euklidischer und sphärischer Abstand

WiIng · Anmeldungsdatum: 25.10.2010 Beiträge: 7

Meine Frage:
Hallo ich sitze jetzt schon seit ein paar Tagen an meiner Aufgabe und komme zu keinem richtigen Ergebnis, vlt könnt ihr mir ja weiterhelfen:

ich habe die Koordinaten von santiago de Compostela (42,88 n.Br und 8,53 w.L.) und Toledo (39,87 n.Br. und 4,03 w.L.)
Wie berechnet man jetzt eig den Abstand euklidisch und sphärisch?
Wäre euch echt danbar für Vorschläge.

Danke

Meine Ideen:
Ich habe bereits die Koordinaten in die angegebenen Werte umgerechnet anhand der Bogenminute.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18110

Stell dir vor, du hast eine Einheitskugel (Radius 1) mit der üblichen Darstellung mittels Polar- und Azimutwinkel. D.h. du kannst aus zwei Winkelangaben jeweils den entsprechendne Einheitsvektor konstruieren.

In deinem Fall sind nun zwei derartige Einheitsvektoren gegeben (abschließendes Skalieren mit dem Kugelradius r spare ich mir).

Die beiden Vektoren seien

und

. Der euklidische Abstand dieser beiden Punkte berechnet sich ganz normal gemäß

Im Falle des sphärischen Abstandes gilt folgende Überlegung: der Cosinus des Zwischenwinkels ergibt sich gemäß

Im Falle entgegengesetzt paralleler Vektoren betragen Winkel bzw. Abstand (was im Bogenmaß das selbe ist) auf der Einheitskugel gerade 180° bzw.

. Für andere Winkel ist der sphärische Abstand dem Zwischenwinkel direkt proportional.

Daher folgt

Zuletzt skalierst du noch mit r, d.h. letztlich gilt für die tatsächlichen Abstände

WiIng · Anmeldungsdatum: 25.10.2010 Beiträge: 7

Hallo
etwas zu schwierig.

und welche werte setz ich ein, sorry das ich frage aber mit der Formel kann ich echt nichts anfangen.
Santiago(x= 4616,18; y=692,36; z=4334,56)
Toledo (x=4876,89; y=343,59; z= 4083,47)
Danke

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18110

Unter der Annahme, dass (x,y,z) deinen Vektor definiert, gilt

Jetzt kannst du mit den Einheitsvektoren rechnen wie von mir beschrieben.

Den Erdradius brauchst du ja erst zuletzt zum Skalieren.

Außerdem solltest du dann deine Rechnung überprüfen, z.B. für zwei dir vertraute Städte

WiIng · Anmeldungsdatum: 25.10.2010 Beiträge: 7

Unter der Annahme, dass (x,y,z) deinen Vektor definiert: heißt ich habe zwei vektoren alle werte habe ich also 2 mal ja?

wasbedeutet skalieren und wie skaliere ich den Erdradius?

und wie berechne ich dann die Einheitsvektoren ?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18110

Natürlich hast du zwei Vektoren; du hast ja auch zwei Städte.

Da zunächst die Winkel gegeben sind, kannst du sofort Einheitsvektoren berechnen. Du kannst durch Multiplikation der Einheitsvektoren mit dem Erdradius auch die kartesischen Koordinaten der Städte bestimmen, was du denke ich mkt (x,y,z) sagen willst.

Aber das ist eigentlich unpraktisch; der Erdradius ist für die Aufgabenstellung fast egal. Du kannst entweder mit Einheitsvektoren rechnen und die zuletzt berechneten Abstände dann mittels des Erdradius auf den richtigen Maßstab skalieren, das war meine letzte Gleichung D=rd, oder du rechnest von Beginn an mit den Koordinatenvektoren, dann musst du eben in der Formel für den Cosinus durch den Radius dividieren (anders als bei mir). Letztlich ist der Radius nur ein trivialer Faktor, der eine Ähnlichkeitstransformation bzw. Streckung aller beteiligten Längen bewirkt; das meine ich mit skalieren.

Hast du meine Formeln aus der ersten Antwort verstanden?

WiIng · Anmeldungsdatum: 25.10.2010 Beiträge: 7

j also mit den vektoren kann ich nicht wirklich rechnen, das hatte ich noch nicht ich habe ja durch berechnung der kartesischen koordinaten:
Santiago(x= 4616,18; y=692,36; z=4334,56) 42,88n.Br. 8,53 w.L.
Toledo (x=4876,89; y=343,59; z= 4083,47) 39,87n.Br. 4,03w.L
und wie bringe ich dann ins verhältnis, verstehe das bisher noch nicht sonst wäre ich ja schon fertig

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18110

Sorry, aber ich habe bereits alles erklärt:

Du berechnest für jede deiner beiden Städte (bei mir die Indizes a und b)
1) den Radius r (das ergibt wieder den Erdradius, hoffe ich)
2) den Einheitsvektor e, indem du die Komponenten (x,y,z) durch r dividierst
2') du kannst dir das auch schenken, wenn du bei der Berechnung von (x,y,z) nicht sofort mit dem Erdradius multiplizierst, sondern eben erst ganz zum Schluss; dann verwendest du statt Radius r eben 1 und hast sofort die Einheitsvektoren

Dann berechnest du
3) den euklidischen Abstand für die Einheitsvektoren; das war die Formel mit |...|; dazu nutzt du den Satz des Pythagoras für drei Dimensionen
4) den sphärischen Abstand für die Einheitsvektoren; dazu benötigst du das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren; das liefert dir zunächst den Cosinus des Winkelns, also musst du den Arcus Cosinus anwenden
5) zuetzt multiplizierst du diese Abstände wieder mit r und skalierst so von der Einheitskugel zurück auf die Erdkugel

Fragen:
wie bist du denn überhaupt von den Winkeln bzw. Längen- und Breitengraden auf die kartesischen Koordinaten gekommen?
welcher Schritt ist dir denn unklar?

WiIng · Anmeldungsdatum: 25.10.2010 Beiträge: 7

hallo ich bin auf die kartesischen koordinaten gekommen indem ich folgende formeln verwendete x=r x cos der Länge jeweils, y= r x sin der Länge und z= R x sin der breite achso und klein r mit R x cos der breite

wenn ich das skalarprodukt der vektoren bilde komme ich einen wert von 40440694 und dann davon arccos ist bei mir error?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18110

Ich hab'die Abstände mal mit deinen kartesischen Koordinaten berechnet; das Ergebnis ist jedemal etwas mehr als 500 km, könnte also von der Größenordnung stimmen.

Bzgl. des Skalarproduktes: den Winkel bekommst du nicht über das Skalarprodukt der Vektoren selbst, sondern entweder über
i) das Skalarprodukt der Vektoren dividiert durch das Quadrat des Radius, oder eben über
ii) das Skalarprodukt der Einheitsvektoren.

Steht aber ebenfalls schon da:

also ist