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Veryyy
Anmeldungsdatum: 14.08.2009
Beiträge: 142
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 Veryyy Verfasst am: 04. Jul 2010 01:10 Titel: Trägheitsellipsoid: Hauptträgheits- , Nebenträgheitsmomente |
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Hallo,
ich bin gerade bei einem Trägheitsellipsoid und weiß davon, dass alle Hauptträgheitsmomente gleich sind. Jetzt steht hier dass dann alle Nebenträgheitselemente verschwinden, ich sehe aber noch nicht, warum das so ist.
Die Hauptträgheitsmomente finde ich beim Trägheitstensor ja auf der Hauptdiagonalen sie sind  ,  und 
Ich habe einen symmetrischen Tensor, also habe ich jetzt nur noch drei frei zu wählende Einträge z.B. im oberen Dreieck. Die im unteren Dreieck sind dann symmetrisch dazu.
Wenn die Nebenträgheitsmomente verschwinden sollen, besagt dies ja, dass alle Einträge, die nicht auf der Hauptdiagonalen stehen =0 sein müssen. Allerdings kann ich noch nicht erkennen, warum dies der Fall ist.
Hat es etwas damit zu tun, dass ich mathematisch gesehen eine symmetrische Matrix immer diagonalisieren kann, wodurch dann gerade diese obere bzw. untere Dreiecksmatrix nur noch aus Nullen besteht?
Und gibt es dafür auch eine physikalische Erklärung?
Liebe Grüße und vielen Dank für eure Hilfe schon mal im Voraus.
Veryyy |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 04. Jul 2010 08:09 Titel: |
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Der Trägheitstensor J' bezüglich eines um R (=Drehmatrix) gedrehten Kooordinatensystems ergibt sich doch aus dem ursprünglichen Trägheitstensor J zu
Ist J in einem speziellen Achsensystem schon proportional zum Einheitstensor, so folgt daraus, dass dies auch in beliebigen Koordinaten der Fall ist, also die Behauptung. Reicht das denn nicht? Oder habe ich hier "zu schnell aus er Hüfte geschossen (bitte daher nochmals kritisch überprüfen)?
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 04. Jul 2010 08:54 Titel: Re: Trägheitsellipsoid: Hauptträgheits- , Nebenträgheitsmome |
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| Veryyy hat Folgendes geschrieben: |
Die Hauptträgheitsmomente finde ich beim Trägheitstensor ja auf der Hauptdiagonalen sie sind , und
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Das ist in diesem Fall zwar richtig, aber nicht im Allgemeinen. Die Hauptträgheitsmomente findest du nur dann auf der Diagonalen, wenn der Tensor schon Diagonalgestalt hat, du dich also schon im Hauptachsensystem befindest. Andernfalls ergibt er sich aus den Eigenwerte bzw. Eigenvektoren des Tensors.
| schnudl hat Folgendes geschrieben: | Der Trägheitstensor J' bezüglich eines um R (=Drehmatrix) gedrehten Kooordinatensystems ergibt sich doch aus dem ursprünglichen Trägheitstensor J zu
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Normalerweise transformiert sich eine Matrix, bzw. ein Tensor zweiter Art, umgekehrt unter einer Drehmatrix, zumindest nach Definition.
Letztendlich kommt es natürlich auf das selbe raus, je nach dem wie man R wählt.
Die Lösung von schnudl ist aber trotzdem richtig:
Zunächst einmal musst du dir klar machen, dass jeder Tensor durch eine orthogonale Transformation diagonalisiert werden kann ( da der Tensor symmetrisch ist), sodass du dich im Hauptachsensystem befindest. Und hier weißt du, dass alle Diagonalelemente gleich sind, der Tensor also ein Vielfaches der Einheitsmatrix/tensor ist. Weil dieser Tensor nun aber invariant gegenüber jeder Drehung ist, müssen in jedem Koordinatensystem die Hauptträgheitsmomente verschwinden:
R^T=k\cdot(RER^T)=k\cdot(RR^T)=kE)
Anschaulich bedeutet das, dass dein Trägheitsellipsoid eine Kugel ist. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 04. Jul 2010 09:36 Titel: Re: Trägheitsellipsoid: Hauptträgheits- , Nebenträgheitsmome |
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| pressure hat Folgendes geschrieben: | | müssen in jedem Koordinatensystem die Hauptträgheitsmomente verschwinden |
Du meinst sicher die Nebenträgheitsmomente.
Und ja, ich hatte die Transformationsformel leicht falsch im Kopf (ich tue mir sehr schwer, mir sowas in allen Details zu merken) - es kommt aber das selbe raus, da R unitär ist.
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 04. Jul 2010 11:43 Titel: |
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Ja, genau  |
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Veryyy
Anmeldungsdatum: 14.08.2009
Beiträge: 142
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| Veryyy Verfasst am: 04. Jul 2010 11:59 Titel: |
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Vielen Dank erstmal für die ausführlichen Antworten.
Also mir ist jetzt klar, dass ich jede symmetrische Matrix (die ja hier vorliegt) durch Hauptachsentransformation auf Diagonalgestalt bringen kann. Erst dann finde ich die Hauptträgheitsmomente auf der Diagonalen. Alle anderen Einträge sind dann =0
Wenn nun alle Einträge auf der Diagonalen gleich sind, habe ich ein Vielfaches der Einheitsmatrix. Und die Einheitsmatrix ist gegen Drehung invariant, da  . Und den Faktor k der ja für das Vielfache der Einheitsmatrix steht kann man wie du oben geschrieben hast einfach rausziehen, da es ein Faktor ist. Damit ist die Matrix, die auf Diagonalgestalt ist und deren Hauptträgheitsmomente alle gleich sind, invariant unter Drehung.
Da man jede symmetrische Matrix auf Diagonalgestalt bringen kann, ist auch jede symmetrische Matrix (wie wir sie hier haben) gegen Drehung invariant.
Da bei der Darstellung in Diagonalgestalt alle Nebenträgheitsmomente =0 sind, müssen sie dies auch bei jeder anderen Darstellung sein.
| Zitat: | | Anschaulich bedeutet das, dass dein Trägheitsellipsoid eine Kugel ist. |
Dann könnte mein Trägheitsellipsoid auch ein Würfel sein? Ich habe hier ja nur drei Hauptträgheitsmomente gegeben, die gleich sind. Und das trifft für Würfel und Kugel zu.
Zusammengefasst bedeutet das, dass bei einem Trägheitsellipsoid bei dem alle Hauptträgheitselemente gleich sind, keine Nebenträgheitselemente auftreten können. Richtig? |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 04. Jul 2010 12:53 Titel: |
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Also mit dem meisten bin ich einverstanden.
Aber ab hier wird es falsch:
| Zitat: | Da man jede symmetrische Matrix auf Diagonalgestalt bringen kann, ist auch jede symmetrische Matrix (wie wir sie hier haben) gegen Drehung invariant.
Da bei der Darstellung in Diagonalgestalt alle Nebenträgheitsmomente =0 sind, müssen sie dies auch bei jeder anderen Darstellung sein. |
Nur wenn alle Diagonalelemente gleich sind und die anderen Null, ist eine Matrix invariant gegen jede Drehmatrix ! Also ist nicht jede symmetrische Matrix invariant gegen Drehungen, sondern nur solche Matrizen die Vielfache der Einheitsmatrix sind !
Der letzte Satz stimmt daher auch nur bei diesem Sonderfall ! Sonst gäbe es ja einen Widerspruch: Wenn ich jede symmetrische Matrix durch eine Drehung diagonalisieren kann, diese aber dann invariant unter jeder Drehung ist, dann gäbe es ja keine Matrix bzw. Drehung, die die alte Matrix wieder herstellen könnte. Dann kann aber auch keine Drehung existieren, die die Matrix diagonalisiert - da eine Drehung immer umkehrbar ist.
| Zitat: |
Dann könnte mein Trägheitsellipsoid auch ein Würfel sein? Ich habe hier ja nur drei Hauptträgheitsmomente gegeben, die gleich sind. Und das trifft für Würfel und Kugel zu. |
Es kommt aber noch hinzu, dass diese Trägheitsmomente invariant gegen jede Drehung sind. Und das ist nur bei einer Kugel der Fall. Egal in welche Richtung die Drehachse durch den Schwerpunkt gelegt wird, das Trägheitsmoment ist immer gleich.
| Zitat: | | Zusammengefasst bedeutet das, dass bei einem Trägheitsellipsoid bei dem alle Hauptträgheitselemente gleich sind, keine Nebenträgheitselemente auftreten können. Richtig? |
Ja... unabhängig vom Koordinatensystem, hat der Trägheitstensor immer die gleiche Diagonalgestalt. |
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Veryyy
Anmeldungsdatum: 14.08.2009
Beiträge: 142
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| Veryyy Verfasst am: 04. Jul 2010 14:06 Titel: |
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| Zitat: | Nur wenn alle Diagonalelemente gleich sind und die anderen Null, ist eine Matrix invariant gegen jede Drehmatrix ! Also ist nicht jede symmetrische Matrix invariant gegen Drehungen, sondern nur solche Matrizen die Vielfache der Einheitsmatrix sind !
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Ja, stimmt. Das habe ich hier nicht mehr extra erwähnt. Das war ja die Voraussetzung, mit der wir gearbeitet haben. Ich habe jetzt fast alles verstanden.
Das einzige, woran ich gerade noch etwas zu knabbern habe ist der Unterschied zwischen Würfel und Kugel.
Angenommen ich habe einen Trägheitstensor, also eine 3x3 Matrix. Die Nebenträgheiselemente sind =0 , ich habe also nur Eintragungen auf der Hauptdiagonalen. Wenn diese alle gleich sind, habe ich nach deiner Beschreibung eine Kugel, da dieser Trägheitstensor unter jeder Drehung invariant ist. Das habe ich so auch verstanden und nachvollzogen.
Also: Trägheitstensor einer Kugel:
Ich hatte mir das davor aber als Trägheitstensor eines Würfels vorgestellt, da meiner Meninung nach das hier ein Trägheitstensor eines Quaders ist:
Bei einer Kugel, hätte ich eine nxn Matrix angenommen bei der alle Diagnoalelemente gleich sind.
Das passt aber irgendwie noch nicht so ganz zusammen.. Trägheitstensor von Kugel und Würfel können doch nicht gleich sein...
Habe ich vielleicht eine falsche Vorstellung von dem Trägheitstensor eines Quaders oder was ist der Unterschied zwischen dem Trägheitstensor eines Würfels und einer Kugel? |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 04. Jul 2010 14:16 Titel: |
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Okay... da hab ich mich von der Intuition leiten lassen. Du hattest recht: Ein Würfel wäre genauso möglich, auch wenn es irgendwie nicht so leicht einsehbar ist, wie bei einer Kugel. |
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Veryyy
Anmeldungsdatum: 14.08.2009
Beiträge: 142
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| Veryyy Verfasst am: 04. Jul 2010 15:47 Titel: |
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also könnte mein Trägheitsellipsoid eine Kugel oder ein Würfel sein, da bei beiden die Hauptträgheitselemente gleich sind und die Nebenträgheitselemente =0. Und es gilt:
Trägheitstensor eines Quaders: 
Trägheitstensor eines Quaders: 
Trägheitstensor einer Kugel gleich wie der eines Quaders nur eine nxn Matrix. (Bei der Kugel bin ich mir noch nicht so sicher, ob das so passt, aber ich glaube schon...) |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 04. Jul 2010 21:03 Titel: |
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Man muss unterscheiden zwischen dem Trägheitsellipsoid, welches sich formal aus den drei Haupträgheitsmomenten ergibt und der konkreten Form des zugrunde liegenden starren Körpers. Ein Würfel hat genauso ein zugeordnetes Trägheitsellipsoid (welches in diesem Fall eine Kugel ist).
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