Bernoulli und Hagen-Poiseuille schlagen sich die Köppe ein..

Knallbert · Anmeldungsdatum: 16.04.2010 Beiträge: 4

Gegeben sei eine horizontal gelagerte Rohrleitung konstanten Querschnitts, durch die Wasser strömt. Die Strömung ist laminar und Druckverluste infolge Rohrreibung werden vernachlässigt. Auf der einen Stirnseite des Rohrs (Eingangsseite) wird (z.B. durch eine Pumpe) ein konstanter Druck p1 erzeugt, der höher ist als der Druck p2 auf der anderen Stirnseite (z.B. Atmosphärendruck). Gesucht ist der Durchfluss I (Volumenstrom). Nach dem Gesetz von Hagen-Poiseuille erhält man diesen zu:

mit der dyn. Viskosität µ des Fluids, dem Radius R und der Länge l des Rohrs.

Der Term, der Durchfluss und Druck verknüpft ist so etwas wie ein Leitwert in der Elektrotechnik. Sein Reziproke nenne ich Strömungswiderstand. Für ein Rohr von gegebenem Radius und gegebener Länge und bei bekannter Viskosität lässt sich so ausrechnen, welcher Volumenstrom sich bei einem bestimmten Differenzdruck entlang des Rohr einstellt.

So weit so gut - dachte ich. Nun komme ich aber in Schwulitäten, wenn ich mir die Bernoulli-Gleichung anschaue und mich an das Kontinuitätsgesetz I=konst erinnere. Laut Bernoulli gilt:

Wenn der Durchfluss konstant ist, dann muss bei konstantem Querschnitt auch die Geschwindigkeit konstant sein (v1=v2). Das aber würde laut Bernoulli bedeuten, dass ich - Reibungsfreiheit vorausgesetzt - überhaupt gar keine Druckdifferenz entlang des Rohres habe. Wenn ich sie aber von außen erzwinge, dürfte der Durchfluss nicht konstant sein. Laut Hagen-Poiseuille ist er das aber... grübelnd

Scheinbar widersprüchlich, aber wahrscheinlicher ist wohl, dass es an meiner Vorstellung harpert. Kann mich jemand aufklären?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Tipp: Bernoulli beschreibt das ganze ja mit einem Modell, in dem angenommen wird, dass im ganzen Rohr dieselbe Strömungsgeschwindigkeit herrscht.

Hagen-Poiseuille geht da einen Schritt weiter und arbeitet mit einem parabolischen Geschwindigkeitsprofil, was aufgrund der Reibung an der Rohrwand realistischer ist.

Willst du also den Durchfluss durch ein Rohr wissen, wenn du die Druckdifferenz am Rohr kennst, dann nimmst du natürlich Hagen-Poiseuille her.

-------------

Willst du mit den Überlegungen von Bernoulli in Fällen arbeiten, in denen zum Beispiel die Fließgeschwindigkeit (und/oder der Druck, ...) nicht überall in der Flüssigkeit gleich groß ist, dann müsstest du die Bernoulli-Gleichungen nicht mehr für komplette Rohre, sondern nur noch für kleine Volumenelemente in der Flüssigkeit aufstellen.

Wenn du diesen Weg, die Betrachtung von kleinen Volumenstückchen in einer Flüssigkeit mit "inhomogenen Eigenschaften", weiter gehst, dann kommst du letztendlich zu dem, was in der Kontinuumsmechanik als Navier-Stokes-Gleichungen bekannt ist.

Knallbert · Anmeldungsdatum: 16.04.2010 Beiträge: 4

Erstmal danke für die Antwort!

Okay... Das hieße dann also, dass ich auf den beschriebenen Sachverhalt die Bernoulli-Gleichung nicht in der Form anwenden darf, dass die linke und die rechte Seite der Gleichung die Eingangs- bzw. Ausgangsseite des Rohrs repräsentieren. Jedenfalls passt das nicht, wenn ich für v die mittlere Strömungsgeschwindigkeit aus dem parabolischen Geschwindigkeitsprofil nehme.

Parabolisches Geschwindigkeitsprofil bedeutet, dass die Strömungsgeschwindigkeit räumlich nur vom Radius abhängig ist. Das heißt, in der Mantelfläche eines gedachten Zylinders, dessen Längsachse mit der Rohrachse zusammenfällt, habe ich überall eine konstante Strömungsgeschwindigkeit, oder? Gilt denn nun in solcher Mantelfläche die Bernoulli-Gleichung? Wenn ja, ergibt sich doch hinsichtlich des Drucks das gleiche Problem: Hier müsste dann der Druck entlang der Kontur des Zylinders (Kreis) konstant sein. Also müsste auch ein parabolisches Druckprofil herrschen. Wenn ich aber an eine Seite eines Rohres eine Pumpe anschließe, erzeugt die mir doch noch kein parabolische Druckprofil...

Bernoulli · Gast

Keine Reibung also auch kein HP
Nur die einfache Bernoulli-Gleichung

CyKo.47 · Anmeldungsdatum: 28.01.2017 Beiträge: 6

Ich klink ich mal ein, da ich jetzt ähnliche Verständnisschwierigkeiten wie der Themenersteller damals habe und ich keinen neuen Thread erstellen möcht.

Da die Bernoulli’sche Gleichung direkt aus der Energieerhaltung abgeleitet werden kann, frage ich mich, ob man das HP-Gesetz und Bernoulli nicht einfach kombinieren darf durch Hinzufügen der durch das HP-Gesetz berechnetete Druckdifferenz als Verlustglied auf der rechten Seite der Bernoulli’sche Gleichung.

Wenn nun die Strömungsgeschwindigkeit konstant bleiben sollen unter Annahme der Reibung, bleibt der statischen Druckenergie ja nichts anderes übrig als abzunehmen.

Mach ich mir das zu leicht oder ist die Überlegung korrekt?

Und in wieweit steht dieser Gedankengang mit Druckverlusten durch Einzelwiderständen oder der Reibung am Rohr im Zusammenhang? Habe vor dem Studium eine Ausbildung zum Chemikanten gemacht und für die Hochschulberechtigung meinen Techniker hinterhergelegt, und Verlustenergien durch Rohrreibung bzw. Einzelwiderstände wurden als Verlustglieder der rechten Seite hinzugefügt. Ich bekomm da noch keine Verbindung zustande....

Grüße

Duke711 · Anmeldungsdatum: 26.01.2017 Beiträge: 434

Zu leicht, so einfach kann man Gleichungen nicht zusammensetzen. Aber es gibt noch eine erweiterte Bernoulli Gleichung für Reibungsbehaftete Strömungen

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5867 Wohnort: jwd

[quote="dermarkus"]