | | müssten die sich nicht im Massenmittelpunkt treffen. Ich glaub das ist jetzt ne ziemlich blöde frage und sie zeigt, dass ich von diesem Thema eigentlich keine Ahnung habe. |
Nein, das ist überhaupt kein blöde Frage. Tatsächlich ist Newton auf dieselbe Idee gekommen und hat übersehen, dass neben einer zunächst ruhenden Materieverteilung auch noch andere Anfangsbedingungen in Frage kommen - nämlich ein Universum, das von Anfang an mit Fluchtgeschwindigkeit (das führt zu obiger Lösung) oder schneller expandiert. Es hat fast dreihundert Jahre gedauert, bis Alexander Friedmann als erster auf diese Idee kam. |
|
|
xXxXx
Gast
|
| xXxXx Verfasst am: 22. Dez 2010 16:33 Titel: |
|
|
|
Ah ja... ist das v aus deinen Gleichungen weiter unten dann die Fluchtgeschwindigkeit? Ne, das ist ja das v aus der Gummibandgleichung, oder täusch ich mich da? |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
|
| DrStupid Verfasst am: 22. Dez 2010 18:58 Titel: |
|
|
| xXxXx hat Folgendes geschrieben: | | ist das v aus deinen Gleichungen weiter unten dann die Fluchtgeschwindigkeit? |
Das ist die Geschwindigkeit der Schnecke auf dem Gummiband bzw. die Lichtgeschwindigkeit, wenn es um die Ausbreitung von Photonen im expandierenden Raum geht. |
|
|
xXxXx
Gast
|
| xXxXx Verfasst am: 22. Dez 2010 19:56 Titel: |
|
|
|
Tut mir leid, ich glaub ich blicks nicht. Wenn du da das Gravitationsgesetz anwendest, muss doch irgendwo die Fluchtgeschwindigkeit drin sein, sonst würde das ganze ja wie gesagt kollabieren. Aber die Fluchtgeschwindigkeit hast du ja nicht drin. |
|
|
DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
|
| DrStupid Verfasst am: 23. Dez 2010 00:25 Titel: |
|
|
| xXxXx hat Folgendes geschrieben: | | Aber die Fluchtgeschwindigkeit hast du ja nicht drin. |
Doch, die hab' ich drin. Man sieht sie nur nicht, weil ich diesen Teil der Rechnung übersprungen und gleich die entsprechende Lösung der Differentialgleichung hingeschrieben habe. Um die Geschwindigkeit zu erhalten muss man das Gravitationsgesetz nur einmal über die Zeit integrieren. Das ergibt
Ist die Integrationskonstante K negativ, dehnt sich die Masseverteilung bis zu einem maximalen Radius
aus und kollabiert dann wieder. Das ergibt ein pulsierendes Universum. Ist K größer als Null, dann konvergiert die Expansionsgeschwindigkeit im Unendlichen gegen
Für K=0 expandiert das Newton-Universum jederzeit mit Fluchtgeschwindigkeit:
Dieser Fall ist nicht nur der einfachste (weil mit der Integrationskonstante K ein Parameter weg fällt), sondern er entspricht auch am ehesten astronomischen Beobachtungen. Die Lösung dieser Differentialgleichung ergibt dann die Zeitabhängigkeit für r, die ich bereits gepostet habe. |
|
|
xXxXx
Gast
|
| xXxXx Verfasst am: 23. Dez 2010 17:34 Titel: |
|
|
|
Ah ja, danke! |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
