Frage zum hydrostatischen Paradoxon

_-Alex-_ · Anmeldungsdatum: 06.03.2007 Beiträge: 262

Hallo,

ich bin vorhin wieder in Wikipedia auf das oben genannte Paradoxon gestoßen. Ich hatte das irgendwann schon mal rausgekramt und habe mir das bisher meistens so erklärt, dass wenn ich nur 2 verschiedenen Zylinder zu gleicher Höhe mit Wasser fülle, zwar die Fläche eine andere sein mag, aber das Volumen ja auch und sich somit der Quotient, der Druck, sich nicht verändert, anstatt einfach zu sagen es kommt nur die Höhe h in der Formel für den hydrostatischen Druck vor.
Jetzt habe ich zu dem Thema auf Wikipedia dieses Bild gefunden:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/24/Hydrostatisches_Paradoxon4.svg

Dort habe ich mir gesagt, dass die beiden rechten Behälter den gleichen Druck haben, weil ich mir den mittleren normalen Zylinder in den anderen reingesetzt vorgestellt habe und das Wasser was über der Schrägen bei dem rechten Behälter ist auf die Schräge wirkt und somit nicht auf den Boden.
Aber bei dem linken Bild bin ich immer am grübeln. Wenn ich mir dort die Wasseroberfläche auf höhe des Kegelstumpfes, welchen ich ja bekomme, wenn ich bei dem linken Behälter dein kleinen Aufsatzzylinder abnehme, vorstelle und das dann als mein Behälter nehme und bei den anderen auch auf diese Höhe den Wasserspiegel herabsetze habe ich ja wieder überall den gleichen Druck so wie es da erklärt ist.
Aber dann habe ich mal die Formel für den Druck für diesen veränderten linken Behälter aufgeschrieben.

Habe ich jetzt verschiedene Zylinder oder so gehabt, hat sich ja A immer herausgekürzt auf Grund von V=A*h, so dass es nur auf die Höhe h ankommt. Setzte ich jetzt aber für V das Kegelstumpfvolumen ein, kürzt sich das ja nicht alles einfach so heraus. Folglich hätte ich doch dann auch nicht den gleichen Druck, trotz gleicher Füllhöhe.

Irgendwie weiß ich nicht wo jetzt da der Fehler liegt. Könntet ihr mir da helfen?

MfG

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Eine anschauliche Möglichkeit, sich das klarzumachen, ist folgende:

Druck im Wasser wirkt ja nach allen Seiten hin. Die Oberflächen halten diesem Druck stand, drücken also zurück. In einem Sektglas drückt das Wasser von oben auf die schrägen Flächen, das Sektglas drückt also nach oben zurück.

In einer Weinkaraffe drückt die Flüssigkeit von unten gegen die schrägen Flächen, die Weinkaraffe drückt also von oben zurück.

So kann man sich vielleicht am anschaulichsten klar machen, dass Wasser über schrägen Flächen den Druck nicht höher macht als normal, und Wasser unter schrägen Flächen den Druck nicht niedriger macht als normal.

_-Alex-_ · Anmeldungsdatum: 06.03.2007 Beiträge: 262

Okay.
Wieso haut das mit der Formel aber nicht hin?

Wenn ich für den Kegelstumpf das Volumen in die Formel einsetze

Kommt ja nicht das Gleiche heraus, als wenn ich das Zylindervolumen einsetze.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Deine Formel berechnet nur die Gewichtskraft des Wassers im Kegelstumpf. Auf den Boden des Gefäßes drückt aber mehr als diese Gewichtskraft, nämlich zusätzlich noch die Kraft, mit der die "schräge Decke" des Gefäßes gegen den Wasserdruck dagegendrückt.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3249

Ich hätte da auch noch einen Tipp. stell dir vor das Wasser da drinnen wäre ein Festkörper.

Man benötigt jedesmal nur den höhenabhängigen Gewichtsdruck mal Fläche und dieser ist bekanntlich nichts anderes als das Gewicht eines Wasser Quaders von A*h. oft befindet sich aber mehr oder weniger Wasser als A*h
im Gefäss. wer oder was bringt die zusätzlichen Kräfte.
Es ist natürlich wie Markus schon gesagt hat das Gefäss.

Bei deinen link erstes Bild links hast du viel zu wenig wasser, bei betrachtung des Wasser als Festkörper würde dieser nach oben beschleunigen das Gefäss hindert ihn daran und wird dadurch belastet und wirkt mit einer Kraft dagegen.

Im Bild ganz rechts ist zuviel Wasser drinnen das Wasser würde nach unten trotz deiner Flächenkraft beschleunigen was hindert es daran.

Natürlich das Gefäss es wird wiederum belastet.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3249

persönlich bevorzuge ich die Treppenanalogie.

Man kann jede Diagonale genauso wie in einem Diagramm bei Flächenbestimmung durch kleine Treppen annähern.

Wenn du zum Beispiel eine Gerade auf deinen Computer zeichnest, dann wird sie durch Pixel angenähert, stell dir diese Pixel mal rechteckig vor und zoome dich immer näher hinein. umso mehr wird das ganze eckig.

Nun kannsd du erkennen wie das Gefäss die Kraft aufnimmt

_-Alex-_ · Anmeldungsdatum: 06.03.2007 Beiträge: 262

Also vielen Dank für die Skizze smile

Bei einer solchen Schräge wie in der Zeichnung, bei der das Wasser auf die Schräge drückt, habe ich es mir auch immer so vorgestellt, dass das Glas die Kraft des Wassers dort auffängt.

Aber bei dem linken Glas, oder bei der Weinkaraffe, dort hatte ich mir die Gedanken gemacht, weil das Wasser ja unter dem Glas sozusagen ist.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3249

das ist ja kein Problem dann drehen wir halt die Treppen um 180 Grad. und du erkennst wie das Gefäss jetzt durch eine Kraft nach oben vom Wasser belastet wird.

als reactio drückt das Gefäss natürlich nach unten was nun deinen mehraufwand an Kraft bescheinigt.

Während es dir im ersten Fall hilft, arbeitet es in diesem Fall gegen dich.