Wirkung Lagrange Funktion

moklok · Gast

Meine Frage:
L=T-V

hier ist ja T die kinetische und V die potentielle Energie. nun weiss ich ja, dass das für die klassische Mechanik gilt. und dass das integral über L die Wirkung darstellt.

das schöne an der klassischen Mechanik ist ja, dass man sich die dinge noch recht gut vorstellen kann (im gegensatz zur quantenphysik).

mir will nicht klar werden, warum man hier gerade diese beiden energien voneinander subtrahiert. irgendwie kann ich das gar nicht interpretieren... so dass da eine wirkung resultiert.

kann mir das jemand mal an einem beispiel oder so klar machen...?

vielen dank schonmal im voraus

lg

Meine Ideen:
keine...

Argonderivat · Gast

Hallo, bin zufällig auf deinen Beitrag gestoßen und habe gemerkt, dass bisher niemand geantwortet hat. Ich würde dir bzgl. der Definition der Langrange Funktion das Kapitel 5 im Buch "Klassische Mechanik", Seite 69 von Friedhelm Kuypers empfehlen. Innerhalb von drei Seiten wird an Hand des d´Alembertschen Prinzips gut motiviert, wieso L:= T- V eigentlich Sinn macht.

Gruß

brennstab · Gast

Lagrangefunktion ist keine physikalisch interpretierbare oder direkt messbare Größe.
Sie ist eine Legendre-Transformierte der sogenannten Hamiltonfunktion. Hamiltonfunktion ist dagegen physikalisch interpretiertbar, sie ist für gewisse Systeme als H=V+T gegeben und ist somit die Gesamtenergie.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18139

Auch letzteres ist so nicht immer richtig. Z.B. ist für ein relativistisches Teilchen die Hamiltonfunktion Null, d.h. sie entspricht nicht der Energie.

Es gibt kein allgemeingültiges Verfahren, um eine Lagrangefunktion aufzustellen. Meist orientiert man sich an bestimmten Symmetrien bzw. physikalischer Intuition.

brennstab · Gast

hamiltonf · Gast

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18139

Die Lagrangefunktion für das freie, relativistische Teilchen ist proportional zur "vierdimensionalen Länge" der Bahnkurve C

Lösungen der Bewegungsgleichung entsprechen sogenannten Geodäten, also "geradesten Linien" bzw. "kürzesten Verbindungslinien".

Der kanonisch konjugierte Impuls lautet

Daraus erhält man sofort

d.h. eine stationäre Zwangsbedingung.

Nun berechnet man die kanonische Hamiltonfunktion

Einsetzen für den Impuls (analog: nach Invertierung des Zusammenhangs für die Geschwindigkeit) ergibt

Dies ist eine Folge der Reparametrisierunsginvarianz der Bahngleichung und hängt mit der Existenz des Constraints p²-m²=0 zusammen. Eine analoge (jedoch wesentlich kompliziertere) Rechnung führt im Rahmen der ART auf H=0 für die Metrik. Hier ist die Ursache die Diffeomorphismeninvarianz der Theorie. Um den Hamiltonschen Formalismus zur Awendung bringen zu können muss man einen erweiterten Phasenraum betrachten. Ich denke, das führt hier jedoch zu weit.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

@TomS: Ich muss gestehen, noch nie von "Reparametrisierunsginvarianz " gehört zu haben, aber in all meinen Unterlagen und Büchern findet sich die Hamiltonfunktion eines freien, relativistischen Teilchen zu

Da ich dir ja i.A. glaube: wo ist hier der Casus Knaxus ?

grübelnd

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18139

Was ich berechnet habe ist die kanonische Hamiltonfunktion (d.h. diejenige, die ich mittels Legendre-Transformation in den kanonisch konjugierten Variablen x und p erhalte). Was du hinschreibst, ist einfach die Gesamtenergie, also p°. Es ging ja darum, zu zeigen, dass die kanonische Hamiltonfunktion nicht unbedingt mit der Energie übereinstimmt; das ist also nicht das Problem.

Das Problem ist, dass man aus H=0 natürlich keine Bewegungsgleichugen mehr ableiten kann. Das kannst du übrigens aus deinem H auch nicht, wenn du nicht weißt, wie die Poissonklammern aussehen. Dazu verwendet man einen erweiterten kanonichen Formalismus, den ich einmal so skizzieren möchte:
- Erweiterung von H um die Zwangsbedingungen C mit Lagrangemultiplikator
- teilweise Lösung der Zwangsbedingungen C
- Modifizierung der Poissonklammern {,}*
- Berechnung eines reduzierten H*

Ein erster Einstieg dazu wäre http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_bracket
Eine Anwendung auf das relativistische freie Teilchen findet iht hier http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0512/0512107v2.pdf

hamiltonf · Gast

Das ist eifnach eine ungünstige Wahl von Lagrangian. Nimm

damit erhälte man

ist nicht Null und liefert korrekte Bewegungsgleichgunen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18139

Es ist nicht die Frage, ob es nicht auch anders geht; natürlich geht es auch anders. Es gibt z.B. auch den first-order Formalismus, wie er in dem von mir verlinkten PDF beschrieben wird. Die Aussage ist nur, dass H nicht eindeutig ist, und dass H nicht unbedingt der Gesamtenergie E entspricht, tut es in deinem Fall ja auch nicht.

Man muss in den Fällen, wo man unphysikalische / überzählige Freiheitsgrade / Eichsymmetrien im kanonischen Formalismus betrachtet, immer sauber definieren, was denn nun H, P usw. genau bedeutet.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

@TomS:

Mit

und

kann man doch die Legendre Transformation

durchführen und man kommt auf

Das ist vielleicht nicht Lorentz Invariant formuliert und nur für ein spezielles Koordinatensystem gültig, führt aber auf die richtigen Bewegungsgleichungen

Ist das nun falsch ? Ich habe lediglich abgeschrieben, denn so steht es in drei "seriösen" Büchern drin, auf die ich immer viel gesetzt hatte (Rebhan, Jackson, etc...)

leider ist mir der "höhere Zugang" zu dieser Materie verschlossen, ich dachte nur, es bisher verstanden zu haben, und nun kommst du und meinst, H=0.

grübelnd

Sprechen wir überhaupt überr das gleiche Thema? Kannst du mal versuchen, vom 10. Stock in den 2. Stock zu wandern, und das einem "Laien" erklären?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18139

Ich versuch's mal.

Es gibt verschiedene Ausgangspunkte mit verschiedenen Ls! Dein L und mein L sind nicht das selbe, denn dein L verwendet die Dreier-Geschwindigkeit (und den Ort) als Koordinaten, mein L verwendet die vierdimensionale Koordinaten. D.h. mein L lebt in einem 4-dimensionalen Raum, deines in einem 3-dimensionalen Raum. Deine Zeit ist die Koordinatenzeit t, deine Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortes nach der Koordinatenzeit. Meine Zeit ist die Eigenzeit, meine Geschwindigkeit ist die Ableitung der vierdimensionalen Koordinaten nach der Eigenzeit.

Daher ergeben sich auch unterschiedliche Hamiltonfunktionen. Meine Hamiltonfunktion lebt in einem 4+4 dimensionalen Phasenraum (4 "Orte" = 3 räumliche Koordinaten plus 1 Koordinatenzeit, 4 "Impulse" = 3 räumliche Impulse plus die Energie).

Beides ist richtig und nach gewissen Klimzügen sogar äquivalent. Meine Formulierung ist explizit kovariant, allerdings um den Preis, dass mein H zunächst nichts taugt (in den Links ist beschrieben, wie man das repariert). Deine Formulierung bricht (bzw. besser - fixiert) die explizite Kovarianz (du musst beweisen, dass dein so konstruiertes H plus deine räumlichen Impulse p die korrekte Poincare-Algebra erfüllen - sie werden das tun, aber gezeigt hast du's noch nicht :-). Dafür hast du ein H, das sofort dem E entspricht.

Es geht nicht darum, dass (d)ein Weg falsch wäre, sondern nur darum, dass die Konstruktion von H (bzw. bereits die von L) stark davon abhängt, welche Koordinaten man nutzt (und da geht es nicht nur um eine Koordinatentransformation - ich habe 4, du nur 3!). Die Formulierungen sind äquivalent dahingehend, dass sie die selbe Dynamik beschreiben, aber nur in eingen Spezialfällen gilt H=E.

In meinem Fall ist in dem System eine kontinuerliche Symmetrie enthalten (ich sage gleich, welche), in deinem Fall ist diese Symmetrie fixiert (nicht gebrochen!), du hast ein Bezugssystem gewählt. Die Symmetrie führt in meinem Fall dazu, dass ich zu viele Koordinaten habe (4 statt 3) sowie eine Zwangsbedingung p²-m²=0. Diese Zwangsbedingung signalisiert, dass ich meine Symmetrie fixieren muss. Wenn ich das tue, reduziere ich meinen 4+4 dimensionalen Phasenraum und erhalte deine 3+3 dimensionale Formulierung zurück.

Meine Symmetrie ist versteckt. Es geht im wesentlichen darum, dass meine Wirkung S besagt, dass die Lösungen Geodäten, also "kürzeste Verbindungen" zweier Punkte sind. Ich parametrisiere die Trajektorie mittels der Eigenzeit s entlang der Trajektorie. Ich könnte auch jede andere streng monotoen Funktion f(s) nutzen, das würde an einer Trajektorie nichts ändern, sie wäre weiterhin eine Geodäte, lediglich die Punkte entlang der Trajektorie bekommen andere Labels; f(s) = const*s ist eine gute Wahl; f(s) = s² gehr ebenfalls, ... Die Eigenschaft einer Kurve, eine Geodäte zu sein, hängt nicht davon ab, ob ich die Geodäte mittels s oder irgendeinem erlaubten f(s) parametrisiere. s ist lediglich die natürliche Wahl. Die Freiheit der Parametrierung heißt Reparametrisierungsinvarianz und ist letztlich für das Auftreten eines Constraints und dem H=0 verantwortlich.