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physiker08
Anmeldungsdatum: 08.06.2008
Beiträge: 83
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 physiker08 Verfasst am: 24. Okt 2009 01:07 Titel: Lagrange - Mechanik: Transformation auf generalisierte Koord |
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Hi!
Um aus den Bewegungsgleichungen die nicht bekannten Zwangskräfte zu eliminieren bedient man sich der Lagrange-Mechanik.
Das d'Alembertsche Prinzip
 \cdot \delta r_{i} = 0 --> Gl. (0))
habe ich soweit verstanden, denke ich.
Jetzt geht es darum:
Wegen der Zwangsbedingungen sind die virtuellen Verrückungen  nicht unabhängig voneinander, daher werden auf generaliserte Koordinaten transformiert.
Und ab Folgendem komme ich nicht mehr mit:
Nun wird aus  ) gefolgert, dass
 --> Gl. (1))
Warum 
Aus dem obigen Zusammenhang soll dann
folgern
Für die virtuellen Verrückungen wird wegen  folgendes an (1) abgelesen:
Für den ersten Summanden (0) ergibt sich dann:
--> Definition - Generalisierte Kraftkomponenten:
 
Diese Herleitung stammt übrigens aus dem Nolting (Grundkurs Theoretische Physik 2, Seite 12)
Ich verstehe nicht wie die Herleitung (Also diese Transformation auf generalisierte Koordinaten funktioniert, weil sie einfach nur dageschrieben ist, aber ohne weitere Erklärung dazu)
Ich danke schonmal für die Hilfe.
Mit  ist übrigens der Vektor  gemeint.
LG
Matze |
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MI
Anmeldungsdatum: 03.11.2004
Beiträge: 828
Wohnort: München
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| MI Verfasst am: 24. Okt 2009 02:28 Titel: Re: Lagrange - Mechanik: Transformation auf generalisierte K |
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Dann versuche ich mich mal dran.
| physiker08 hat Folgendes geschrieben: |
Wegen der Zwangsbedingungen sind die virtuellen Verrückungen nicht unabhängig voneinander, daher werden auf generaliserte Koordinaten transformiert.
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Okay. Nun gilt es vielleicht einmal einen Blick darauf zu werfen, was es mit diesen "generalisierten Koordinaten" auf sich hat. Weiter unten stellst du ja auch die Frage.
Es könnte ja sein, dass du verschiedene Bewegungsrichtungen frei hast. Nun müsstest du in jede Richtung eine Verrückung durchführen. Dabei könnte es sein, dass du (ähnlich wie lineare Abhängigkeit bei Vektoren) in deinem Koordinatensystem eine Verrückung auch durch andere Verrückungen darstellen kannst - und zwar immer. Damit fehlt eben die Unabhängigkeit der Verrückungen. Du musst also quasi deine Koordinatenbasis anders wählen.
Für's erste ist es irrelevant, WIE du diese Transformation genau durchführst. Das ist im Übrigen auch Problemabhängig. Weißt du, wie man allgemein Koordinatentransformationen durchführt? Das würde reichen, um dir vorzustellen, wie du theoretisch vorgehen müsstest, um diese Koordinatentrafos durchzuführen. Diese Herleitung ist im Grunde mathematisch, d.h.: Es interessiert nur, dass es funktioniert, nicht wie es funktioniert. Die Überführung in generalisierte Koordinaten ist im Grunde dann nur rechnen.
(In der Praxis wirst du ohnehin eher selten mit dem d'Alembertschen Prinzip arbeiten (oder mit den Lagrangen Gleichungen 1. Art), sondern mit den Lagrangen Gleichungen 2. Art, deren Herleitung über die Extremalisierung der Wirkung meiner Meinung nach schöner (und einfacher) ist als das d'Alembertsche Prinzip.)
Nun zurück zum Problem der generalisierten Koordinaten:
Diese sind natürlich abhängig vom Problem - aber insbesondere werden sie i.A. ZEITABHÄNGIG sein. Und damit ergibt sich auch das nächste Problem:
| Zitat: |
Nun wird aus gefolgert, dass
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Kettenregel - die generalisierten Koords. hängen ja auch von  ab.
| Zitat: |
Aus dem obigen Zusammenhang soll dann
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Das ist richtig. Hierfür musst du auf der linken Seite partiell nach den  differenzieren. Hierbei darfst du dann nicht vergessen, dass die  als Basisvektoren natürlich linear unabhängig sind (d.h. nicht von den anderen Koordinaten abhängen). Dadurch wirst du die Summe los. Den Restterm wirst du los, wenn du betrachtest, dass nicht von abhängt unter der Voraussetzung, dass sich die Ableitungen vertauschen lassen (wie immer  ).
| Zitat: |
Für die virtuellen Verrückungen wird wegen folgendes an (1) abgelesen:
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Richtig. Das ist einer der Punkte, die mir nie so ganz schmecken und wo ich mir auch nie so ganz sicher bin, ob und wie die mathematisch begründbar sind. Da müsste dann jemand anderes ran .
Aber anschaulich sagt er: Oben habe ich ja die Ableitung berechnet, woraus sich (quasi unter "Multiplikation" von  im Stile einer linearen Annäherung, nur ist diese Verrückung eben infinitesimal) ja dann die Verrückung  ergibt. Wir betrachten jetzt aber virtuelle Verrückungen, und nicht tatsächliche - und dann steht die Gleichung oben dort.
So, hoffentlich habe ich jetzt auch nirgendwo Mist verzapft  .
Insgesamt bleibt eben anzumerken, dass die Herleitung über das d'Alembertsche Prinzip teilweise nur noch aus historischen Gründen gemacht wird und andere Herleitungen zumindest meiner Meinung nach einfacher sind, wenn man deren Grundvoraussetzungen akzeptiert.
Gruß
MI |
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physiker08
Anmeldungsdatum: 08.06.2008
Beiträge: 83
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| physiker08 Verfasst am: 25. Okt 2009 13:44 Titel: Re: Lagrange - Mechanik: Transformation auf generalisierte K |
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Hi! Danke für deine Antwort!
| physiker08 hat Folgendes geschrieben: |
Nun wird aus gefolgert, dass
)
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| MI hat Folgendes geschrieben: |
Kettenregel - die generalisierten Koords. hängen ja auch von ab.
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Okay. Den ersten Summand kann ich nachvollziehen. Äussere mal Innere Ableitung, richtig? Der 2. Summand erscheint mir jedoch irgendwie rätselhaft. Wie kommt man auf den?? Warum muss jetzt noch nach dem Aufsummieren dieser Summand dazu kommen, die Ableitung müsste doch mit der Summe schon erledigt sein???
| physiker08 hat Folgendes geschrieben: |
Aus dem obigen Zusammenhang soll dann
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| MI hat Folgendes geschrieben: |
Das ist richtig. Hierfür musst du auf der linken Seite partiell nach den differenzieren. Hierbei darfst du dann nicht vergessen, dass die als Basisvektoren natürlich linear unabhängig sind (d.h. nicht von den anderen Koordinaten abhängen). Dadurch wirst du die Summe los. Den Restterm wirst du los, wenn du betrachtest, dass nicht von abhängt unter der Voraussetzung, dass sich die Ableitungen vertauschen lassen (wie immer ).
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Hm. Irgendwie kann ich das immer noch nicht wirklich nachvollziehen. Irgendwie fehlt mir das mathematische Verständnis.
Kann mir jemand den Zusammenhang vielleicht mit einer Rechnung erklären?
Vielen Dank schonmal!
LG
Matze |
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MI
Anmeldungsdatum: 03.11.2004
Beiträge: 828
Wohnort: München
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| MI Verfasst am: 25. Okt 2009 14:43 Titel: Re: Lagrange - Mechanik: Transformation auf generalisierte K |
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| physiker08 hat Folgendes geschrieben: | Hi! Danke für deine Antwort!
| physiker08 hat Folgendes geschrieben: |
Nun wird aus gefolgert, dass
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| MI hat Folgendes geschrieben: |
Kettenregel - die generalisierten Koords. hängen ja auch von ab.
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Okay. Den ersten Summand kann ich nachvollziehen. Äussere mal Innere Ableitung, richtig? Der 2. Summand erscheint mir jedoch irgendwie rätselhaft. Wie kommt man auf den?? Warum muss jetzt noch nach dem Aufsummieren dieser Summand dazu kommen, die Ableitung müsste doch mit der Summe schon erledigt sein???
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Der zweite Summand ist kein Summand. Es gilt:
 + \frac{\partial r_{i}}{\partial t} = \dot r_{i} (q_{1},...,q_{s},\dot q_{1},...,\dot q_{s},t))
Der letzte Term ist einfach die partielle Ableitung von nach . Oder anders ausgedrückt:
)
Du musst ja nach allen Variablen Ableiten, also nach  (Kettenregel, wie du schon sagtest), aber auch nach . Das ist der letzte Summand.
| physiker08 hat Folgendes geschrieben: |
Aus dem obigen Zusammenhang soll dann
| MI hat Folgendes geschrieben: |
Das ist richtig. Hierfür musst du auf der linken Seite partiell nach den differenzieren. Hierbei darfst du dann nicht vergessen, dass die als Basisvektoren natürlich linear unabhängig sind (d.h. nicht von den anderen Koordinaten abhängen). Dadurch wirst du die Summe los. Den Restterm wirst du los, wenn du betrachtest, dass nicht von abhängt unter der Voraussetzung, dass sich die Ableitungen vertauschen lassen (wie immer ).
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Hm. Irgendwie kann ich das immer noch nicht wirklich nachvollziehen. Irgendwie fehlt mir das mathematische Verständnis.
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Nein, dir fehlt nur die Gewöhnung an die Schreibweise (und das dauert bei mir auch noch an). Das dauert eben ein bisschen.
Also langsam:
Du hast:
Jetzt Ableiten nach  :
 + \frac{\partial}{\partial \dot{q}_k}\frac{\partial r_{i}}{\partial t} )
Die Ableitung ist ein linearer Operator, also kannst du ihn in die Summe reinziehen.
 + \frac{\partial}{\partial \dot{q}_k}\frac{\partial r_{i}}{\partial t} )
Nun Produktregel anwenden:
 + \frac{\partial^2 r_{i}}{\partial \dot{q}_k\partial t} )
Ich habe alle partiellen Ableitungen jetzt mal auf einen Nenner geschrieben, weil wir davon ausgehen, dass Ableitungen vertauschbar sind. Nun ist  nicht abhängig von den . Damit gilt für die Ableitungen
 .
Ferner sind die  natürlich unabhängig voneinander. Damit gilt:
wobei
das Kroneckersymbol ist (das kennst du?).
Das bedeutet: Der erste Summand fällt immer komplett weg, vom zweiten bleibt genau ein Term übrig (j=k) und die Nachableitung nach der Zeit fällt auch weg. Und dann haben wir:
Wie gesagt, man muss sich nur an die Notation gewöhnen - und das wirst du ganz bestimmt im Laufe des Studiums.
Gruß
MI |
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physiker08
Anmeldungsdatum: 08.06.2008
Beiträge: 83
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| physiker08 Verfasst am: 25. Okt 2009 18:37 Titel: |
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Hi MI!
Vielen Dank!!!! Ich konnte es nun nachvollziehen  . Ich habe mich an der Kettenregel aufgehängt. Ich habe die Definition der Kettenregel nicht richtig angewendet 
LG
Matze |
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